Theorem chnpolleha 18724

Description: A chain under relation which orders the alphabet has at most alphabet's size elements in it. (Contributed by Ender Ting, 20-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
chnpoadomd.1	⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)
chnpoadomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
chnpoadomd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
chnpolleha	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))

Proof of Theorem chnpolleha

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chnpoadomd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴))
2	1	chnwrd 18700	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝐴)
3		lencl 14600	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
5		hashfzo0 14497	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐵))) = (♯‘𝐵))
6	5	eqcomd 2768	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) = (♯‘(0..^(♯‘𝐵))))
7	4, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (♯‘(0..^(♯‘𝐵))))
8		chnpoadomd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		chnpoadomd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Po 𝐴)
10	9, 1	chnpof1 18722	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))–1-1→𝐴)
11		hashf1dmcdm 14511	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ( < Chain 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵:(0..^(♯‘𝐵))–1-1→𝐴) → (♯‘(0..^(♯‘𝐵))) ≤ (♯‘𝐴))
12	1, 8, 10, 11	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐵))) ≤ (♯‘𝐴))
13	7, 12	eqbrtrd 5131	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ≤ (♯‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107   Po wpo 5565  –1-1→wf1 6534  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11127   ≤ cle 11271  ℕ₀cn0 12531  ..^cfzo 13711  ♯chash 14396  Word cword 14580   Chain cchn 18697

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581  df-lsw 14630  df-concat 14638  df-s1 14665  df-substr 14711  df-pfx 14743  df-chn 18698

This theorem is used by:  chnpolfz  18725  chnsuslle  47696