Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climaddf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climaddf 43863
Description: A version of climadd 15515 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
climaddf.1 𝑘𝜑
climaddf.2 𝑘𝐹
climaddf.3 𝑘𝐺
climaddf.4 𝑘𝐻
climaddf.5 𝑍 = (ℤ𝑀)
climaddf.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climaddf.7 (𝜑𝐹𝐴)
climaddf.8 (𝜑𝐻𝑋)
climaddf.9 (𝜑𝐺𝐵)
climaddf.10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climaddf.11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
climaddf.12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climaddf (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴 + 𝐵))
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climaddf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climaddf.5 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climaddf.6 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climaddf.7 . 2 (𝜑𝐹𝐴)
4 climaddf.8 . 2 (𝜑𝐻𝑋)
5 climaddf.9 . 2 (𝜑𝐺𝐵)
6 climaddf.1 . . . . 5 𝑘𝜑
7 nfv 1918 . . . . 5 𝑘 𝑗𝑍
86, 7nfan 1903 . . . 4 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
9 climaddf.2 . . . . . 6 𝑘𝐹
10 nfcv 2908 . . . . . 6 𝑘𝑗
119, 10nffv 6853 . . . . 5 𝑘(𝐹𝑗)
1211nfel1 2924 . . . 4 𝑘(𝐹𝑗) ∈ ℂ
138, 12nfim 1900 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
14 eleq1w 2821 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1514anbi2d 630 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
16 fveq2 6843 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1716eleq1d 2823 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℂ))
1815, 17imbi12d 345 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)))
19 climaddf.10 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2013, 18, 19chvarfv 2234 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
21 climaddf.3 . . . . . 6 𝑘𝐺
2221, 10nffv 6853 . . . . 5 𝑘(𝐺𝑗)
2322nfel1 2924 . . . 4 𝑘(𝐺𝑗) ∈ ℂ
248, 23nfim 1900 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ∈ ℂ)
25 fveq2 6843 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑗))
2625eleq1d 2823 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐺𝑗) ∈ ℂ))
2715, 26imbi12d 345 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ∈ ℂ)))
28 climaddf.11 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
2924, 27, 28chvarfv 2234 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ∈ ℂ)
30 climaddf.4 . . . . . 6 𝑘𝐻
3130, 10nffv 6853 . . . . 5 𝑘(𝐻𝑗)
32 nfcv 2908 . . . . . 6 𝑘 +
3311, 32, 22nfov 7388 . . . . 5 𝑘((𝐹𝑗) + (𝐺𝑗))
3431, 33nfeq 2921 . . . 4 𝑘(𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + (𝐺𝑗))
358, 34nfim 1900 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + (𝐺𝑗)))
36 fveq2 6843 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐻𝑘) = (𝐻𝑗))
3716, 25oveq12d 7376 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝑗) + (𝐺𝑗)))
3836, 37eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)) ↔ (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + (𝐺𝑗))))
3915, 38imbi12d 345 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘))) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + (𝐺𝑗)))))
40 climaddf.12 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
4135, 39, 40chvarfv 2234 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + (𝐺𝑗)))
421, 2, 3, 4, 5, 20, 29, 41climadd 15515 1 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wnfc 2888   class class class wbr 5106  cfv 6497  (class class class)co 7358  cc 11050   + caddc 11055  cz 12500  cuz 12764  cli 15367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371
This theorem is referenced by:  fourierdlem112  44466
  Copyright terms: Public domain W3C validator