Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climaddf Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: A version of climadd 14983 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
climaddf.10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climaddf.11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
climaddf.12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climaddf (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴 + 𝐵))
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climaddf.5 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climaddf.6 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 climaddf.1 . . . . 5 𝑘𝜑
7 nfv 1915 . . . . 5 𝑘 𝑗𝑍
86, 7nfan 1900 . . . 4 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
9 climaddf.2 . . . . . 6 𝑘𝐹
10 nfcv 2955 . . . . . 6 𝑘𝑗
119, 10nffv 6656 . . . . 5 𝑘(𝐹𝑗)
1211nfel1 2971 . . . 4 𝑘(𝐹𝑗) ∈ ℂ
138, 12nfim 1897 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
14 eleq1w 2872 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1514anbi2d 631 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
16 fveq2 6646 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1716eleq1d 2874 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℂ))
1815, 17imbi12d 348 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)))
19 climaddf.10 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
2013, 18, 19chvarfv 2240 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
21 climaddf.3 . . . . . 6 𝑘𝐺
2221, 10nffv 6656 . . . . 5 𝑘(𝐺𝑗)
2322nfel1 2971 . . . 4 𝑘(𝐺𝑗) ∈ ℂ
248, 23nfim 1897 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ∈ ℂ)
25 fveq2 6646 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑗))
2625eleq1d 2874 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐺𝑗) ∈ ℂ))
2715, 26imbi12d 348 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ∈ ℂ)))
28 climaddf.11 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
2924, 27, 28chvarfv 2240 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ∈ ℂ)
30 climaddf.4 . . . . . 6 𝑘𝐻
3130, 10nffv 6656 . . . . 5 𝑘(𝐻𝑗)
32 nfcv 2955 . . . . . 6 𝑘 +
3311, 32, 22nfov 7166 . . . . 5 𝑘((𝐹𝑗) + (𝐺𝑗))
3431, 33nfeq 2968 . . . 4 𝑘(𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + (𝐺𝑗))
358, 34nfim 1897 . . 3 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + (𝐺𝑗)))
36 fveq2 6646 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐻𝑘) = (𝐻𝑗))
3716, 25oveq12d 7154 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝑗) + (𝐺𝑗)))
3836, 37eqeq12d 2814 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)) ↔ (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + (𝐺𝑗))))
3915, 38imbi12d 348 . . 3 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘))) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + (𝐺𝑗)))))
40 climaddf.12 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
4135, 39, 40chvarfv 2240 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝐹𝑗) + (𝐺𝑗)))
421, 2, 3, 4, 5, 20, 29, 41climadd 14983 1 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴 + 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2936   class class class wbr 5031  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℂcc 10527   + caddc 10532  ℤcz 11972  ℤ≥cuz 12234   ⇝ cli 14836 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-sup 8893  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-rp 12381  df-seq 13368  df-exp 13429  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840 This theorem is referenced by:  fourierdlem112  42903
 Copyright terms: Public domain W3C validator