Theorem climaddf 46596

Description: A version of climadd 15792 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
climaddf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climaddf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climaddf.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
climaddf.4	⊢ Ⅎ𝑘𝐻
climaddf.5	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climaddf.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climaddf.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climaddf.8	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
climaddf.9	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
climaddf.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climaddf.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
climaddf.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climaddf	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 + 𝐵))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climaddf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climaddf.5	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climaddf.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climaddf.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
4		climaddf.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
5		climaddf.9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
6		climaddf.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
8	6, 7	nfan 1932	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
9		climaddf.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
10		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
11	9, 10	nffv 6893	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
12	11	nfel1 2939	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) ∈ ℂ
13	8, 12	nfim 1929	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
14		eleq1w 2844	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
15	14	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
16		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
17	16	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ))
18	15, 17	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)))
19		climaddf.10	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
20	13, 18, 19	chvarfv 2277	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
21		climaddf.3	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
22	21, 10	nffv 6893	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗)
23	22	nfel1 2939	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗) ∈ ℂ
24	8, 23	nfim 1929	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ)
25		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑗))
26	25	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ))
27	15, 26	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ)))
28		climaddf.11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
29	24, 27, 28	chvarfv 2277	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ)
30		climaddf.4	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐻
31	30, 10	nffv 6893	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐻‘𝑗)
32		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 +
33	11, 32, 22	nfov 7448	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑗) + (𝐺‘𝑗))
34	31, 33	nfeq 2936	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) + (𝐺‘𝑗))
35	8, 34	nfim 1929	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) + (𝐺‘𝑗)))
36		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐻‘𝑘) = (𝐻‘𝑗))
37	16, 25	oveq12d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑗) + (𝐺‘𝑗)))
38	36, 37	eqeq12d 2777	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)) ↔ (𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) + (𝐺‘𝑗))))
39	15, 38	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) + (𝐺‘𝑗)))))
40		climaddf.12	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)))
41	35, 39, 40	chvarfv 2277	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) + (𝐺‘𝑗)))
42	1, 2, 3, 4, 5, 20, 29, 41	climadd 15792	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2908   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191   + caddc 11196  ℤcz 12686  ℤ_≥cuz 12958   ⇝ cli 15644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648

This theorem is used by:  fourierdlem112  47197