Theorem climaddf 46445

Description: A version of climadd 15719 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
climaddf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climaddf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climaddf.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
climaddf.4	⊢ Ⅎ𝑘𝐻
climaddf.5	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climaddf.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climaddf.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climaddf.8	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
climaddf.9	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
climaddf.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climaddf.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
climaddf.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climaddf	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 + 𝐵))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climaddf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climaddf.5	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climaddf.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climaddf.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
4		climaddf.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
5		climaddf.9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
6		climaddf.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
8	6, 7	nfan 1932	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
9		climaddf.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
10		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
11	9, 10	nffv 6888	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
12	11	nfel1 2938	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) ∈ ℂ
13	8, 12	nfim 1929	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
14		eleq1w 2843	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
15	14	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
16		fveq2 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
17	16	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ))
18	15, 17	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)))
19		climaddf.10	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
20	13, 18, 19	chvarfv 2276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
21		climaddf.3	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
22	21, 10	nffv 6888	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗)
23	22	nfel1 2938	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗) ∈ ℂ
24	8, 23	nfim 1929	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ)
25		fveq2 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑗))
26	25	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ))
27	15, 26	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ)))
28		climaddf.11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
29	24, 27, 28	chvarfv 2276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) ∈ ℂ)
30		climaddf.4	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐻
31	30, 10	nffv 6888	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐻‘𝑗)
32		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 +
33	11, 32, 22	nfov 7443	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑗) + (𝐺‘𝑗))
34	31, 33	nfeq 2935	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) + (𝐺‘𝑗))
35	8, 34	nfim 1929	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) + (𝐺‘𝑗)))
36		fveq2 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐻‘𝑘) = (𝐻‘𝑗))
37	16, 25	oveq12d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑗) + (𝐺‘𝑗)))
38	36, 37	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)) ↔ (𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) + (𝐺‘𝑗))))
39	15, 38	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) + (𝐺‘𝑗)))))
40		climaddf.12	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)))
41	35, 39, 40	chvarfv 2276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗) + (𝐺‘𝑗)))
42	1, 2, 3, 4, 5, 20, 29, 41	climadd 15719	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2907   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122   + caddc 11127  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887   ⇝ cli 15571

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575

This theorem is used by:  fourierdlem112  47046