Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellimciota Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellimciota 44316
Description: An explicit value for the limit, when the limit exists at a limit point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ellimciota.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
ellimciota.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
ellimciota.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜πΎ)β€˜π΄))
ellimciota.4 (πœ‘ β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β‰  βˆ…)
ellimciota.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
ellimciota (πœ‘ β†’ (β„©π‘₯π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐾   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem ellimciota
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2821 . . 3 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)))
21cbviotavw 6500 . 2 (β„©π‘₯π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
3 iotaex 6513 . . . 4 (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) ∈ V
4 ellimciota.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β‰  βˆ…)
5 n0 4345 . . . . . 6 ((𝐹 limβ„‚ 𝐡) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
64, 5sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
7 ellimciota.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
8 ellimciota.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
9 ellimciota.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜πΎ)β€˜π΄))
10 ellimciota.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
117, 8, 9, 10limcmo 25390 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
12 df-eu 2563 . . . . 5 (βˆƒ!π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)))
136, 11, 12sylanbrc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
14 eleq1 2821 . . . . 5 (π‘₯ = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)))
1514iota2 6529 . . . 4 (((℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) ∈ V ∧ βˆƒ!π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) β†’ ((℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (β„©π‘₯π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))))
163, 13, 15sylancr 587 . . 3 (πœ‘ β†’ ((℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (β„©π‘₯π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))))
172, 16mpbiri 257 . 2 (πœ‘ β†’ (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
182, 17eqeltrid 2837 1 (πœ‘ β†’ (β„©π‘₯π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆƒ*wmo 2532  βˆƒ!weu 2562   β‰  wne 2940  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  β„©cio 6490  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  TopOpenctopn 17363  β„‚fldccnfld 20936  limPtclp 22629   limβ„‚ climc 25370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-rest 17364  df-topn 17365  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-limc 25374
This theorem is referenced by:  fourierdlem94  44902  fourierdlem113  44921
  Copyright terms: Public domain W3C validator