Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellimciota Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellimciota 43862
Description: An explicit value for the limit, when the limit exists at a limit point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ellimciota.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
ellimciota.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
ellimciota.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜πΎ)β€˜π΄))
ellimciota.4 (πœ‘ β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β‰  βˆ…)
ellimciota.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
ellimciota (πœ‘ β†’ (β„©π‘₯π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐾   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem ellimciota
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2826 . . 3 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)))
21cbviotavw 6457 . 2 (β„©π‘₯π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
3 iotaex 6470 . . . 4 (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) ∈ V
4 ellimciota.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β‰  βˆ…)
5 n0 4307 . . . . . 6 ((𝐹 limβ„‚ 𝐡) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
64, 5sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
7 ellimciota.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
8 ellimciota.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
9 ellimciota.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ((limPtβ€˜πΎ)β€˜π΄))
10 ellimciota.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
117, 8, 9, 10limcmo 25249 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
12 df-eu 2568 . . . . 5 (βˆƒ!π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)))
136, 11, 12sylanbrc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
14 eleq1 2826 . . . . 5 (π‘₯ = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)))
1514iota2 6486 . . . 4 (((℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) ∈ V ∧ βˆƒ!π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) β†’ ((℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (β„©π‘₯π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))))
163, 13, 15sylancr 588 . . 3 (πœ‘ β†’ ((℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (β„©π‘₯π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))))
172, 16mpbiri 258 . 2 (πœ‘ β†’ (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
182, 17eqeltrid 2842 1 (πœ‘ β†’ (β„©π‘₯π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆƒ*wmo 2537  βˆƒ!weu 2567   β‰  wne 2944  Vcvv 3446   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  β„©cio 6447  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11050  TopOpenctopn 17304  β„‚fldccnfld 20799  limPtclp 22488   limβ„‚ climc 25229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-icc 13272  df-fz 13426  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-rest 17305  df-topn 17306  df-topgen 17326  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-fbas 20796  df-fg 20797  df-cnfld 20800  df-top 22246  df-topon 22263  df-topsp 22285  df-bases 22299  df-cld 22373  df-ntr 22374  df-cls 22375  df-nei 22452  df-lp 22490  df-cnp 22582  df-haus 22669  df-fil 23200  df-fm 23292  df-flim 23293  df-flf 23294  df-xms 23676  df-ms 23677  df-limc 25233
This theorem is referenced by:  fourierdlem94  44448  fourierdlem113  44467
  Copyright terms: Public domain W3C validator