Theorem ellimciota 45643

Description: An explicit value for the limit, when the limit exists at a limit point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellimciota.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
ellimciota.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
ellimciota.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
ellimciota.4	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
ellimciota.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
ellimciota	⊢ (𝜑 → (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥

Proof of Theorem ellimciota

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2822	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
2	1	cbviotavw 6492	. 2 ⊢ (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
3		iotaex 6504	. . . 4 ⊢ (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ V
4		ellimciota.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
5		n0 4328	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
6	4, 5	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
7		ellimciota.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
8		ellimciota.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
9		ellimciota.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
10		ellimciota.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
11	7, 8, 9, 10	limcmo 25835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
12		df-eu 2568	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
13	6, 11, 12	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
14		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
15	14	iota2 6520	. . . 4 ⊢ (((℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ V ∧ ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → ((℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))
16	3, 13, 15	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))
17	2, 16	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
18	2, 17	eqeltrid 2838	1 ⊢ (𝜑 → (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∃*wmo 2537  ∃!weu 2567   ≠ wne 2932  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  ℩cio 6482  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  TopOpenctopn 17435  ℂ_fldccnfld 21315  limPtclp 23072   lim_ℂ climc 25815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-icc 13369  df-fz 13525  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-rest 17436  df-topn 17437  df-topgen 17457  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-lp 23074  df-cnp 23166  df-haus 23253  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-xms 24259  df-ms 24260  df-limc 25819

This theorem is referenced by:  fourierdlem94  46229  fourierdlem113  46248