Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellimciota Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellimciota 42253
 Description: An explicit value for the limit, when the limit exists at a limit point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ellimciota.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
ellimciota.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
ellimciota.b (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
ellimciota.4 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) ≠ ∅)
ellimciota.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
ellimciota (𝜑 → (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥

Proof of Theorem ellimciota
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2880 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
21cbviotavw 6295 . 2 (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
3 iotaex 6308 . . . 4 (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) ∈ V
4 ellimciota.4 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) ≠ ∅)
5 n0 4263 . . . . . 6 ((𝐹 lim 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
64, 5sylib 221 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
7 ellimciota.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
8 ellimciota.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
9 ellimciota.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
10 ellimciota.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
117, 8, 9, 10limcmo 24489 . . . . 5 (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
12 df-eu 2632 . . . . 5 (∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
136, 11, 12sylanbrc 586 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
14 eleq1 2880 . . . . 5 (𝑥 = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
1514iota2 6317 . . . 4 (((℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) ∈ V ∧ ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → ((℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
163, 13, 15sylancr 590 . . 3 (𝜑 → ((℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
172, 16mpbiri 261 . 2 (𝜑 → (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
182, 17eqeltrid 2897 1 (𝜑 → (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2112  ∃*wmo 2599  ∃!weu 2631   ≠ wne 2990  Vcvv 3444   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246  ℩cio 6285  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  TopOpenctopn 16691  ℂfldccnfld 20095  limPtclp 21743   limℂ climc 24469 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-icc 12737  df-fz 12890  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-rest 16692  df-topn 16693  df-topgen 16713  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-lp 21745  df-cnp 21837  df-haus 21924  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-limc 24473 This theorem is referenced by:  fourierdlem94  42839  fourierdlem113  42858
 Copyright terms: Public domain W3C validator