Theorem ellimciota 46446

Description: An explicit value for the limit, when the limit exists at a limit point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellimciota.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
ellimciota.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
ellimciota.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
ellimciota.4	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
ellimciota.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
ellimciota	⊢ (𝜑 → (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥

Proof of Theorem ellimciota

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2850	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
2	1	cbviotavw 6501	. 2 ⊢ (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
3		iotaex 6513	. . . 4 ⊢ (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ V
4		ellimciota.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
5		n0 4303	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
6	4, 5	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
7		ellimciota.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
8		ellimciota.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
9		ellimciota.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
10		ellimciota.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
11	7, 8, 9, 10	limcmo 26114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
12		df-eu 2596	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
13	6, 11, 12	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
14		eleq1 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
15	14	iota2 6526	. . . 4 ⊢ (((℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ V ∧ ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → ((℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))
16	3, 13, 15	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))
17	2, 16	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
18	2, 17	eqeltrid 2866	1 ⊢ (𝜑 → (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∃*wmo 2564  ∃!weu 2595   ≠ wne 2957  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  ℩cio 6491  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  TopOpenctopn 17510  ℂ_fldccnfld 21589  limPtclp 23363   lim_ℂ climc 26094

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-icc 13407  df-fz 13564  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-struct 17243  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-rest 17511  df-topn 17512  df-topgen 17532  df-psmet 21581  df-xmet 21582  df-met 21583  df-bl 21584  df-mopn 21585  df-fbas 21586  df-fg 21587  df-cnfld 21590  df-top 23123  df-topon 23140  df-topsp 23162  df-bases 23175  df-cld 23248  df-ntr 23249  df-cls 23250  df-nei 23327  df-lp 23365  df-cnp 23457  df-haus 23544  df-fil 24076  df-fm 24168  df-flim 24169  df-flf 24170  df-xms 24550  df-ms 24551  df-limc 26098

This theorem is used by:  fourierdlem94  47030  fourierdlem113  47049