Theorem ellimciota 45728

Description: An explicit value for the limit, when the limit exists at a limit point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellimciota.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
ellimciota.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
ellimciota.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
ellimciota.4	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
ellimciota.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
ellimciota	⊢ (𝜑 → (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥

Proof of Theorem ellimciota

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2821	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
2	1	cbviotavw 6453	. 2 ⊢ (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
3		iotaex 6465	. . . 4 ⊢ (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ V
4		ellimciota.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
5		n0 4304	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
6	4, 5	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
7		ellimciota.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
8		ellimciota.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
9		ellimciota.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
10		ellimciota.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
11	7, 8, 9, 10	limcmo 25820	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
12		df-eu 2566	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
13	6, 11, 12	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
14		eleq1 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
15	14	iota2 6478	. . . 4 ⊢ (((℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ V ∧ ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → ((℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))
16	3, 13, 15	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))
17	2, 16	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
18	2, 17	eqeltrid 2837	1 ⊢ (𝜑 → (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∃*wmo 2535  ∃!weu 2565   ≠ wne 2930  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  ∅c0 4284  ℩cio 6443  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  TopOpenctopn 17335  ℂ_fldccnfld 21301  limPtclp 23059   lim_ℂ climc 25800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-z 12479  df-dec 12599  df-uz 12743  df-q 12857  df-rp 12901  df-xneg 13021  df-xadd 13022  df-xmul 13023  df-icc 13262  df-fz 13418  df-seq 13919  df-exp 13979  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153  df-struct 17068  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-starv 17186  df-tset 17190  df-ple 17191  df-ds 17193  df-unif 17194  df-rest 17336  df-topn 17337  df-topgen 17357  df-psmet 21293  df-xmet 21294  df-met 21295  df-bl 21296  df-mopn 21297  df-fbas 21298  df-fg 21299  df-cnfld 21302  df-top 22819  df-topon 22836  df-topsp 22858  df-bases 22871  df-cld 22944  df-ntr 22945  df-cls 22946  df-nei 23023  df-lp 23061  df-cnp 23153  df-haus 23240  df-fil 23771  df-fm 23863  df-flim 23864  df-flf 23865  df-xms 24245  df-ms 24246  df-limc 25804

This theorem is referenced by:  fourierdlem94  46312  fourierdlem113  46331