MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknbp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknbp 27206
Description: Basic properties of a closed walk of a fixed length as word. (Contributed by AV, 30-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
clwwlknwrd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlknbp (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))

Proof of Theorem clwwlknbp
StepHypRef Expression
1 clwwlknwrd.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21clwwlknwrd 27205 . 2 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
3 clwwlknlen 27203 . 2 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
42, 3jca 503 1 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  cfv 6111  (class class class)co 6884  chash 13357  Word cword 13522  Vtxcvtx 26111   ClWWalksN cclwwlkn 27190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-oadd 7810  df-er 7989  df-map 8104  df-pm 8105  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-card 9058  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-nn 11316  df-n0 11580  df-z 11664  df-uz 11925  df-fz 12570  df-fzo 12710  df-hash 13358  df-word 13530  df-clwwlk 27148  df-clwwlkn 27192
This theorem is referenced by:  clwwlknp  27208  clwwlknwwlkncl  27225  clwwlknwwlknclOLD  27226  eleclclwwlknlem1  27234  eleclclwwlknlem2  27235  erclwwlknsym  27244  erclwwlkntr  27245  hashecclwwlkn1  27251  umgrhashecclwwlk  27252  clwlksfoclwwlkOLD  27260  2clwwlk2clwwlklem  27546  2clwwlk2clwwlk  27550  numclwwlk1lem2f1  27559  numclwlk2lem2f  27580  numclwlk2lem2f1o  27582  numclwlk2lem2fOLD  27587  numclwlk2lem2f1oOLD  27589
  Copyright terms: Public domain W3C validator