Theorem eleclclwwlknlem1 29890

Description: Lemma 1 for eleclclwwlkn 29906. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-May-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
erclwwlkn1.w	⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eleclclwwlknlem1	⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊)) → ((𝑋 = (𝑌 cyclShift 𝐾) ∧ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑍 = (𝑌 cyclShift 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑍 = (𝑋 cyclShift 𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝐺   𝑚,𝐾,𝑛   𝑚,𝑁,𝑛   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑌,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem eleclclwwlknlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	clwwlknbp 29865	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑌 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑌) = 𝑁))
3		erclwwlkn1.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
4	2, 3	eleq2s 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑊 → (𝑌 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑌) = 𝑁))
5	4	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → (𝑌 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑌) = 𝑁))
6	5	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊)) → (𝑌 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑌) = 𝑁))
7	6	adantr 479	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊)) ∧ (𝑋 = (𝑌 cyclShift 𝐾) ∧ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑍 = (𝑌 cyclShift 𝑚))) → (𝑌 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑌) = 𝑁))
8		simpl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊)) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
9	8	adantr 479	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊)) ∧ (𝑋 = (𝑌 cyclShift 𝐾) ∧ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑍 = (𝑌 cyclShift 𝑚))) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
10		simpl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = (𝑌 cyclShift 𝐾) ∧ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑍 = (𝑌 cyclShift 𝑚)) → 𝑋 = (𝑌 cyclShift 𝐾))
11	10	adantl 480	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊)) ∧ (𝑋 = (𝑌 cyclShift 𝐾) ∧ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑍 = (𝑌 cyclShift 𝑚))) → 𝑋 = (𝑌 cyclShift 𝐾))
12		simprr 771	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊)) ∧ (𝑋 = (𝑌 cyclShift 𝐾) ∧ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑍 = (𝑌 cyclShift 𝑚))) → ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑍 = (𝑌 cyclShift 𝑚))
13	9, 11, 12	3jca 1125	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊)) ∧ (𝑋 = (𝑌 cyclShift 𝐾) ∧ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑍 = (𝑌 cyclShift 𝑚))) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑋 = (𝑌 cyclShift 𝐾) ∧ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑍 = (𝑌 cyclShift 𝑚)))
14		2cshwcshw 14816	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑌) = 𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑋 = (𝑌 cyclShift 𝐾) ∧ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑍 = (𝑌 cyclShift 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑍 = (𝑋 cyclShift 𝑛)))
15	7, 13, 14	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊)) ∧ (𝑋 = (𝑌 cyclShift 𝐾) ∧ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑍 = (𝑌 cyclShift 𝑚))) → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑍 = (𝑋 cyclShift 𝑛))
16	15	ex 411	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊)) → ((𝑋 = (𝑌 cyclShift 𝐾) ∧ ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)𝑍 = (𝑌 cyclShift 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑍 = (𝑋 cyclShift 𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3067  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  ...cfz 13524  ♯chash 14329  Word cword 14504   cyclShift ccsh 14778  Vtxcvtx 28829   ClWWalksN cclwwlkn 29854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-substr 14631  df-pfx 14661  df-csh 14779  df-clwwlk 29812  df-clwwlkn 29855

This theorem is referenced by:  eleclclwwlknlem2  29891