MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isclwwlknx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isclwwlknx 30055
Description: Characterization of a word representing a closed walk of a fixed length, definition of ClWWalks expanded. (Contributed by AV, 25-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isclwwlknx.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isclwwlknx.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
isclwwlknx (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem isclwwlknx
StepHypRef Expression
1 eleq1 2829 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
2 len0nnbi 14589 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
32biimprcd 250 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
41, 3biimtrrdi 254 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅)))
54impcom 407 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅))
65imp 406 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → 𝑊 ≠ ∅)
76biantrurd 532 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
87bicomd 223 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
98pm5.32da 579 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
109ex 412 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))))
1110pm5.32rd 578 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
12 isclwwlkn 30046 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
13 isclwwlknx.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
14 isclwwlknx.e . . . . . 6 𝐸 = (Edg‘𝐺)
1513, 14isclwwlk 30003 . . . . 5 (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
16 3anass 1095 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
17 anass 468 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
1816, 17bitri 275 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
1915, 18bitri 275 . . . 4 (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
2019anbi1i 624 . . 3 ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
2112, 20bitri 275 . 2 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
22 3anass 1095 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
2322anbi1i 624 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
2411, 21, 233bitr4g 314 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  c0 4333  {cpr 4628  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  cmin 11492  cn 12266  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552  lastSclsw 14600  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064  ClWWalkscclwwlk 30000   ClWWalksN cclwwlkn 30043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-clwwlk 30001  df-clwwlkn 30044
This theorem is referenced by:  clwwlknp  30056  clwwlkn1  30060  clwwlkn2  30063  clwwlkf  30066  clwwlkext2edg  30075  wwlksext2clwwlk  30076  clwwlknonex2  30128  grtriclwlk3  47912
  Copyright terms: Public domain W3C validator