Theorem isclwwlknx 30609

Description: Characterization of a word representing a closed walk of a fixed length, definition of ClWWalks expanded. (Contributed by AV, 25-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isclwwlknx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isclwwlknx.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isclwwlknx	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem isclwwlknx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
2		len0nnbi 14676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
3	2	biimprcd 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ≠ ∅))
4	1, 3	biimtrrdi 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ≠ ∅)))
5	4	impcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ≠ ∅))
6	5	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → 𝑊 ≠ ∅)
7	6	biantrurd 542	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
8	7	bicomd 226	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
9	8	pm5.32da 590	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
10	9	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))))
11	10	pm5.32rd 589	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
12		isclwwlkn 30600	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
13		isclwwlknx.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
14		isclwwlknx.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
15	13, 14	isclwwlk 30557	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
16		3anass 1111	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
17		anass 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
18	16, 17	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
19	15, 18	bitri 278	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
20	19	anbi1i 636	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
21	12, 20	bitri 278	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
22		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
23	22	anbi1i 636	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
24	11, 21, 23	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∅c0 4279  {cpr 4586  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   − cmin 11522  ℕcn 12316  ..^cfzo 13768  ♯chash 14454  Word cword 14638  lastSclsw 14687  Vtxcvtx 29556  Edgcedg 29607  ClWWalkscclwwlk 30554   ClWWalksN cclwwlkn 30597

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-hash 14455  df-word 14639  df-clwwlk 30555  df-clwwlkn 30598

This theorem is used by:  clwwlknp  30610  clwwlkn1  30614  clwwlkn2  30617  clwwlkf  30620  clwwlkext2edg  30629  wwlksext2clwwlk  30630  clwwlknonex2  30682  grtriclwlk3  48987