MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isclwwlknx Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem isclwwlknx 29798
Description: Characterization of a word representing a closed walk of a fixed length, definition of ClWWalks expanded. (Contributed by AV, 25-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isclwwlknx.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
isclwwlknx.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
isclwwlknx (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑉(𝑖)
Proof of Theorem isclwwlknx
StepHypRef Expression
1 eleq1 2815 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘Š) = 𝑁 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• ↔ 𝑁 ∈ β„•))
2 len0nnbi 14507 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (π‘Š β‰  βˆ… ↔ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•))
32biimprcd 249 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„• β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ π‘Š β‰  βˆ…))
41, 3syl6bir 254 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π‘Š) = 𝑁 β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ π‘Š β‰  βˆ…)))
54impcom 407 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ π‘Š β‰  βˆ…))
65imp 406 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑉) β†’ π‘Š β‰  βˆ…)
76biantrurd 532 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑉) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ↔ (π‘Š β‰  βˆ… ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))))
87bicomd 222 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ π‘Š ∈ Word 𝑉) β†’ ((π‘Š β‰  βˆ… ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
98pm5.32da 578 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (π‘Š β‰  βˆ… ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))) ↔ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))))
109ex 412 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((β™―β€˜π‘Š) = 𝑁 β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (π‘Š β‰  βˆ… ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))) ↔ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)))))
1110pm5.32rd 577 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (π‘Š β‰  βˆ… ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)))
12 isclwwlkn 29789 . . 3 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
13 isclwwlknx.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
14 isclwwlknx.e . . . . . 6 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
1513, 14isclwwlk 29746 . . . . 5 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))
16 3anass 1092 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
17 anass 468 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ↔ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (π‘Š β‰  βˆ… ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))))
1816, 17bitri 275 . . . . 5 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘Š β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ↔ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (π‘Š β‰  βˆ… ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))))
1915, 18bitri 275 . . . 4 (π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ↔ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (π‘Š β‰  βˆ… ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))))
2019anbi1i 623 . . 3 ((π‘Š ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (π‘Š β‰  βˆ… ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
2112, 20bitri 275 . 2 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (π‘Š β‰  βˆ… ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸))) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
22 3anass 1092 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ↔ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
2322anbi1i 623 . 2 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
2411, 21, 233bitr4g 314 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆ…c0 4317  {cpr 4625  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  ..^cfzo 13633  β™―chash 14295  Word cword 14470  lastSclsw 14518  Vtxcvtx 28764  Edgcedg 28815  ClWWalkscclwwlk 29743   ClWWalksN cclwwlkn 29786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-clwwlk 29744  df-clwwlkn 29787
This theorem is referenced by:  clwwlknp  29799  clwwlkn1  29803  clwwlkn2  29806  clwwlkf  29809  clwwlkext2edg  29818  wwlksext2clwwlk  29819  clwwlknonex2  29871
  Copyright terms: Public domain W3C validator