Theorem hashclwwlkn0 30020

Description: The number of closed walks (defined as words) with a fixed length is the sum of the sizes of all equivalence classes according to ∼. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Apr-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
erclwwlkn.w	⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
erclwwlkn.r	⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}

Assertion

Ref	Expression
hashclwwlkn0	⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘𝑊) = Σ𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )(♯‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑢   𝑛,𝑁,𝑢,𝑡,𝑥   𝑛,𝑊   𝑥, ∼   𝑥,𝑊   𝑥,𝐺

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑢,𝑡,𝑛)   𝐺(𝑢,𝑡,𝑛)

Proof of Theorem hashclwwlkn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erclwwlkn.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
2		erclwwlkn.r	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
3	1, 2	erclwwlkn 30018	. . 3 ⊢ ∼ Er 𝑊
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → ∼ Er 𝑊)
5		clwwlknfi 29991	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
6	1, 5	eqeltrid 2837	. 2 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → 𝑊 ∈ Fin)
7	4, 6	qshash 15844	1 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘𝑊) = Σ𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )(♯‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059  {copab 5185  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412   Er wer 8723   / cqs 8725  Fincfn 8966  0cc0 11136  ...cfz 13528  ♯chash 14350   cyclShift ccsh 14807  Σcsu 15703  Vtxcvtx 28940   ClWWalksN cclwwlkn 29970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-disj 5091  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8726  df-ec 8728  df-qs 8732  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-div 11902  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-uz 12860  df-rp 13016  df-fz 13529  df-fzo 13676  df-fl 13813  df-mod 13891  df-seq 14024  df-exp 14084  df-hash 14351  df-word 14534  df-concat 14590  df-substr 14660  df-pfx 14690  df-csh 14808  df-cj 15119  df-re 15120  df-im 15121  df-sqrt 15255  df-abs 15256  df-clim 15505  df-sum 15704  df-clwwlk 29928  df-clwwlkn 29971

This theorem is referenced by:  fusgrhashclwwlkn  30025