MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashclwwlkn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashclwwlkn0 28417
Description: The number of closed walks (defined as words) with a fixed length is the sum of the sizes of all equivalence classes according to . (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Apr-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
erclwwlkn.w 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
erclwwlkn.r = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡𝑊𝑢𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
Assertion
Ref Expression
hashclwwlkn0 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘𝑊) = Σ𝑥 ∈ (𝑊 / )(♯‘𝑥))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑢   𝑛,𝑁,𝑢,𝑡,𝑥   𝑛,𝑊   𝑥,   𝑥,𝑊   𝑥,𝐺
Allowed substitution hints:   (𝑢,𝑡,𝑛)   𝐺(𝑢,𝑡,𝑛)

Proof of Theorem hashclwwlkn0
StepHypRef Expression
1 erclwwlkn.w . . . 4 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
2 erclwwlkn.r . . . 4 = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡𝑊𝑢𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
31, 2erclwwlkn 28415 . . 3 Er 𝑊
43a1i 11 . 2 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → Er 𝑊)
5 clwwlknfi 28388 . . 3 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
61, 5eqeltrid 2844 . 2 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → 𝑊 ∈ Fin)
74, 6qshash 15520 1 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘𝑊) = Σ𝑥 ∈ (𝑊 / )(♯‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109  wrex 3066  {copab 5140  cfv 6430  (class class class)co 7268   Er wer 8469   / cqs 8471  Fincfn 8707  0cc0 10855  ...cfz 13221  chash 14025   cyclShift ccsh 14482  Σcsu 15378  Vtxcvtx 27347   ClWWalksN cclwwlkn 28367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-disj 5044  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-oadd 8285  df-er 8472  df-ec 8474  df-qs 8478  df-map 8591  df-pm 8592  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-inf 9163  df-oi 9230  df-dju 9643  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-xnn0 12289  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-fl 13493  df-mod 13571  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-word 14199  df-concat 14255  df-substr 14335  df-pfx 14365  df-csh 14483  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-clim 15178  df-sum 15379  df-clwwlk 28325  df-clwwlkn 28368
This theorem is referenced by:  fusgrhashclwwlkn  28422
  Copyright terms: Public domain W3C validator