Theorem hashclwwlkn0 30677

Description: The number of closed walks (defined as words) with a fixed length is the sum of the sizes of all equivalence classes according to ∼. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Apr-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
erclwwlkn.w	⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
erclwwlkn.r	⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}

Assertion

Ref	Expression
hashclwwlkn0	⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘𝑊) = Σ𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )(♯‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑢   𝑛,𝑁,𝑢,𝑡,𝑥   𝑛,𝑊   𝑥, ∼   𝑥,𝑊   𝑥,𝐺

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑢, 𝑡, 𝑛)   𝐺(𝑢, 𝑡, 𝑛)

Proof of Theorem hashclwwlkn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erclwwlkn.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
2		erclwwlkn.r	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
3	1, 2	erclwwlkn 30675	. . 3 ⊢ ∼ Er 𝑊
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → ∼ Er 𝑊)
5		clwwlknfi 30648	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
6	1, 5	eqeltrid 2867	. 2 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → 𝑊 ∈ Fin)
7	4, 6	qshash 16006	1 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘𝑊) = Σ𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )(♯‘𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3089  {copab 5169  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   Er wer 8725   / cqs 8727  Fincfn 8984  0cc0 11210  ...cfz 13649  ♯chash 14484   cyclShift ccsh 14950  Σcsu 15865  Vtxcvtx 29586   ClWWalksN cclwwlkn 30627

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-inf2 9652  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-disj 5073  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8728  df-ec 8730  df-qs 8734  df-map 8860  df-pm 8861  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9444  df-inf 9445  df-oi 9514  df-dju 9992  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-n0 12617  df-xnn0 12690  df-z 12704  df-uz 12976  df-rp 13131  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-fl 13942  df-mod 14020  df-seq 14155  df-exp 14215  df-hash 14485  df-word 14669  df-concat 14726  df-substr 14800  df-pfx 14832  df-csh 14951  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-clim 15667  df-sum 15866  df-clwwlk 30585  df-clwwlkn 30628

This theorem is used by:  fusgrhashclwwlkn  30682