Theorem hashclwwlkn0 30494

Description: The number of closed walks (defined as words) with a fixed length is the sum of the sizes of all equivalence classes according to ∼. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Apr-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
erclwwlkn.w	⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
erclwwlkn.r	⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}

Assertion

Ref	Expression
hashclwwlkn0	⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘𝑊) = Σ𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )(♯‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑢   𝑛,𝑁,𝑢,𝑡,𝑥   𝑛,𝑊   𝑥, ∼   𝑥,𝑊   𝑥,𝐺

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑢, 𝑡, 𝑛)   𝐺(𝑢, 𝑡, 𝑛)

Proof of Theorem hashclwwlkn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erclwwlkn.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
2		erclwwlkn.r	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
3	1, 2	erclwwlkn 30492	. . 3 ⊢ ∼ Er 𝑊
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → ∼ Er 𝑊)
5		clwwlknfi 30465	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
6	1, 5	eqeltrid 2869	. 2 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → 𝑊 ∈ Fin)
7	4, 6	qshash 15904	1 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘𝑊) = Σ𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )(♯‘𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091  {copab 5175  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   Er wer 8697   / cqs 8699  Fincfn 8949  0cc0 11117  ...cfz 13553  ♯chash 14386   cyclShift ccsh 14851  Σcsu 15763  Vtxcvtx 29403   ClWWalksN cclwwlkn 30444

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-xnn0 12595  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-substr 14701  df-pfx 14733  df-csh 14852  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-sum 15764  df-clwwlk 30402  df-clwwlkn 30445

This theorem is used by:  fusgrhashclwwlkn  30499