Theorem qerclwwlknfi 30052

Description: The quotient set of the set of closed walks (defined as words) with a fixed length according to the equivalence relation ∼ is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Apr-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
erclwwlkn.w	⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
erclwwlkn.r	⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}

Assertion

Ref	Expression
qerclwwlknfi	⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑊 / ∼ ) ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑢   𝑛,𝑁,𝑢,𝑡   𝑛,𝑊

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑢,𝑡,𝑛)   𝐺(𝑢,𝑡,𝑛)

Proof of Theorem qerclwwlknfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erclwwlkn.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
2		clwwlknfi 30024	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
3	1, 2	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → 𝑊 ∈ Fin)
4		pwfi 9244	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑊 ∈ Fin)
5	3, 4	sylib 218	. 2 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → 𝒫 𝑊 ∈ Fin)
6		erclwwlkn.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
7	1, 6	erclwwlkn 30051	. . . 4 ⊢ ∼ Er 𝑊
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → ∼ Er 𝑊)
9	8	qsss 8726	. 2 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑊 / ∼ ) ⊆ 𝒫 𝑊)
10	5, 9	ssfid 9188	1 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑊 / ∼ ) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  𝒫 cpw 4559  {copab 5164  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   Er wer 8645   / cqs 8647  Fincfn 8895  0cc0 11044  ...cfz 13444   cyclShift ccsh 14729  Vtxcvtx 28976   ClWWalksN cclwwlkn 30003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-word 14455  df-concat 14512  df-substr 14582  df-pfx 14612  df-csh 14730  df-clwwlk 29961  df-clwwlkn 30004

This theorem is referenced by:  fusgrhashclwwlkn  30058  clwwlkndivn  30059