Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qerclwwlknfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qerclwwlknfi 27867
 Description: The quotient set of the set of closed walks (defined as words) with a fixed length according to the equivalence relation ∼ is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Apr-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
erclwwlkn.w 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
erclwwlkn.r = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡𝑊𝑢𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
Assertion
Ref Expression
qerclwwlknfi ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑊 / ) ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑢   𝑛,𝑁,𝑢,𝑡   𝑛,𝑊
Allowed substitution hints:   (𝑢,𝑡,𝑛)   𝐺(𝑢,𝑡,𝑛)

Proof of Theorem qerclwwlknfi
StepHypRef Expression
1 erclwwlkn.w . . . 4 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
2 clwwlknfi 27839 . . . 4 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
31, 2eqeltrid 2920 . . 3 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → 𝑊 ∈ Fin)
4 pwfi 8818 . . 3 (𝑊 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑊 ∈ Fin)
53, 4sylib 221 . 2 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → 𝒫 𝑊 ∈ Fin)
6 erclwwlkn.r . . . . 5 = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡𝑊𝑢𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
71, 6erclwwlkn 27866 . . . 4 Er 𝑊
87a1i 11 . . 3 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → Er 𝑊)
98qsss 8356 . 2 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑊 / ) ⊆ 𝒫 𝑊)
105, 9ssfid 8740 1 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑊 / ) ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3134  𝒫 cpw 4522  {copab 5115  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151   Er wer 8284   / cqs 8286  Fincfn 8507  0cc0 10537  ...cfz 12896   cyclShift ccsh 14152  Vtxcvtx 26798   ClWWalksN cclwwlkn 27818 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-ec 8289  df-qs 8293  df-map 8406  df-pm 8407  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-sup 8905  df-inf 8906  df-dju 9329  df-card 9367  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12897  df-fzo 13040  df-fl 13168  df-mod 13244  df-seq 13376  df-exp 13437  df-hash 13698  df-word 13869  df-concat 13925  df-substr 14005  df-pfx 14035  df-csh 14153  df-clwwlk 27776  df-clwwlkn 27819 This theorem is referenced by:  fusgrhashclwwlkn  27873  clwwlkndivn  27874
 Copyright terms: Public domain W3C validator