MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknonel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknonel 27324
Description: Characterization of a word over the set of vertices representing a closed walk on vertex 𝑋 of (nonzero) length 𝑁 in a graph 𝐺. This theorem would not hold for 𝑁 = 0 if 𝑊 = 𝑋 = ∅. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Sep-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlknonel.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknonel.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
clwwlknonel (𝑁 ≠ 0 → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem clwwlknonel
StepHypRef Expression
1 clwwlknonel.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 clwwlknonel.e . . . . . . 7 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2isclwwlk 27189 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
4 simpl 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) = 𝑁𝑊 = ∅) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
5 fveq2 6374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑊) = (♯‘∅))
6 hash0 13359 . . . . . . . . . . . . . . 15 (♯‘∅) = 0
75, 6syl6eq 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑊) = 0)
87adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) = 𝑁𝑊 = ∅) → (♯‘𝑊) = 0)
94, 8eqtr3d 2800 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑊) = 𝑁𝑊 = ∅) → 𝑁 = 0)
109ex 401 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑊 = ∅ → 𝑁 = 0))
1110necon3d 2957 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ≠ 0 → 𝑊 ≠ ∅))
1211impcom 396 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 ≠ ∅)
1312biantrud 527 . . . . . . . 8 ((𝑁 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅)))
1413bicomd 214 . . . . . . 7 ((𝑁 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ↔ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
15143anbi1d 1564 . . . . . 6 ((𝑁 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
163, 15syl5bb 274 . . . . 5 ((𝑁 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
1716a1d 25 . . . 4 ((𝑁 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
1817expimpd 445 . . 3 (𝑁 ≠ 0 → (((♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
1918pm5.32rd 573 . 2 (𝑁 ≠ 0 → ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ ((♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))))
20 isclwwlknon 27319 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
21 isclwwlkn 27235 . . . 4 (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
2221anbi1i 617 . . 3 ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ↔ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
23 anass 460 . . 3 (((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
2420, 22, 233bitri 288 . 2 (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
25 3anass 1116 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ ((♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
2619, 24, 253bitr4g 305 1 (𝑁 ≠ 0 → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2936  wral 3054  c0 4078  {cpr 4335  cfv 6067  (class class class)co 6841  0cc0 10188  1c1 10189   + caddc 10191  cmin 10519  ..^cfzo 12672  chash 13320  Word cword 13485  lastSclsw 13532  Vtxcvtx 26164  Edgcedg 26215  ClWWalkscclwwlk 27186   ClWWalksN cclwwlkn 27229  ClWWalksNOncclwwlknon 27314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-pm 8062  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-card 9015  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-n0 11538  df-xnn0 11610  df-z 11624  df-uz 11886  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13486  df-clwwlk 27187  df-clwwlkn 27231  df-clwwlknon 27315
This theorem is referenced by:  clwwlknonex2  27340  numclwwlk1lem2foa  27595  numclwwlk1lem2fo  27599
  Copyright terms: Public domain W3C validator