Theorem clwwlknonel 30182

Description: Characterization of a word over the set of vertices representing a closed walk on vertex 𝑋 of (nonzero) length 𝑁 in a graph 𝐺. This theorem would not hold for 𝑁 = 0 if 𝑊 = 𝑋 = ∅. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Sep-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlknonel.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknonel.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknonel	⊢ (𝑁 ≠ 0 → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑉(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem clwwlknonel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknonel.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		clwwlknonel.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	isclwwlk 30071	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
4		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ 𝑊 = ∅) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
5		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑊) = (♯‘∅))
6		hash0 14302	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘∅) = 0
7	5, 6	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 = ∅ → (♯‘𝑊) = 0)
8	7	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ 𝑊 = ∅) → (♯‘𝑊) = 0)
9	4, 8	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ 𝑊 = ∅) → 𝑁 = 0)
10	9	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑊 = ∅ → 𝑁 = 0))
11	10	necon3d 2954	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ≠ 0 → 𝑊 ≠ ∅))
12	11	impcom 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 ≠ ∅)
13	12	biantrud 531	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅)))
14	13	bicomd 223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ↔ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
15	14	3anbi1d 1443	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
16	3, 15	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
17	16	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
18	17	expimpd 453	. . 3 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → (((♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) → (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
19	18	pm5.32rd 578	. 2 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ ((♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))))
20		isclwwlknon 30178	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
21		isclwwlkn 30114	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
22	21	anbi1i 625	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ↔ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
23		anass 468	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
24	20, 22, 23	3bitri 297	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
25		3anass 1095	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ ((♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))
26	19, 24, 25	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∅c0 4287  {cpr 4584  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11376  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265  Word cword 14448  lastSclsw 14497  Vtxcvtx 29081  Edgcedg 29132  ClWWalkscclwwlk 30068   ClWWalksN cclwwlkn 30111  ClWWalksNOncclwwlknon 30174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-clwwlk 30069  df-clwwlkn 30112  df-clwwlknon 30175

This theorem is referenced by:  clwwlknonex2  30196  numclwwlk1lem2foa  30441  numclwwlk1lem2fo  30445