Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodcnlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fprodcnlem 44315
Description: A finite product of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. Induction step. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcnlem.1 β„²π‘˜πœ‘
fprodcnlem.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
fprodcnlem.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
fprodcnlem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fprodcnlem.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
fprodcnlem.z (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
fprodcnlem.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (𝐴 βˆ– 𝑍))
fprodcnlem.p (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fprodcnlem (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ (𝑍 βˆͺ {π‘Š})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐽,π‘₯   π‘˜,𝐾,π‘₯   π‘˜,π‘Š,π‘₯   π‘˜,𝑋,π‘₯   π‘˜,𝑍   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯,π‘˜)   𝑍(π‘₯)
Proof of Theorem fprodcnlem
StepHypRef Expression
1 fprodcnlem.1 . . . . 5 β„²π‘˜πœ‘
2 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘˜ π‘₯ ∈ 𝑋
31, 2nfan 1903 . . . 4 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)
4 nfcsb1v 3919 . . . 4 β„²π‘˜β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅
5 fprodcnlem.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
6 fprodcnlem.z . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
75, 6ssfid 9267 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Fin)
87adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑍 ∈ Fin)
9 fprodcnlem.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (𝐴 βˆ– 𝑍))
109adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ (𝐴 βˆ– 𝑍))
1110eldifbd 3962 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Β¬ π‘Š ∈ 𝑍)
126sselda 3983 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
1312adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
14 fprodcnlem.j . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1514adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
16 fprodcnlem.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1716cnfldtopon 24299 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
19 fprodcnlem.b . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
20 cnf2 22753 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
2115, 18, 19, 20syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
22 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)
2322fmpt 7110 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
2421, 23sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚)
2524adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚)
26 simplr 768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
27 rspa 3246 . . . . . 6 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2825, 26, 27syl2anc 585 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2913, 28syldan 592 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
30 csbeq1a 3908 . . . 4 (π‘˜ = π‘Š β†’ 𝐡 = β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅)
3110eldifad 3961 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ 𝐴)
32 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ π‘Š ∈ 𝐴)
33 nfcv 2904 . . . . . . 7 β„²π‘˜π‘Š
34 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜ π‘Š ∈ 𝐴
353, 34nfan 1903 . . . . . . . 8 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘Š ∈ 𝐴)
364nfel1 2920 . . . . . . . 8 β„²π‘˜β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚
3735, 36nfim 1900 . . . . . . 7 β„²π‘˜(((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
38 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘Š β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ π‘Š ∈ 𝐴))
3938anbi2d 630 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘Š β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘Š ∈ 𝐴)))
4030eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘Š β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ↔ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
4139, 40imbi12d 345 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘Š β†’ ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)))
4233, 37, 41, 28vtoclgf 3555 . . . . . 6 (π‘Š ∈ 𝐴 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
4332, 42mpcom 38 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
4431, 43mpdan 686 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
453, 4, 8, 10, 11, 29, 30, 44fprodsplitsn 15933 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆπ‘˜ ∈ (𝑍 βˆͺ {π‘Š})𝐡 = (βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐡 Β· β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅))
4645mpteq2dva 5249 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ (𝑍 βˆͺ {π‘Š})𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐡 Β· β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅)))
47 fprodcnlem.p . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
489eldifad 3961 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐴)
491, 34nfan 1903 . . . . . . 7 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ π‘Š ∈ 𝐴)
50 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜π‘‹
5150, 4nfmpt 5256 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅)
52 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(𝐽 Cn 𝐾)
5351, 52nfel 2918 . . . . . . 7 β„²π‘˜(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
5449, 53nfim 1900 . . . . . 6 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5538anbi2d 630 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘Š β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ π‘Š ∈ 𝐴)))
5630mpteq2dv 5251 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘Š β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅))
5756eleq1d 2819 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘Š β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
5855, 57imbi12d 345 . . . . . 6 (π‘˜ = π‘Š β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
5919idi 1 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6033, 54, 58, 59vtoclgf 3555 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
6160anabsi7 670 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6248, 61mpdan 686 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6316mulcn 24383 . . . 4 Β· ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾)
6463a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ Β· ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
6514, 47, 62, 64cnmpt12f 23170 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐡 Β· β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6646, 65eqeltrd 2834 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ (𝑍 βˆͺ {π‘Š})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  β¦‹csb 3894   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4629   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  β„‚cc 11108   Β· cmul 11115  βˆcprod 15849  TopOpenctopn 17367  β„‚fldccnfld 20944  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728   Γ—t ctx 23064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-prod 15850  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828
This theorem is referenced by:  fprodcn  44316
  Copyright terms: Public domain W3C validator