Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodcnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodcnlem 41745
Description: A finite product of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. Induction step. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcnlem.1 𝑘𝜑
fprodcnlem.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
fprodcnlem.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fprodcnlem.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodcnlem.b ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
fprodcnlem.z (𝜑𝑍𝐴)
fprodcnlem.w (𝜑𝑊 ∈ (𝐴𝑍))
fprodcnlem.p (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑍 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fprodcnlem (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑍 ∪ {𝑊})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐽,𝑥   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑊,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝑘,𝑍   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem fprodcnlem
StepHypRef Expression
1 fprodcnlem.1 . . . . 5 𝑘𝜑
2 nfv 1908 . . . . 5 𝑘 𝑥𝑋
31, 2nfan 1893 . . . 4 𝑘(𝜑𝑥𝑋)
4 nfcsb1v 3911 . . . 4 𝑘𝑊 / 𝑘𝐵
5 fprodcnlem.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 fprodcnlem.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝐴)
75, 6ssfid 8730 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ Fin)
87adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑍 ∈ Fin)
9 fprodcnlem.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ (𝐴𝑍))
109adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑊 ∈ (𝐴𝑍))
1110eldifbd 3953 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ¬ 𝑊𝑍)
126sselda 3971 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝐴)
1312adantlr 711 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘𝐴)
14 fprodcnlem.j . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1514adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
16 fprodcnlem.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
1716cnfldtopon 23306 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
19 fprodcnlem.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
20 cnf2 21773 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
2115, 18, 19, 20syl3anc 1365 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
22 eqid 2826 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝐵)
2322fmpt 6870 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
2421, 23sylibr 235 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
2524adantlr 711 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
26 simplr 765 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑥𝑋)
27 rspa 3211 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
2825, 26, 27syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2913, 28syldan 591 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
30 csbeq1a 3901 . . . 4 (𝑘 = 𝑊𝐵 = 𝑊 / 𝑘𝐵)
3110eldifad 3952 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑊𝐴)
32 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑊𝐴) → 𝑊𝐴)
33 nfcv 2982 . . . . . . 7 𝑘𝑊
34 nfv 1908 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑊𝐴
353, 34nfan 1893 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑊𝐴)
364nfel1 2999 . . . . . . . 8 𝑘𝑊 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
3735, 36nfim 1890 . . . . . . 7 𝑘(((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑊𝐴) → 𝑊 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
38 eleq1 2905 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑊 → (𝑘𝐴𝑊𝐴))
3938anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑊 → (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) ↔ ((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑊𝐴)))
4030eleq1d 2902 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑊 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑊 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
4139, 40imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑊 → ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑊𝐴) → 𝑊 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
4233, 37, 41, 28vtoclgf 3571 . . . . . 6 (𝑊𝐴 → (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑊𝐴) → 𝑊 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
4332, 42mpcom 38 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑊𝐴) → 𝑊 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
4431, 43mpdan 683 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑊 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
453, 4, 8, 10, 11, 29, 30, 44fprodsplitsn 15333 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑘 ∈ (𝑍 ∪ {𝑊})𝐵 = (∏𝑘𝑍 𝐵 · 𝑊 / 𝑘𝐵))
4645mpteq2dva 5158 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑍 ∪ {𝑊})𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ (∏𝑘𝑍 𝐵 · 𝑊 / 𝑘𝐵)))
47 fprodcnlem.p . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑍 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
489eldifad 3952 . . . 4 (𝜑𝑊𝐴)
491, 34nfan 1893 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑊𝐴)
50 nfcv 2982 . . . . . . . . 9 𝑘𝑋
5150, 4nfmpt 5160 . . . . . . . 8 𝑘(𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵)
52 nfcv 2982 . . . . . . . 8 𝑘(𝐽 Cn 𝐾)
5351, 52nfel 2997 . . . . . . 7 𝑘(𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
5449, 53nfim 1890 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝑊𝐴) → (𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5538anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑊 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑊𝐴)))
5630mpteq2dv 5159 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑊 → (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵))
5756eleq1d 2902 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑊 → ((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
5855, 57imbi12d 346 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑊 → (((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ ((𝜑𝑊𝐴) → (𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
5919idi 1 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6033, 54, 58, 59vtoclgf 3571 . . . . 5 (𝑊𝐴 → ((𝜑𝑊𝐴) → (𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
6160anabsi7 667 . . . 4 ((𝜑𝑊𝐴) → (𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6248, 61mpdan 683 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6316mulcn 23390 . . . 4 · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
6463a1i 11 . . 3 (𝜑 → · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
6514, 47, 62, 64cnmpt12f 22190 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (∏𝑘𝑍 𝐵 · 𝑊 / 𝑘𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6646, 65eqeltrd 2918 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑍 ∪ {𝑊})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wnf 1777  wcel 2107  wral 3143  csb 3887  cdif 3937  cun 3938  wss 3940  {csn 4564  cmpt 5143  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  Fincfn 8498  cc 10524   · cmul 10531  cprod 15249  TopOpenctopn 16685  fldccnfld 20461  TopOnctopon 21434   Cn ccn 21748   ×t ctx 22084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-prod 15250  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847
This theorem is referenced by:  fprodcn  41746
  Copyright terms: Public domain W3C validator