Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodcnlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fprodcnlem 44892
Description: A finite product of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. Induction step. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.) Avoid ax-mulf 11192. (Revised by GG, 19-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcnlem.1 β„²π‘˜πœ‘
fprodcnlem.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
fprodcnlem.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
fprodcnlem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fprodcnlem.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
fprodcnlem.z (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
fprodcnlem.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (𝐴 βˆ– 𝑍))
fprodcnlem.p (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fprodcnlem (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ (𝑍 βˆͺ {π‘Š})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐽,π‘₯   π‘˜,𝐾,π‘₯   π‘˜,π‘Š,π‘₯   π‘˜,𝑋,π‘₯   π‘˜,𝑍   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯,π‘˜)   𝑍(π‘₯)
Proof of Theorem fprodcnlem
Dummy variables 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodcnlem.1 . . . . 5 β„²π‘˜πœ‘
2 nfv 1909 . . . . 5 β„²π‘˜ π‘₯ ∈ 𝑋
31, 2nfan 1894 . . . 4 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)
4 nfcsb1v 3913 . . . 4 β„²π‘˜β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅
5 fprodcnlem.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
6 fprodcnlem.z . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
75, 6ssfid 9269 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Fin)
87adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑍 ∈ Fin)
9 fprodcnlem.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (𝐴 βˆ– 𝑍))
109adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ (𝐴 βˆ– 𝑍))
1110eldifbd 3956 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Β¬ π‘Š ∈ 𝑍)
126sselda 3977 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
1312adantlr 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
14 fprodcnlem.j . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1514adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
16 fprodcnlem.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1716cnfldtopon 24654 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
19 fprodcnlem.b . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
20 cnf2 23108 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
2115, 18, 19, 20syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
22 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)
2322fmpt 7105 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
2421, 23sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚)
2524adantlr 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚)
26 simplr 766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
27 rspa 3239 . . . . . 6 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2825, 26, 27syl2anc 583 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2913, 28syldan 590 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
30 csbeq1a 3902 . . . 4 (π‘˜ = π‘Š β†’ 𝐡 = β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅)
3110eldifad 3955 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ 𝐴)
32 nfv 1909 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜ π‘Š ∈ 𝐴
333, 32nfan 1894 . . . . . . . 8 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘Š ∈ 𝐴)
344nfel1 2913 . . . . . . . 8 β„²π‘˜β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚
3533, 34nfim 1891 . . . . . . 7 β„²π‘˜(((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
36 eleq1 2815 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘Š β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ π‘Š ∈ 𝐴))
3736anbi2d 628 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘Š β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘Š ∈ 𝐴)))
3830eleq1d 2812 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘Š β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ↔ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
3937, 38imbi12d 344 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘Š β†’ ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)))
4035, 39, 28vtoclg1f 3553 . . . . . 6 (π‘Š ∈ 𝐴 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
4140anabsi7 668 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
4231, 41mpdan 684 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
433, 4, 8, 10, 11, 29, 30, 42fprodsplitsn 15939 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆπ‘˜ ∈ (𝑍 βˆͺ {π‘Š})𝐡 = (βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐡 Β· β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅))
4443mpteq2dva 5241 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ (𝑍 βˆͺ {π‘Š})𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐡 Β· β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅)))
45 fprodcnlem.p . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
469eldifad 3955 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐴)
471, 32nfan 1894 . . . . . . 7 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ π‘Š ∈ 𝐴)
48 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜π‘‹
4948, 4nfmpt 5248 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅)
5049nfel1 2913 . . . . . . 7 β„²π‘˜(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
5147, 50nfim 1891 . . . . . 6 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5236anbi2d 628 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘Š β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ π‘Š ∈ 𝐴)))
5330mpteq2dv 5243 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘Š β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅))
5453eleq1d 2812 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘Š β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
5552, 54imbi12d 344 . . . . . 6 (π‘˜ = π‘Š β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
5651, 55, 19vtoclg1f 3553 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
5756anabsi7 668 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5846, 57mpdan 684 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5917a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
6016mpomulcn 24740 . . . 4 (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾)
6160a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
62 oveq12 7414 . . 3 ((𝑒 = βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐡 ∧ 𝑣 = β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅) β†’ (𝑒 Β· 𝑣) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐡 Β· β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅))
6314, 45, 58, 59, 59, 61, 62cnmpt12 23526 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐡 Β· β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6444, 63eqeltrd 2827 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ (𝑍 βˆͺ {π‘Š})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  β¦‹csb 3888   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943  {csn 4623   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Fincfn 8941  β„‚cc 11110   Β· cmul 11117  βˆcprod 15855  TopOpenctopn 17376  β„‚fldccnfld 21240  TopOnctopon 22767   Cn ccn 23083   Γ—t ctx 23419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-prod 15856  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183
This theorem is referenced by:  fprodcn  44893
  Copyright terms: Public domain W3C validator