Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodcnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodcnlem 45555
Description: A finite product of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. Induction step. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.) Avoid ax-mulf 11233. (Revised by GG, 19-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcnlem.1 𝑘𝜑
fprodcnlem.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
fprodcnlem.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fprodcnlem.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodcnlem.b ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
fprodcnlem.z (𝜑𝑍𝐴)
fprodcnlem.w (𝜑𝑊 ∈ (𝐴𝑍))
fprodcnlem.p (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑍 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fprodcnlem (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑍 ∪ {𝑊})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐽,𝑥   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑊,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝑘,𝑍   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem fprodcnlem
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodcnlem.1 . . . . 5 𝑘𝜑
2 nfv 1912 . . . . 5 𝑘 𝑥𝑋
31, 2nfan 1897 . . . 4 𝑘(𝜑𝑥𝑋)
4 nfcsb1v 3933 . . . 4 𝑘𝑊 / 𝑘𝐵
5 fprodcnlem.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 fprodcnlem.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝐴)
75, 6ssfid 9299 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ Fin)
87adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑍 ∈ Fin)
9 fprodcnlem.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ (𝐴𝑍))
109adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑊 ∈ (𝐴𝑍))
1110eldifbd 3976 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ¬ 𝑊𝑍)
126sselda 3995 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝐴)
1312adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝑍) → 𝑘𝐴)
14 fprodcnlem.j . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1514adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
16 fprodcnlem.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
1716cnfldtopon 24819 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
19 fprodcnlem.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
20 cnf2 23273 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
2115, 18, 19, 20syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
22 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝐵)
2322fmpt 7130 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶ℂ)
2421, 23sylibr 234 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
2524adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ)
26 simplr 769 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑥𝑋)
27 rspa 3246 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
2825, 26, 27syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2913, 28syldan 591 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
30 csbeq1a 3922 . . . 4 (𝑘 = 𝑊𝐵 = 𝑊 / 𝑘𝐵)
3110eldifad 3975 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑊𝐴)
32 nfv 1912 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑊𝐴
333, 32nfan 1897 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑊𝐴)
344nfel1 2920 . . . . . . . 8 𝑘𝑊 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
3533, 34nfim 1894 . . . . . . 7 𝑘(((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑊𝐴) → 𝑊 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
36 eleq1 2827 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑊 → (𝑘𝐴𝑊𝐴))
3736anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑊 → (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) ↔ ((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑊𝐴)))
3830eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑊 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑊 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
3937, 38imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑊 → ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑊𝐴) → 𝑊 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
4035, 39, 28vtoclg1f 3570 . . . . . 6 (𝑊𝐴 → (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑊𝐴) → 𝑊 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
4140anabsi7 671 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑊𝐴) → 𝑊 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
4231, 41mpdan 687 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑊 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
433, 4, 8, 10, 11, 29, 30, 42fprodsplitsn 16022 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ∏𝑘 ∈ (𝑍 ∪ {𝑊})𝐵 = (∏𝑘𝑍 𝐵 · 𝑊 / 𝑘𝐵))
4443mpteq2dva 5248 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑍 ∪ {𝑊})𝐵) = (𝑥𝑋 ↦ (∏𝑘𝑍 𝐵 · 𝑊 / 𝑘𝐵)))
45 fprodcnlem.p . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘𝑍 𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
469eldifad 3975 . . . 4 (𝜑𝑊𝐴)
471, 32nfan 1897 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑊𝐴)
48 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑘𝑋
4948, 4nfmpt 5255 . . . . . . . 8 𝑘(𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵)
5049nfel1 2920 . . . . . . 7 𝑘(𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
5147, 50nfim 1894 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝑊𝐴) → (𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5236anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑊 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑊𝐴)))
5330mpteq2dv 5250 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑊 → (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵))
5453eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑊 → ((𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
5552, 54imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑊 → (((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ ((𝜑𝑊𝐴) → (𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
5651, 55, 19vtoclg1f 3570 . . . . 5 (𝑊𝐴 → ((𝜑𝑊𝐴) → (𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
5756anabsi7 671 . . . 4 ((𝜑𝑊𝐴) → (𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5846, 57mpdan 687 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋𝑊 / 𝑘𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5917a1i 11 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
6016mpomulcn 24905 . . . 4 (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
6160a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
62 oveq12 7440 . . 3 ((𝑢 = ∏𝑘𝑍 𝐵𝑣 = 𝑊 / 𝑘𝐵) → (𝑢 · 𝑣) = (∏𝑘𝑍 𝐵 · 𝑊 / 𝑘𝐵))
6314, 45, 58, 59, 59, 61, 62cnmpt12 23691 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (∏𝑘𝑍 𝐵 · 𝑊 / 𝑘𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6444, 63eqeltrd 2839 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑍 ∪ {𝑊})𝐵) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wral 3059  csb 3908  cdif 3960  cun 3961  wss 3963  {csn 4631  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Fincfn 8984  cc 11151   · cmul 11158  cprod 15936  TopOpenctopn 17468  fldccnfld 21382  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248   ×t ctx 23584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-prod 15937  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348
This theorem is referenced by:  fprodcn  45556
  Copyright terms: Public domain W3C validator