Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodcnlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fprodcnlem 45049
Description: A finite product of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. Induction step. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.) Avoid ax-mulf 11216. (Revised by GG, 19-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcnlem.1 β„²π‘˜πœ‘
fprodcnlem.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
fprodcnlem.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
fprodcnlem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fprodcnlem.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
fprodcnlem.z (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
fprodcnlem.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (𝐴 βˆ– 𝑍))
fprodcnlem.p (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fprodcnlem (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ (𝑍 βˆͺ {π‘Š})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐽,π‘₯   π‘˜,𝐾,π‘₯   π‘˜,π‘Š,π‘₯   π‘˜,𝑋,π‘₯   π‘˜,𝑍   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯,π‘˜)   𝑍(π‘₯)
Proof of Theorem fprodcnlem
Dummy variables 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodcnlem.1 . . . . 5 β„²π‘˜πœ‘
2 nfv 1909 . . . . 5 β„²π‘˜ π‘₯ ∈ 𝑋
31, 2nfan 1894 . . . 4 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋)
4 nfcsb1v 3910 . . . 4 β„²π‘˜β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅
5 fprodcnlem.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
6 fprodcnlem.z . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
75, 6ssfid 9288 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Fin)
87adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑍 ∈ Fin)
9 fprodcnlem.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (𝐴 βˆ– 𝑍))
109adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ (𝐴 βˆ– 𝑍))
1110eldifbd 3953 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Β¬ π‘Š ∈ 𝑍)
126sselda 3972 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
1312adantlr 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
14 fprodcnlem.j . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1514adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
16 fprodcnlem.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
1716cnfldtopon 24715 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
19 fprodcnlem.b . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
20 cnf2 23169 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
2115, 18, 19, 20syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
22 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡)
2322fmpt 7114 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡):π‘‹βŸΆβ„‚)
2421, 23sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚)
2524adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚)
26 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
27 rspa 3236 . . . . . 6 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 𝐡 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2825, 26, 27syl2anc 582 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2913, 28syldan 589 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
30 csbeq1a 3899 . . . 4 (π‘˜ = π‘Š β†’ 𝐡 = β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅)
3110eldifad 3952 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘Š ∈ 𝐴)
32 nfv 1909 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜ π‘Š ∈ 𝐴
333, 32nfan 1894 . . . . . . . 8 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘Š ∈ 𝐴)
344nfel1 2909 . . . . . . . 8 β„²π‘˜β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚
3533, 34nfim 1891 . . . . . . 7 β„²π‘˜(((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
36 eleq1 2813 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘Š β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↔ π‘Š ∈ 𝐴))
3736anbi2d 628 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘Š β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘Š ∈ 𝐴)))
3830eleq1d 2810 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘Š β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ↔ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
3937, 38imbi12d 343 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘Š β†’ ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)))
4035, 39, 28vtoclg1f 3549 . . . . . 6 (π‘Š ∈ 𝐴 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
4140anabsi7 669 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
4231, 41mpdan 685 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
433, 4, 8, 10, 11, 29, 30, 42fprodsplitsn 15963 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆπ‘˜ ∈ (𝑍 βˆͺ {π‘Š})𝐡 = (βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐡 Β· β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅))
4443mpteq2dva 5243 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ (𝑍 βˆͺ {π‘Š})𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐡 Β· β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅)))
45 fprodcnlem.p . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
469eldifad 3952 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐴)
471, 32nfan 1894 . . . . . . 7 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ π‘Š ∈ 𝐴)
48 nfcv 2892 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜π‘‹
4948, 4nfmpt 5250 . . . . . . . 8 β„²π‘˜(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅)
5049nfel1 2909 . . . . . . 7 β„²π‘˜(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)
5147, 50nfim 1891 . . . . . 6 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5236anbi2d 628 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘Š β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ π‘Š ∈ 𝐴)))
5330mpteq2dv 5245 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘Š β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅))
5453eleq1d 2810 . . . . . . 7 (π‘˜ = π‘Š β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
5552, 54imbi12d 343 . . . . . 6 (π‘˜ = π‘Š β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ↔ ((πœ‘ ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
5651, 55, 19vtoclg1f 3549 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝐴 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
5756anabsi7 669 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Š ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5846, 57mpdan 685 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5917a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
6016mpomulcn 24801 . . . 4 (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾)
6160a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
62 oveq12 7424 . . 3 ((𝑒 = βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐡 ∧ 𝑣 = β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅) β†’ (𝑒 Β· 𝑣) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐡 Β· β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅))
6314, 45, 58, 59, 59, 61, 62cnmpt12 23587 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (βˆπ‘˜ ∈ 𝑍 𝐡 Β· β¦‹π‘Š / π‘˜β¦Œπ΅)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6444, 63eqeltrd 2825 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆπ‘˜ ∈ (𝑍 βˆͺ {π‘Š})𝐡) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  β¦‹csb 3885   βˆ– cdif 3937   βˆͺ cun 3938   βŠ† wss 3940  {csn 4624   ↦ cmpt 5226  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ∈ cmpo 7417  Fincfn 8960  β„‚cc 11134   Β· cmul 11141  βˆcprod 15879  TopOpenctopn 17400  β„‚fldccnfld 21281  TopOnctopon 22828   Cn ccn 23144   Γ—t ctx 23480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-prod 15880  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244
This theorem is referenced by:  fprodcn  45050
  Copyright terms: Public domain W3C validator