Theorem cycsubgcyg2 19835

Description: The cyclic subgroup generated by 𝐴 is a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubgcyg2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubgcyg2.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
cycsubgcyg2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐺 ↾s (𝐾‘{𝐴})) ∈ CycGrp)

Proof of Theorem cycsubgcyg2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubgcyg2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝐴))
4		cycsubgcyg2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
5	1, 2, 3, 4	cycsubg2 19143	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝐴)))
6	5	oveq2d 7376	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐺 ↾s (𝐾‘{𝐴})) = (𝐺 ↾s ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝐴))))
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝐴)) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝐴))
8	1, 2, 7	cycsubgcyg 19834	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐺 ↾s ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝐴))) ∈ CycGrp)
9	6, 8	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐺 ↾s (𝐾‘{𝐴})) ∈ CycGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4581   ↦ cmpt 5180  ran crn 5626  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℤcz 12492  Basecbs 17140   ↾_s cress 17161  mrClscmrc 17506  Grpcgrp 18867  ._gcmg 19001  SubGrpcsubg 19054  CycGrpccyg 19810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-seq 13929  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-0g 17365  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-cyg 19811

This theorem is referenced by:  pgpfaclem1  20016