Theorem cycsubgcyg2 19877

Description: The cyclic subgroup generated by 𝐴 is a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubgcyg2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubgcyg2.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
cycsubgcyg2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐺 ↾s (𝐾‘{𝐴})) ∈ CycGrp)

Proof of Theorem cycsubgcyg2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubgcyg2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝐴))
4		cycsubgcyg2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
5	1, 2, 3, 4	cycsubg2 19185	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝐴)))
6	5	oveq2d 7383	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐺 ↾s (𝐾‘{𝐴})) = (𝐺 ↾s ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝐴))))
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝐴)) = ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝐴))
8	1, 2, 7	cycsubgcyg 19876	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐺 ↾s ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛(.g‘𝐺)𝐴))) ∈ CycGrp)
9	6, 8	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐺 ↾s (𝐾‘{𝐴})) ∈ CycGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4568   ↦ cmpt 5167  ran crn 5632  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  ℤcz 12524  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  mrClscmrc 17545  Grpcgrp 18909  ._gcmg 19043  SubGrpcsubg 19096  CycGrpccyg 19852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-seq 13964  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-cyg 19853

This theorem is referenced by:  pgpfaclem1  20058