Theorem coscn 26805

Description: Cosine is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
coscn	⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)

Proof of Theorem coscn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cos 16268	. 2 ⊢ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘( -i · 𝑥))) / 2))
2		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3	2	addcn 25218	. . . . . . . . 9 ⊢ + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5		efcn 26803	. . . . . . . . . 10 ⊢ exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7		ax-icn 11289	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
8		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))
9	8	mulc1cncf 25259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
10	7, 9	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
11	6, 10	cncfmpt1f 25268	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
12		negicn 11588	. . . . . . . . . 10 ⊢ -i ∈ ℂ
13		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ( -i · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ( -i · 𝑥))
14	13	mulc1cncf 25259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -i ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ( -i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
15	12, 14	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ( -i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
16	6, 15	cncfmpt1f 25268	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘( -i · 𝑥))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
17	2, 4, 11, 16	cncfmpt2f 25269	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘( -i · 𝑥)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
18		cncff 25247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘( -i · 𝑥)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘( -i · 𝑥)))):ℂ⟶ℂ)
19	17, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘( -i · 𝑥)))):ℂ⟶ℂ)
20		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘( -i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘( -i · 𝑥))))
21	20	fmpt 7137	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℂ ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘( -i · 𝑥))) ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘( -i · 𝑥)))):ℂ⟶ℂ)
22	19, 21	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∀𝑥 ∈ ℂ ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘( -i · 𝑥))) ∈ ℂ)
23		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘( -i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘( -i · 𝑥)))))
24		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 / 2)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 / 2)))
25		oveq1 7453	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘( -i · 𝑥))) → (𝑦 / 2) = (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘( -i · 𝑥))) / 2))
26	22, 23, 24, 25	fmptcof 7158	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 / 2)) ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘( -i · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘( -i · 𝑥))) / 2)))
27		2cn 12448	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
28		2ne0 12479	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
29		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 / 2)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 / 2))
30	29	divccncf 25260	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
31	27, 28, 30	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
33	17, 32	cncfco 25261	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 / 2)) ∘ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘( -i · 𝑥))))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
34	26, 33	eqeltrrd 2865	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘( -i · 𝑥))) / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
35	34	mptru 1577	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘( -i · 𝑥))) / 2)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
36	1, 35	eqeltri 2860	1 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)

This proof depends on syntax axioms:  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ↦ cmpt 5190   ∘ ccom 5660  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  0cc0 11230  ici 11232   + caddc 11233   · cmul 11235   -cneg 11572   / cdiv 12003  2c2 12427  expce 16259  cosccos 16262  TopOpenctopn 17624  ℂ_fldccnfld 21711   Cn ccn 23575   ×_t ctx 23912  –cn→ccncf 25230

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-seq 14175  df-exp 14235  df-fac 14448  df-bc 14477  df-hash 14505  df-shft 15252  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-limsup 15670  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-sum 15886  df-ef 16265  df-cos 16268  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-rest 17625  df-topn 17626  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-topgen 17646  df-pt 17647  df-prds 17650  df-xrs 17706  df-qtop 17711  df-imas 17712  df-xps 17714  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-mulg 19310  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-fbas 21708  df-fg 21709  df-cnfld 21712  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cld 23370  df-ntr 23371  df-cls 23372  df-nei 23449  df-lp 23487  df-perf 23488  df-cn 23578  df-cnp 23579  df-haus 23666  df-tx 23914  df-hmeo 24107  df-fil 24198  df-fm 24290  df-flim 24291  df-flf 24292  df-xms 24672  df-ms 24673  df-tms 24674  df-cncf 25232  df-limc 26219  df-dv 26220

This theorem is used by:  recosf1o  26896  dvtanlem  38792  dvsinax  47138  itgsin0pilem1  47175  itgsinexplem1  47179  itgcoscmulx  47194  itgsincmulx  47199  dirkeritg  47327  dirkercncflem2  47329  fourierdlem16  47348  fourierdlem22  47354  fourierdlem39  47371  fourierdlem58  47389  fourierdlem62  47393  fourierdlem73  47404  fourierdlem83  47414  sqwvfoura  47453  dvsec  51168