MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  regamcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem regamcl 26789
Description: The Gamma function is real for real input. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
regamcl (𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) β†’ (Ξ“β€˜π΄) ∈ ℝ)
Proof of Theorem regamcl
Dummy variables π‘š 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 4126 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
21recnd 11246 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3 eldifn 4127 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ (β„€ βˆ– β„•))
42, 3eldifd 3959 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) β†’ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
5 gamcl 26772 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) β†’ (Ξ“β€˜π΄) ∈ β„‚)
64, 5syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) β†’ (Ξ“β€˜π΄) ∈ β„‚)
74dmgmn0 26754 . . 3 (𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) β†’ 𝐴 β‰  0)
86, 2, 7divcan4d 12000 . 2 (𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) β†’ (((Ξ“β€˜π΄) Β· 𝐴) / 𝐴) = (Ξ“β€˜π΄))
9 nnuz 12869 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
10 1zzd 12597 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) β†’ 1 ∈ β„€)
11 eqid 2732 . . . . 5 (π‘š ∈ β„• ↦ ((((π‘š + 1) / π‘š)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / π‘š) + 1))) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((((π‘š + 1) / π‘š)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / π‘š) + 1)))
1211, 4gamcvg2 26788 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) β†’ seq1( Β· , (π‘š ∈ β„• ↦ ((((π‘š + 1) / π‘š)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / π‘š) + 1)))) ⇝ ((Ξ“β€˜π΄) Β· 𝐴))
13 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„•)
1413peano2nnd 12233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘š + 1) ∈ β„•)
1514nnrpd 13018 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘š + 1) ∈ ℝ+)
1613nnrpd 13018 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
1715, 16rpdivcld 13037 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘š + 1) / π‘š) ∈ ℝ+)
1817rpred 13020 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘š + 1) / π‘š) ∈ ℝ)
1917rpge0d 13024 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 0 ≀ ((π‘š + 1) / π‘š))
201adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2118, 19, 20recxpcld 26455 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((π‘š + 1) / π‘š)↑𝑐𝐴) ∈ ℝ)
2220, 13nndivred 12270 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝐴 / π‘š) ∈ ℝ)
23 1red 11219 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
2422, 23readdcld 11247 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝐴 / π‘š) + 1) ∈ ℝ)
254adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
2625, 13dmgmdivn0 26756 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝐴 / π‘š) + 1) β‰  0)
2721, 24, 26redivcld 12046 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((((π‘š + 1) / π‘š)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / π‘š) + 1)) ∈ ℝ)
2827fmpttd 7116 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((((π‘š + 1) / π‘š)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / π‘š) + 1))):β„•βŸΆβ„)
2928ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((((π‘š + 1) / π‘š)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / π‘š) + 1)))β€˜π‘›) ∈ ℝ)
30 remulcl 11197 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
3130adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ (𝑛 Β· π‘₯) ∈ ℝ)
329, 10, 29, 31seqf 13993 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) β†’ seq1( Β· , (π‘š ∈ β„• ↦ ((((π‘š + 1) / π‘š)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / π‘š) + 1)))):β„•βŸΆβ„)
3332ffvelcdmda 7086 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (seq1( Β· , (π‘š ∈ β„• ↦ ((((π‘š + 1) / π‘š)↑𝑐𝐴) / ((𝐴 / π‘š) + 1))))β€˜π‘›) ∈ ℝ)
349, 10, 12, 33climrecl 15531 . . 3 (𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) β†’ ((Ξ“β€˜π΄) Β· 𝐴) ∈ ℝ)
3534, 1, 7redivcld 12046 . 2 (𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) β†’ (((Ξ“β€˜π΄) Β· 𝐴) / 𝐴) ∈ ℝ)
368, 35eqeltrrd 2834 1 (𝐴 ∈ (ℝ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) β†’ (Ξ“β€˜π΄) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   βˆ– cdif 3945   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„€cz 12562  seqcseq 13970  β†‘𝑐ccxp 26288  Ξ“cgam 26745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-tan 16019  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25607  df-dv 25608  df-ulm 26113  df-log 26289  df-cxp 26290  df-lgam 26747  df-gam 26748
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator