Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngmcl 19511
 Description: The product of two nonzero elements of a division ring is nonzero. (Contributed by NM, 7-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
drngmcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngmcl.t · = (.r𝑅)
drngmcl.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
drngmcl ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Proof of Theorem drngmcl
StepHypRef Expression
1 drngmcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 drngmcl.z . . 3 0 = (0g𝑅)
3 eqid 2798 . . 3 ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
41, 2, 3drngmgp 19510 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)
5 difss 4059 . . . 4 (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
6 eqid 2798 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
76, 1mgpbas 19241 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
83, 7ressbas2 16549 . . . 4 ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
95, 8ax-mp 5 . . 3 (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
101fvexi 6659 . . . 4 𝐵 ∈ V
11 difexg 5195 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
12 drngmcl.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
136, 12mgpplusg 19239 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
143, 13ressplusg 16606 . . . 4 ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
1510, 11, 14mp2b 10 . . 3 · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
169, 15grpcl 18105 . 2 ((((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
174, 16syl3an1 1160 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑌 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16477   ↾s cress 16478  +gcplusg 16559  .rcmulr 16560  0gc0g 16707  Grpcgrp 18097  mulGrpcmgp 19235  DivRingcdr 19498 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-tpos 7877  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-drng 19500 This theorem is referenced by:  abvtriv  19608
 Copyright terms: Public domain W3C validator