MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngmcl 20602
Description: The product of two nonzero elements of a division ring is nonzero. (Contributed by NM, 7-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
drngmcl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
drngmcl.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
drngmcl.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
drngmcl ((๐‘… โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))

Proof of Theorem drngmcl
StepHypRef Expression
1 drngmcl.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
2 drngmcl.z . . 3 0 = (0gโ€˜๐‘…)
3 eqid 2726 . . 3 ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 })) = ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 }))
41, 2, 3drngmgp 20601 . 2 (๐‘… โˆˆ DivRing โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 })) โˆˆ Grp)
5 difss 4126 . . . 4 (๐ต โˆ– { 0 }) โІ ๐ต
6 eqid 2726 . . . . . 6 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
76, 1mgpbas 20043 . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
83, 7ressbas2 17189 . . . 4 ((๐ต โˆ– { 0 }) โІ ๐ต โ†’ (๐ต โˆ– { 0 }) = (Baseโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 }))))
95, 8ax-mp 5 . . 3 (๐ต โˆ– { 0 }) = (Baseโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 })))
101fvexi 6898 . . . 4 ๐ต โˆˆ V
11 difexg 5320 . . . 4 (๐ต โˆˆ V โ†’ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆˆ V)
12 drngmcl.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
136, 12mgpplusg 20041 . . . . 5 ยท = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
143, 13ressplusg 17242 . . . 4 ((๐ต โˆ– { 0 }) โˆˆ V โ†’ ยท = (+gโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 }))))
1510, 11, 14mp2b 10 . . 3 ยท = (+gโ€˜((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 })))
169, 15grpcl 18869 . 2 ((((mulGrpโ€˜๐‘…) โ†พs (๐ต โˆ– { 0 })) โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))
174, 16syl3an1 1160 1 ((๐‘… โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โˆง ๐‘Œ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468   โˆ– cdif 3940   โІ wss 3943  {csn 4623  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151   โ†พs cress 17180  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205  0gc0g 17392  Grpcgrp 18861  mulGrpcmgp 20037  DivRingcdr 20585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-drng 20587
This theorem is referenced by:  abvtriv  20682
  Copyright terms: Public domain W3C validator