MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngid2 20769
Description: Properties showing that an element 𝐼 is the identity element of a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
drngid2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngid2.t · = (.r𝑅)
drngid2.o 0 = (0g𝑅)
drngid2.u 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
drngid2 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼𝐵𝐼0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ 1 = 𝐼))

Proof of Theorem drngid2
StepHypRef Expression
1 df-3an 1089 . . . 4 ((𝐼𝐵𝐼0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ ((𝐼𝐵𝐼0 ) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼))
2 eldifsn 4811 . . . . 5 (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝐼𝐵𝐼0 ))
32anbi1i 623 . . . 4 ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ ((𝐼𝐵𝐼0 ) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼))
41, 3bitr4i 278 . . 3 ((𝐼𝐵𝐼0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼))
5 drngid2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 drngid2.o . . . . 5 0 = (0g𝑅)
7 eqid 2734 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
85, 6, 7drngmgp 20762 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)
9 difss 4153 . . . . . 6 (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
10 eqid 2734 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1110, 5mgpbas 20162 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
127, 11ressbas2 17291 . . . . . 6 ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
139, 12ax-mp 5 . . . . 5 (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
145fvexi 6933 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
15 difexg 5350 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
16 drngid2.t . . . . . . . 8 · = (.r𝑅)
1710, 16mgpplusg 20160 . . . . . . 7 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
187, 17ressplusg 17344 . . . . . 6 ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
1914, 15, 18mp2b 10 . . . . 5 · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
20 eqid 2734 . . . . 5 (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
2113, 19, 20isgrpid2 19011 . . . 4 (((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp → ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
228, 21syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
234, 22bitrid 283 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼𝐵𝐼0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
24 drngid2.u . . . 4 1 = (1r𝑅)
255, 6, 24, 7drngid 20763 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
2625eqeq1d 2736 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → ( 1 = 𝐼 ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
2723, 26bitr4d 282 1 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼𝐵𝐼0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ 1 = 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2103  wne 2942  Vcvv 3482  cdif 3967  wss 3970  {csn 4648  cfv 6572  (class class class)co 7445  Basecbs 17253  s cress 17282  +gcplusg 17306  .rcmulr 17307  0gc0g 17494  Grpcgrp 18968  mulGrpcmgp 20156  1rcur 20203  DivRingcdr 20746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-tpos 8263  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-0g 17496  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-grp 18971  df-minusg 18972  df-cmn 19819  df-abl 19820  df-mgp 20157  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-oppr 20355  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-invr 20409  df-dvr 20422  df-drng 20748
This theorem is referenced by:  erng1r  40900  dvalveclem  40930
  Copyright terms: Public domain W3C validator