Theorem drngid2 19517

Description: Properties showing that an element 𝐼 is the identity element of a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngid2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngid2.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
drngid2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngid2.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngid2	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ 1 = 𝐼))

Proof of Theorem drngid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1085	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼))
2		eldifsn 4718	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ))
3	2	anbi1i 625	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼))
4	1, 3	bitr4i 280	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼))
5		drngid2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		drngid2.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
8	5, 6, 7	drngmgp 19513	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)
9		difss 4107	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
10		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
11	10, 5	mgpbas 19244	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
12	7, 11	ressbas2 16554	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
13	9, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
14	5	fvexi 6683	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		difexg 5230	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
16		drngid2.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
17	10, 16	mgpplusg 19242	. . . . . . 7 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
18	7, 17	ressplusg 16611	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
19	14, 15, 18	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
20		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
21	13, 19, 20	isgrpid2 18139	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp → ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
22	8, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
23	4, 22	syl5bb 285	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
24		drngid2.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
25	5, 6, 24, 7	drngid 19515	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
26	25	eqeq1d 2823	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ( 1 = 𝐼 ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
27	23, 26	bitr4d 284	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ 1 = 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  Vcvv 3494   ∖ cdif 3932   ⊆ wss 3935  {csn 4566  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  Basecbs 16482   ↾_s cress 16483  +_gcplusg 16564  ._rcmulr 16565  0_gc0g 16712  Grpcgrp 18102  mulGrpcmgp 19238  1_rcur 19250  DivRingcdr 19501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-tpos 7891  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-drng 19503

This theorem is referenced by:  erng1r  38130  dvalveclem  38160