Theorem drngid2 20007

Description: Properties showing that an element 𝐼 is the identity element of a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngid2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngid2.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
drngid2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngid2.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngid2	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ 1 = 𝐼))

Proof of Theorem drngid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1088	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼))
2		eldifsn 4720	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ))
3	2	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼))
4	1, 3	bitr4i 277	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼))
5		drngid2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		drngid2.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
8	5, 6, 7	drngmgp 20003	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)
9		difss 4066	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
10		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
11	10, 5	mgpbas 19726	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
12	7, 11	ressbas2 16949	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
13	9, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
14	5	fvexi 6788	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		difexg 5251	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
16		drngid2.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
17	10, 16	mgpplusg 19724	. . . . . . 7 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
18	7, 17	ressplusg 17000	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
19	14, 15, 18	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
20		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
21	13, 19, 20	isgrpid2 18616	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp → ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
22	8, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
23	4, 22	bitrid 282	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
24		drngid2.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
25	5, 6, 24, 7	drngid 20005	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
26	25	eqeq1d 2740	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ( 1 = 𝐼 ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
27	23, 26	bitr4d 281	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ 1 = 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  {csn 4561  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  +_gcplusg 16962  ._rcmulr 16963  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577  mulGrpcmgp 19720  1_rcur 19737  DivRingcdr 19991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993

This theorem is referenced by:  erng1r  39009  dvalveclem  39039