![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > drngid2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Properties showing that an element ๐ผ is the identity element of a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
drngid2.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
drngid2.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
drngid2.o | โข 0 = (0gโ๐ ) |
drngid2.u | โข 1 = (1rโ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
drngid2 | โข (๐ โ DivRing โ ((๐ผ โ ๐ต โง ๐ผ โ 0 โง (๐ผ ยท ๐ผ) = ๐ผ) โ 1 = ๐ผ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | df-3an 1090 | . . . 4 โข ((๐ผ โ ๐ต โง ๐ผ โ 0 โง (๐ผ ยท ๐ผ) = ๐ผ) โ ((๐ผ โ ๐ต โง ๐ผ โ 0 ) โง (๐ผ ยท ๐ผ) = ๐ผ)) | |
2 | eldifsn 4751 | . . . . 5 โข (๐ผ โ (๐ต โ { 0 }) โ (๐ผ โ ๐ต โง ๐ผ โ 0 )) | |
3 | 2 | anbi1i 625 | . . . 4 โข ((๐ผ โ (๐ต โ { 0 }) โง (๐ผ ยท ๐ผ) = ๐ผ) โ ((๐ผ โ ๐ต โง ๐ผ โ 0 ) โง (๐ผ ยท ๐ผ) = ๐ผ)) |
4 | 1, 3 | bitr4i 278 | . . 3 โข ((๐ผ โ ๐ต โง ๐ผ โ 0 โง (๐ผ ยท ๐ผ) = ๐ผ) โ (๐ผ โ (๐ต โ { 0 }) โง (๐ผ ยท ๐ผ) = ๐ผ)) |
5 | drngid2.b | . . . . 5 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
6 | drngid2.o | . . . . 5 โข 0 = (0gโ๐ ) | |
7 | eqid 2733 | . . . . 5 โข ((mulGrpโ๐ ) โพs (๐ต โ { 0 })) = ((mulGrpโ๐ ) โพs (๐ต โ { 0 })) | |
8 | 5, 6, 7 | drngmgp 20234 | . . . 4 โข (๐ โ DivRing โ ((mulGrpโ๐ ) โพs (๐ต โ { 0 })) โ Grp) |
9 | difss 4095 | . . . . . 6 โข (๐ต โ { 0 }) โ ๐ต | |
10 | eqid 2733 | . . . . . . . 8 โข (mulGrpโ๐ ) = (mulGrpโ๐ ) | |
11 | 10, 5 | mgpbas 19910 | . . . . . . 7 โข ๐ต = (Baseโ(mulGrpโ๐ )) |
12 | 7, 11 | ressbas2 17128 | . . . . . 6 โข ((๐ต โ { 0 }) โ ๐ต โ (๐ต โ { 0 }) = (Baseโ((mulGrpโ๐ ) โพs (๐ต โ { 0 })))) |
13 | 9, 12 | ax-mp 5 | . . . . 5 โข (๐ต โ { 0 }) = (Baseโ((mulGrpโ๐ ) โพs (๐ต โ { 0 }))) |
14 | 5 | fvexi 6860 | . . . . . 6 โข ๐ต โ V |
15 | difexg 5288 | . . . . . 6 โข (๐ต โ V โ (๐ต โ { 0 }) โ V) | |
16 | drngid2.t | . . . . . . . 8 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
17 | 10, 16 | mgpplusg 19908 | . . . . . . 7 โข ยท = (+gโ(mulGrpโ๐ )) |
18 | 7, 17 | ressplusg 17179 | . . . . . 6 โข ((๐ต โ { 0 }) โ V โ ยท = (+gโ((mulGrpโ๐ ) โพs (๐ต โ { 0 })))) |
19 | 14, 15, 18 | mp2b 10 | . . . . 5 โข ยท = (+gโ((mulGrpโ๐ ) โพs (๐ต โ { 0 }))) |
20 | eqid 2733 | . . . . 5 โข (0gโ((mulGrpโ๐ ) โพs (๐ต โ { 0 }))) = (0gโ((mulGrpโ๐ ) โพs (๐ต โ { 0 }))) | |
21 | 13, 19, 20 | isgrpid2 18795 | . . . 4 โข (((mulGrpโ๐ ) โพs (๐ต โ { 0 })) โ Grp โ ((๐ผ โ (๐ต โ { 0 }) โง (๐ผ ยท ๐ผ) = ๐ผ) โ (0gโ((mulGrpโ๐ ) โพs (๐ต โ { 0 }))) = ๐ผ)) |
22 | 8, 21 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ DivRing โ ((๐ผ โ (๐ต โ { 0 }) โง (๐ผ ยท ๐ผ) = ๐ผ) โ (0gโ((mulGrpโ๐ ) โพs (๐ต โ { 0 }))) = ๐ผ)) |
23 | 4, 22 | bitrid 283 | . 2 โข (๐ โ DivRing โ ((๐ผ โ ๐ต โง ๐ผ โ 0 โง (๐ผ ยท ๐ผ) = ๐ผ) โ (0gโ((mulGrpโ๐ ) โพs (๐ต โ { 0 }))) = ๐ผ)) |
24 | drngid2.u | . . . 4 โข 1 = (1rโ๐ ) | |
25 | 5, 6, 24, 7 | drngid 20236 | . . 3 โข (๐ โ DivRing โ 1 = (0gโ((mulGrpโ๐ ) โพs (๐ต โ { 0 })))) |
26 | 25 | eqeq1d 2735 | . 2 โข (๐ โ DivRing โ ( 1 = ๐ผ โ (0gโ((mulGrpโ๐ ) โพs (๐ต โ { 0 }))) = ๐ผ)) |
27 | 23, 26 | bitr4d 282 | 1 โข (๐ โ DivRing โ ((๐ผ โ ๐ต โง ๐ผ โ 0 โง (๐ผ ยท ๐ผ) = ๐ผ) โ 1 = ๐ผ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2940 Vcvv 3447 โ cdif 3911 โ wss 3914 {csn 4590 โcfv 6500 (class class class)co 7361 Basecbs 17091 โพs cress 17120 +gcplusg 17141 .rcmulr 17142 0gc0g 17329 Grpcgrp 18756 mulGrpcmgp 19904 1rcur 19921 DivRingcdr 20219 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5246 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-cnex 11115 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3933 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-iun 4960 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-tr 5227 df-id 5535 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5592 df-we 5594 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-pred 6257 df-ord 6324 df-on 6325 df-lim 6326 df-suc 6327 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-om 7807 df-1st 7925 df-2nd 7926 df-tpos 8161 df-frecs 8216 df-wrecs 8247 df-recs 8321 df-rdg 8360 df-er 8654 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-ltxr 11202 df-le 11203 df-sub 11395 df-neg 11396 df-nn 12162 df-2 12224 df-3 12225 df-sets 17044 df-slot 17062 df-ndx 17074 df-base 17092 df-ress 17121 df-plusg 17154 df-mulr 17155 df-0g 17331 df-mgm 18505 df-sgrp 18554 df-mnd 18565 df-grp 18759 df-minusg 18760 df-mgp 19905 df-ur 19922 df-ring 19974 df-oppr 20057 df-dvdsr 20078 df-unit 20079 df-invr 20109 df-dvr 20120 df-drng 20221 |
This theorem is referenced by: erng1r 39508 dvalveclem 39538 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |