Theorem drngid2 20667

Description: Properties showing that an element 𝐼 is the identity element of a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngid2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngid2.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
drngid2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngid2.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngid2	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ 1 = 𝐼))

Proof of Theorem drngid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1088	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼))
2		eldifsn 4758	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ))
3	2	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼))
4	1, 3	bitr4i 278	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼))
5		drngid2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		drngid2.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
8	5, 6, 7	drngmgp 20660	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)
9		difss 4107	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
10		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
11	10, 5	mgpbas 20060	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
12	7, 11	ressbas2 17214	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
13	9, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
14	5	fvexi 6879	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		difexg 5292	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
16		drngid2.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
17	10, 16	mgpplusg 20059	. . . . . . 7 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
18	7, 17	ressplusg 17260	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
19	14, 15, 18	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
20		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
21	13, 19, 20	isgrpid2 18914	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp → ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
22	8, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
23	4, 22	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
24		drngid2.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
25	5, 6, 24, 7	drngid 20661	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
26	25	eqeq1d 2732	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ( 1 = 𝐼 ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
27	23, 26	bitr4d 282	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ≠ 0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ 1 = 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2927  Vcvv 3455   ∖ cdif 3919   ⊆ wss 3922  {csn 4597  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  Basecbs 17185   ↾_s cress 17206  +_gcplusg 17226  ._rcmulr 17227  0_gc0g 17408  Grpcgrp 18871  mulGrpcmgp 20055  1_rcur 20096  DivRingcdr 20644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-oppr 20252  df-dvdsr 20272  df-unit 20273  df-invr 20303  df-dvr 20316  df-drng 20646

This theorem is referenced by:  erng1r  40981  dvalveclem  41011