Theorem drngmullcan 42215

Description: Cancellation of a nonzero factor on the left for multiplication. (mulcanad 11890 analog). (Contributed by SN, 14-Aug-2024.) (Proof shortened by SN, 25-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngmullcan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngmullcan.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngmullcan.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
drngmullcan.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
drngmullcan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
drngmullcan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
drngmullcan.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
drngmullcan.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
drngmullcan.2	⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
drngmullcan	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem drngmullcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngmullcan.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		drngmullcan.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		drngmullcan.t	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		drngmullcan.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		drngmullcan.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
6	4, 5	eldifsnd 4786	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
7		drngmullcan.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		drngmullcan.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		drngmullcan.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
10		drngdomn 20723	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Domn)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
12		drngmullcan.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌))
13	1, 2, 3, 6, 7, 8, 11, 12	domnlcan 20695	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  ._rcmulr 17262  0_gc0g 17449  Domncdomn 20666  DivRingcdr 20703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-0g 17451  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-cmn 19776  df-abl 19777  df-mgp 20114  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20312  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-nzr 20491  df-rlreg 20668  df-domn 20669  df-drng 20705

This theorem is referenced by: (None)