Theorem nndivred 12216

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12203	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℝcr 11043   / cdiv 11811  ℕcn 12162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163

This theorem is referenced by:  bcp1nk  14258  reeftcl  16016  efcllem  16019  eftlub  16053  eirrlem  16148  dvdsmod  16275  bitsfzo  16381  bitsmod  16382  bitscmp  16384  bitsuz  16420  bezoutlem3  16487  hashdvds  16721  prmdiv  16731  odzdvds  16742  pcfaclem  16845  pcfac  16846  pcbc  16847  pockthlem  16852  prmreclem4  16866  odmod  19460  zringlpirlem3  21406  prmirredlem  21414  lebnumii  24898  ovoliunlem1  25436  uniioombllem4  25520  dyadss  25528  dyaddisjlem  25529  dyadmaxlem  25531  opnmbllem  25535  mbfi1fseqlem1  25649  mbfi1fseqlem3  25651  mbfi1fseqlem4  25652  mbfi1fseqlem5  25653  mbfi1fseqlem6  25654  aaliou3lem9  26291  taylthlem2  26315  taylthlem2OLD  26316  advlogexp  26597  leibpilem2  26884  leibpi  26885  leibpisum  26886  birthdaylem3  26896  amgmlem  26933  fsumharmonic  26955  lgamgulmlem2  26973  lgamgulmlem3  26974  lgamgulmlem4  26975  lgamgulmlem6  26977  regamcl  27004  basellem4  27027  dvdsflf1o  27130  fsumfldivdiaglem  27132  logexprlim  27169  pcbcctr  27220  bcp1ctr  27223  bposlem2  27229  bposlem6  27233  lgseisenlem4  27322  lgseisen  27323  lgsquadlem1  27324  lgsquadlem2  27325  chebbnd1lem3  27415  chtppilimlem1  27417  vmadivsum  27426  vmadivsumb  27427  rplogsumlem1  27428  rplogsumlem2  27429  rpvmasumlem  27431  dchrisumlem1  27433  dchrvmasumlem1  27439  dchrvmasum2lem  27440  dchrvmasum2if  27441  dchrvmasumlem2  27442  dchrvmasumlem3  27443  dchrvmasumiflem1  27445  dchrvmasumiflem2  27446  rpvmasum2  27456  dchrisum0lem1  27460  dchrmusumlem  27466  dirith2  27472  mudivsum  27474  mulogsumlem  27475  mulogsum  27476  mulog2sumlem1  27478  mulog2sumlem2  27479  mulog2sumlem3  27480  vmalogdivsum2  27482  vmalogdivsum  27483  2vmadivsumlem  27484  selberglem1  27489  selberglem2  27490  selbergb  27493  selberg2b  27496  logdivbnd  27500  selberg3lem1  27501  selberg3  27503  selberg4lem1  27504  selberg4  27505  pntrsumo1  27509  pntrsumbnd  27510  pntrsumbnd2  27511  selbergr  27512  selberg3r  27513  selberg4r  27514  pntsf  27517  pntsval2  27520  pntrlog2bndlem2  27522  pntrlog2bndlem4  27524  pntrlog2bndlem5  27525  pntrlog2bndlem6  27527  pntpbnd1  27530  pntpbnd2  27531  pntibndlem2  27535  pntlemn  27544  pntlemj  27547  pntlemk  27550  pntlemo  27551  ostth2lem2  27578  subfacval2  35167  subfaclim  35168  cvmliftlem6  35270  cvmliftlem7  35271  cvmliftlem8  35272  cvmliftlem9  35273  cvmliftlem10  35274  faclimlem1  35723  faclimlem2  35724  faclim2  35728  poimirlem29  37636  opnmbllem0  37643  pellexlem2  42811  hashnzfz2  44303  hashnzfzclim  44304  stoweidlem11  46002  stoweidlem26  46017  stoweidlem42  46033  stoweidlem59  46050  etransclem23  46248