Theorem nndivred 11679

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 11666	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℝcr 10525   / cdiv 11286  ℕcn 11625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626

This theorem is referenced by:  bcp1nk  13673  reeftcl  15420  efcllem  15423  eftlub  15454  eirrlem  15549  dvdsmod  15670  bitsfzo  15774  bitsmod  15775  bitscmp  15777  bitsuz  15813  bezoutlem3  15879  hashdvds  16102  prmdiv  16112  odzdvds  16122  pcfaclem  16224  pcfac  16225  pcbc  16226  pockthlem  16231  prmreclem4  16245  odmod  18666  zringlpirlem3  20179  prmirredlem  20186  lebnumii  23571  ovoliunlem1  24106  uniioombllem4  24190  dyadss  24198  dyaddisjlem  24199  dyadmaxlem  24201  opnmbllem  24205  mbfi1fseqlem1  24319  mbfi1fseqlem3  24321  mbfi1fseqlem4  24322  mbfi1fseqlem5  24323  mbfi1fseqlem6  24324  aaliou3lem9  24946  taylthlem2  24969  advlogexp  25246  leibpilem2  25527  leibpi  25528  leibpisum  25529  birthdaylem3  25539  amgmlem  25575  fsumharmonic  25597  lgamgulmlem2  25615  lgamgulmlem3  25616  lgamgulmlem4  25617  lgamgulmlem6  25619  regamcl  25646  basellem4  25669  dvdsflf1o  25772  fsumfldivdiaglem  25774  logexprlim  25809  pcbcctr  25860  bcp1ctr  25863  bposlem2  25869  bposlem6  25873  lgseisenlem4  25962  lgseisen  25963  lgsquadlem1  25964  lgsquadlem2  25965  chebbnd1lem3  26055  chtppilimlem1  26057  vmadivsum  26066  vmadivsumb  26067  rplogsumlem1  26068  rplogsumlem2  26069  rpvmasumlem  26071  dchrisumlem1  26073  dchrvmasumlem1  26079  dchrvmasum2lem  26080  dchrvmasum2if  26081  dchrvmasumlem2  26082  dchrvmasumlem3  26083  dchrvmasumiflem1  26085  dchrvmasumiflem2  26086  rpvmasum2  26096  dchrisum0lem1  26100  dchrmusumlem  26106  dirith2  26112  mudivsum  26114  mulogsumlem  26115  mulogsum  26116  mulog2sumlem1  26118  mulog2sumlem2  26119  mulog2sumlem3  26120  vmalogdivsum2  26122  vmalogdivsum  26123  2vmadivsumlem  26124  selberglem1  26129  selberglem2  26130  selbergb  26133  selberg2b  26136  logdivbnd  26140  selberg3lem1  26141  selberg3  26143  selberg4lem1  26144  selberg4  26145  pntrsumo1  26149  pntrsumbnd  26150  pntrsumbnd2  26151  selbergr  26152  selberg3r  26153  selberg4r  26154  pntsf  26157  pntsval2  26160  pntrlog2bndlem2  26162  pntrlog2bndlem4  26164  pntrlog2bndlem5  26165  pntrlog2bndlem6  26167  pntpbnd1  26170  pntpbnd2  26171  pntibndlem2  26175  pntlemn  26184  pntlemj  26187  pntlemk  26190  pntlemo  26191  ostth2lem2  26218  subfacval2  32547  subfaclim  32548  cvmliftlem6  32650  cvmliftlem7  32651  cvmliftlem8  32652  cvmliftlem9  32653  cvmliftlem10  32654  faclimlem1  33088  faclimlem2  33089  faclim2  33093  poimirlem29  35086  opnmbllem0  35093  pellexlem2  39771  hashnzfz2  41025  hashnzfzclim  41026  stoweidlem11  42653  stoweidlem26  42668  stoweidlem42  42684  stoweidlem59  42701  etransclem23  42899