MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nndivred 11683
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nndivred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nndivred (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred
StepHypRef Expression
1 nndivred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 nndivred.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
3 nndivre 11670 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  (class class class)co 7151  cr 10528   / cdiv 11289  cn 11630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631
This theorem is referenced by:  bcp1nk  13670  reeftcl  15420  efcllem  15423  eftlub  15454  eirrlem  15549  dvdsmod  15670  bitsfzo  15776  bitsmod  15777  bitscmp  15779  bitsuz  15815  bezoutlem3  15881  hashdvds  16104  prmdiv  16114  odzdvds  16124  pcfaclem  16226  pcfac  16227  pcbc  16228  pockthlem  16233  prmreclem4  16247  odmod  18596  zringlpirlem3  20549  prmirredlem  20556  lebnumii  23485  ovoliunlem1  24018  uniioombllem4  24102  dyadss  24110  dyaddisjlem  24111  dyadmaxlem  24113  opnmbllem  24117  mbfi1fseqlem1  24231  mbfi1fseqlem3  24233  mbfi1fseqlem4  24234  mbfi1fseqlem5  24235  mbfi1fseqlem6  24236  aaliou3lem9  24854  taylthlem2  24877  advlogexp  25151  leibpilem2  25433  leibpi  25434  leibpisum  25435  birthdaylem3  25445  amgmlem  25481  fsumharmonic  25503  lgamgulmlem2  25521  lgamgulmlem3  25522  lgamgulmlem4  25523  lgamgulmlem6  25525  regamcl  25552  basellem4  25575  dvdsflf1o  25678  fsumfldivdiaglem  25680  logexprlim  25715  pcbcctr  25766  bcp1ctr  25769  bposlem2  25775  bposlem6  25779  lgseisenlem4  25868  lgseisen  25869  lgsquadlem1  25870  lgsquadlem2  25871  chebbnd1lem3  25961  chtppilimlem1  25963  vmadivsum  25972  vmadivsumb  25973  rplogsumlem1  25974  rplogsumlem2  25975  rpvmasumlem  25977  dchrisumlem1  25979  dchrvmasumlem1  25985  dchrvmasum2lem  25986  dchrvmasum2if  25987  dchrvmasumlem2  25988  dchrvmasumlem3  25989  dchrvmasumiflem1  25991  dchrvmasumiflem2  25992  rpvmasum2  26002  dchrisum0lem1  26006  dchrmusumlem  26012  dirith2  26018  mudivsum  26020  mulogsumlem  26021  mulogsum  26022  mulog2sumlem1  26024  mulog2sumlem2  26025  mulog2sumlem3  26026  vmalogdivsum2  26028  vmalogdivsum  26029  2vmadivsumlem  26030  selberglem1  26035  selberglem2  26036  selbergb  26039  selberg2b  26042  logdivbnd  26046  selberg3lem1  26047  selberg3  26049  selberg4lem1  26050  selberg4  26051  pntrsumo1  26055  pntrsumbnd  26056  pntrsumbnd2  26057  selbergr  26058  selberg3r  26059  selberg4r  26060  pntsf  26063  pntsval2  26066  pntrlog2bndlem2  26068  pntrlog2bndlem4  26070  pntrlog2bndlem5  26071  pntrlog2bndlem6  26073  pntpbnd1  26076  pntpbnd2  26077  pntibndlem2  26081  pntlemn  26090  pntlemj  26093  pntlemk  26096  pntlemo  26097  ostth2lem2  26124  subfacval2  32319  subfaclim  32320  cvmliftlem6  32422  cvmliftlem7  32423  cvmliftlem8  32424  cvmliftlem9  32425  cvmliftlem10  32426  faclimlem1  32860  faclimlem2  32861  faclim2  32865  poimirlem29  34789  opnmbllem0  34796  pellexlem2  39289  hashnzfz2  40515  hashnzfzclim  40516  stoweidlem11  42159  stoweidlem26  42174  stoweidlem42  42190  stoweidlem59  42207  etransclem23  42405
  Copyright terms: Public domain W3C validator