Theorem nndivred 11728

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 11715	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7150  ℝcr 10574   / cdiv 11335  ℕcn 11674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675

This theorem is referenced by:  bcp1nk  13727  reeftcl  15476  efcllem  15479  eftlub  15510  eirrlem  15605  dvdsmod  15730  bitsfzo  15834  bitsmod  15835  bitscmp  15837  bitsuz  15873  bezoutlem3  15940  hashdvds  16167  prmdiv  16177  odzdvds  16187  pcfaclem  16289  pcfac  16290  pcbc  16291  pockthlem  16296  prmreclem4  16310  odmod  18741  zringlpirlem3  20254  prmirredlem  20262  lebnumii  23667  ovoliunlem1  24202  uniioombllem4  24286  dyadss  24294  dyaddisjlem  24295  dyadmaxlem  24297  opnmbllem  24301  mbfi1fseqlem1  24415  mbfi1fseqlem3  24417  mbfi1fseqlem4  24418  mbfi1fseqlem5  24419  mbfi1fseqlem6  24420  aaliou3lem9  25045  taylthlem2  25068  advlogexp  25345  leibpilem2  25626  leibpi  25627  leibpisum  25628  birthdaylem3  25638  amgmlem  25674  fsumharmonic  25696  lgamgulmlem2  25714  lgamgulmlem3  25715  lgamgulmlem4  25716  lgamgulmlem6  25718  regamcl  25745  basellem4  25768  dvdsflf1o  25871  fsumfldivdiaglem  25873  logexprlim  25908  pcbcctr  25959  bcp1ctr  25962  bposlem2  25968  bposlem6  25972  lgseisenlem4  26061  lgseisen  26062  lgsquadlem1  26063  lgsquadlem2  26064  chebbnd1lem3  26154  chtppilimlem1  26156  vmadivsum  26165  vmadivsumb  26166  rplogsumlem1  26167  rplogsumlem2  26168  rpvmasumlem  26170  dchrisumlem1  26172  dchrvmasumlem1  26178  dchrvmasum2lem  26179  dchrvmasum2if  26180  dchrvmasumlem2  26181  dchrvmasumlem3  26182  dchrvmasumiflem1  26184  dchrvmasumiflem2  26185  rpvmasum2  26195  dchrisum0lem1  26199  dchrmusumlem  26205  dirith2  26211  mudivsum  26213  mulogsumlem  26214  mulogsum  26215  mulog2sumlem1  26217  mulog2sumlem2  26218  mulog2sumlem3  26219  vmalogdivsum2  26221  vmalogdivsum  26222  2vmadivsumlem  26223  selberglem1  26228  selberglem2  26229  selbergb  26232  selberg2b  26235  logdivbnd  26239  selberg3lem1  26240  selberg3  26242  selberg4lem1  26243  selberg4  26244  pntrsumo1  26248  pntrsumbnd  26249  pntrsumbnd2  26250  selbergr  26251  selberg3r  26252  selberg4r  26253  pntsf  26256  pntsval2  26259  pntrlog2bndlem2  26261  pntrlog2bndlem4  26263  pntrlog2bndlem5  26264  pntrlog2bndlem6  26266  pntpbnd1  26269  pntpbnd2  26270  pntibndlem2  26274  pntlemn  26283  pntlemj  26286  pntlemk  26289  pntlemo  26290  ostth2lem2  26317  subfacval2  32665  subfaclim  32666  cvmliftlem6  32768  cvmliftlem7  32769  cvmliftlem8  32770  cvmliftlem9  32771  cvmliftlem10  32772  faclimlem1  33224  faclimlem2  33225  faclim2  33229  poimirlem29  35366  opnmbllem0  35373  pellexlem2  40144  hashnzfz2  41398  hashnzfzclim  41399  stoweidlem11  43019  stoweidlem26  43034  stoweidlem42  43050  stoweidlem59  43067  etransclem23  43265