Theorem nndivred 12203

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12190	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℝcr 11029   / cdiv 11798  ℕcn 12149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150

This theorem is referenced by:  bcp1nk  14244  reeftcl  16001  efcllem  16004  eftlub  16038  eirrlem  16133  dvdsmod  16260  bitsfzo  16366  bitsmod  16367  bitscmp  16369  bitsuz  16405  bezoutlem3  16472  hashdvds  16706  prmdiv  16716  odzdvds  16727  pcfaclem  16830  pcfac  16831  pcbc  16832  pockthlem  16837  prmreclem4  16851  odmod  19479  zringlpirlem3  21423  prmirredlem  21431  lebnumii  24925  ovoliunlem1  25463  uniioombllem4  25547  dyadss  25555  dyaddisjlem  25556  dyadmaxlem  25558  opnmbllem  25562  mbfi1fseqlem1  25676  mbfi1fseqlem3  25678  mbfi1fseqlem4  25679  mbfi1fseqlem5  25680  mbfi1fseqlem6  25681  aaliou3lem9  26318  taylthlem2  26342  taylthlem2OLD  26343  advlogexp  26624  leibpilem2  26911  leibpi  26912  leibpisum  26913  birthdaylem3  26923  amgmlem  26960  fsumharmonic  26982  lgamgulmlem2  27000  lgamgulmlem3  27001  lgamgulmlem4  27002  lgamgulmlem6  27004  regamcl  27031  basellem4  27054  dvdsflf1o  27157  fsumfldivdiaglem  27159  logexprlim  27196  pcbcctr  27247  bcp1ctr  27250  bposlem2  27256  bposlem6  27260  lgseisenlem4  27349  lgseisen  27350  lgsquadlem1  27351  lgsquadlem2  27352  chebbnd1lem3  27442  chtppilimlem1  27444  vmadivsum  27453  vmadivsumb  27454  rplogsumlem1  27455  rplogsumlem2  27456  rpvmasumlem  27458  dchrisumlem1  27460  dchrvmasumlem1  27466  dchrvmasum2lem  27467  dchrvmasum2if  27468  dchrvmasumlem2  27469  dchrvmasumlem3  27470  dchrvmasumiflem1  27472  dchrvmasumiflem2  27473  rpvmasum2  27483  dchrisum0lem1  27487  dchrmusumlem  27493  dirith2  27499  mudivsum  27501  mulogsumlem  27502  mulogsum  27503  mulog2sumlem1  27505  mulog2sumlem2  27506  mulog2sumlem3  27507  vmalogdivsum2  27509  vmalogdivsum  27510  2vmadivsumlem  27511  selberglem1  27516  selberglem2  27517  selbergb  27520  selberg2b  27523  logdivbnd  27527  selberg3lem1  27528  selberg3  27530  selberg4lem1  27531  selberg4  27532  pntrsumo1  27536  pntrsumbnd  27537  pntrsumbnd2  27538  selbergr  27539  selberg3r  27540  selberg4r  27541  pntsf  27544  pntsval2  27547  pntrlog2bndlem2  27549  pntrlog2bndlem4  27551  pntrlog2bndlem5  27552  pntrlog2bndlem6  27554  pntpbnd1  27557  pntpbnd2  27558  pntibndlem2  27562  pntlemn  27571  pntlemj  27574  pntlemk  27577  pntlemo  27578  ostth2lem2  27605  subfacval2  35383  subfaclim  35384  cvmliftlem6  35486  cvmliftlem7  35487  cvmliftlem8  35488  cvmliftlem9  35489  cvmliftlem10  35490  faclimlem1  35939  faclimlem2  35940  faclim2  35944  poimirlem29  37852  opnmbllem0  37859  pellexlem2  43139  hashnzfz2  44629  hashnzfzclim  44630  stoweidlem11  46322  stoweidlem26  46337  stoweidlem42  46353  stoweidlem59  46370  etransclem23  46568