Theorem nndivred 12219

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12206	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7370  ℝcr 11046   / cdiv 11814  ℕcn 12165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7824  df-2nd 7949  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-er 8649  df-en 8897  df-dom 8898  df-sdom 8899  df-pnf 11189  df-mnf 11190  df-xr 11191  df-ltxr 11192  df-le 11193  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11815  df-nn 12166

This theorem is referenced by:  bcp1nk  14261  reeftcl  16018  efcllem  16021  eftlub  16055  eirrlem  16150  dvdsmod  16277  bitsfzo  16383  bitsmod  16384  bitscmp  16386  bitsuz  16422  bezoutlem3  16489  hashdvds  16723  prmdiv  16733  odzdvds  16744  pcfaclem  16847  pcfac  16848  pcbc  16849  pockthlem  16854  prmreclem4  16868  odmod  19462  zringlpirlem3  21408  prmirredlem  21416  lebnumii  24900  ovoliunlem1  25438  uniioombllem4  25522  dyadss  25530  dyaddisjlem  25531  dyadmaxlem  25533  opnmbllem  25537  mbfi1fseqlem1  25651  mbfi1fseqlem3  25653  mbfi1fseqlem4  25654  mbfi1fseqlem5  25655  mbfi1fseqlem6  25656  aaliou3lem9  26293  taylthlem2  26317  taylthlem2OLD  26318  advlogexp  26599  leibpilem2  26886  leibpi  26887  leibpisum  26888  birthdaylem3  26898  amgmlem  26935  fsumharmonic  26957  lgamgulmlem2  26975  lgamgulmlem3  26976  lgamgulmlem4  26977  lgamgulmlem6  26979  regamcl  27006  basellem4  27029  dvdsflf1o  27132  fsumfldivdiaglem  27134  logexprlim  27171  pcbcctr  27222  bcp1ctr  27225  bposlem2  27231  bposlem6  27235  lgseisenlem4  27324  lgseisen  27325  lgsquadlem1  27326  lgsquadlem2  27327  chebbnd1lem3  27417  chtppilimlem1  27419  vmadivsum  27428  vmadivsumb  27429  rplogsumlem1  27430  rplogsumlem2  27431  rpvmasumlem  27433  dchrisumlem1  27435  dchrvmasumlem1  27441  dchrvmasum2lem  27442  dchrvmasum2if  27443  dchrvmasumlem2  27444  dchrvmasumlem3  27445  dchrvmasumiflem1  27447  dchrvmasumiflem2  27448  rpvmasum2  27458  dchrisum0lem1  27462  dchrmusumlem  27468  dirith2  27474  mudivsum  27476  mulogsumlem  27477  mulogsum  27478  mulog2sumlem1  27480  mulog2sumlem2  27481  mulog2sumlem3  27482  vmalogdivsum2  27484  vmalogdivsum  27485  2vmadivsumlem  27486  selberglem1  27491  selberglem2  27492  selbergb  27495  selberg2b  27498  logdivbnd  27502  selberg3lem1  27503  selberg3  27505  selberg4lem1  27506  selberg4  27507  pntrsumo1  27511  pntrsumbnd  27512  pntrsumbnd2  27513  selbergr  27514  selberg3r  27515  selberg4r  27516  pntsf  27519  pntsval2  27522  pntrlog2bndlem2  27524  pntrlog2bndlem4  27526  pntrlog2bndlem5  27527  pntrlog2bndlem6  27529  pntpbnd1  27532  pntpbnd2  27533  pntibndlem2  27537  pntlemn  27546  pntlemj  27549  pntlemk  27552  pntlemo  27553  ostth2lem2  27580  subfacval2  35169  subfaclim  35170  cvmliftlem6  35272  cvmliftlem7  35273  cvmliftlem8  35274  cvmliftlem9  35275  cvmliftlem10  35276  faclimlem1  35725  faclimlem2  35726  faclim2  35730  poimirlem29  37638  opnmbllem0  37645  pellexlem2  42813  hashnzfz2  44305  hashnzfzclim  44306  stoweidlem11  46004  stoweidlem26  46019  stoweidlem42  46035  stoweidlem59  46052  etransclem23  46250