Theorem nndivred 12347

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12334	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℝcr 11183   / cdiv 11947  ℕcn 12293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294

This theorem is referenced by:  bcp1nk  14366  reeftcl  16122  efcllem  16125  eftlub  16157  eirrlem  16252  dvdsmod  16377  bitsfzo  16481  bitsmod  16482  bitscmp  16484  bitsuz  16520  bezoutlem3  16588  hashdvds  16822  prmdiv  16832  odzdvds  16842  pcfaclem  16945  pcfac  16946  pcbc  16947  pockthlem  16952  prmreclem4  16966  odmod  19588  zringlpirlem3  21498  prmirredlem  21506  lebnumii  25017  ovoliunlem1  25556  uniioombllem4  25640  dyadss  25648  dyaddisjlem  25649  dyadmaxlem  25651  opnmbllem  25655  mbfi1fseqlem1  25770  mbfi1fseqlem3  25772  mbfi1fseqlem4  25773  mbfi1fseqlem5  25774  mbfi1fseqlem6  25775  aaliou3lem9  26410  taylthlem2  26434  taylthlem2OLD  26435  advlogexp  26715  leibpilem2  27002  leibpi  27003  leibpisum  27004  birthdaylem3  27014  amgmlem  27051  fsumharmonic  27073  lgamgulmlem2  27091  lgamgulmlem3  27092  lgamgulmlem4  27093  lgamgulmlem6  27095  regamcl  27122  basellem4  27145  dvdsflf1o  27248  fsumfldivdiaglem  27250  logexprlim  27287  pcbcctr  27338  bcp1ctr  27341  bposlem2  27347  bposlem6  27351  lgseisenlem4  27440  lgseisen  27441  lgsquadlem1  27442  lgsquadlem2  27443  chebbnd1lem3  27533  chtppilimlem1  27535  vmadivsum  27544  vmadivsumb  27545  rplogsumlem1  27546  rplogsumlem2  27547  rpvmasumlem  27549  dchrisumlem1  27551  dchrvmasumlem1  27557  dchrvmasum2lem  27558  dchrvmasum2if  27559  dchrvmasumlem2  27560  dchrvmasumlem3  27561  dchrvmasumiflem1  27563  dchrvmasumiflem2  27564  rpvmasum2  27574  dchrisum0lem1  27578  dchrmusumlem  27584  dirith2  27590  mudivsum  27592  mulogsumlem  27593  mulogsum  27594  mulog2sumlem1  27596  mulog2sumlem2  27597  mulog2sumlem3  27598  vmalogdivsum2  27600  vmalogdivsum  27601  2vmadivsumlem  27602  selberglem1  27607  selberglem2  27608  selbergb  27611  selberg2b  27614  logdivbnd  27618  selberg3lem1  27619  selberg3  27621  selberg4lem1  27622  selberg4  27623  pntrsumo1  27627  pntrsumbnd  27628  pntrsumbnd2  27629  selbergr  27630  selberg3r  27631  selberg4r  27632  pntsf  27635  pntsval2  27638  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem5  27643  pntrlog2bndlem6  27645  pntpbnd1  27648  pntpbnd2  27649  pntibndlem2  27653  pntlemn  27662  pntlemj  27665  pntlemk  27668  pntlemo  27669  ostth2lem2  27696  subfacval2  35155  subfaclim  35156  cvmliftlem6  35258  cvmliftlem7  35259  cvmliftlem8  35260  cvmliftlem9  35261  cvmliftlem10  35262  faclimlem1  35705  faclimlem2  35706  faclim2  35710  poimirlem29  37609  opnmbllem0  37616  pellexlem2  42786  hashnzfz2  44290  hashnzfzclim  44291  stoweidlem11  45932  stoweidlem26  45947  stoweidlem42  45963  stoweidlem59  45980  etransclem23  46178