Theorem nndivred 12182

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12169	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  ℝcr 11008   / cdiv 11777  ℕcn 12128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129

This theorem is referenced by:  bcp1nk  14224  reeftcl  15981  efcllem  15984  eftlub  16018  eirrlem  16113  dvdsmod  16240  bitsfzo  16346  bitsmod  16347  bitscmp  16349  bitsuz  16385  bezoutlem3  16452  hashdvds  16686  prmdiv  16696  odzdvds  16707  pcfaclem  16810  pcfac  16811  pcbc  16812  pockthlem  16817  prmreclem4  16831  odmod  19425  zringlpirlem3  21371  prmirredlem  21379  lebnumii  24863  ovoliunlem1  25401  uniioombllem4  25485  dyadss  25493  dyaddisjlem  25494  dyadmaxlem  25496  opnmbllem  25500  mbfi1fseqlem1  25614  mbfi1fseqlem3  25616  mbfi1fseqlem4  25617  mbfi1fseqlem5  25618  mbfi1fseqlem6  25619  aaliou3lem9  26256  taylthlem2  26280  taylthlem2OLD  26281  advlogexp  26562  leibpilem2  26849  leibpi  26850  leibpisum  26851  birthdaylem3  26861  amgmlem  26898  fsumharmonic  26920  lgamgulmlem2  26938  lgamgulmlem3  26939  lgamgulmlem4  26940  lgamgulmlem6  26942  regamcl  26969  basellem4  26992  dvdsflf1o  27095  fsumfldivdiaglem  27097  logexprlim  27134  pcbcctr  27185  bcp1ctr  27188  bposlem2  27194  bposlem6  27198  lgseisenlem4  27287  lgseisen  27288  lgsquadlem1  27289  lgsquadlem2  27290  chebbnd1lem3  27380  chtppilimlem1  27382  vmadivsum  27391  vmadivsumb  27392  rplogsumlem1  27393  rplogsumlem2  27394  rpvmasumlem  27396  dchrisumlem1  27398  dchrvmasumlem1  27404  dchrvmasum2lem  27405  dchrvmasum2if  27406  dchrvmasumlem2  27407  dchrvmasumlem3  27408  dchrvmasumiflem1  27410  dchrvmasumiflem2  27411  rpvmasum2  27421  dchrisum0lem1  27425  dchrmusumlem  27431  dirith2  27437  mudivsum  27439  mulogsumlem  27440  mulogsum  27441  mulog2sumlem1  27443  mulog2sumlem2  27444  mulog2sumlem3  27445  vmalogdivsum2  27447  vmalogdivsum  27448  2vmadivsumlem  27449  selberglem1  27454  selberglem2  27455  selbergb  27458  selberg2b  27461  logdivbnd  27465  selberg3lem1  27466  selberg3  27468  selberg4lem1  27469  selberg4  27470  pntrsumo1  27474  pntrsumbnd  27475  pntrsumbnd2  27476  selbergr  27477  selberg3r  27478  selberg4r  27479  pntsf  27482  pntsval2  27485  pntrlog2bndlem2  27487  pntrlog2bndlem4  27489  pntrlog2bndlem5  27490  pntrlog2bndlem6  27492  pntpbnd1  27495  pntpbnd2  27496  pntibndlem2  27500  pntlemn  27509  pntlemj  27512  pntlemk  27515  pntlemo  27516  ostth2lem2  27543  subfacval2  35180  subfaclim  35181  cvmliftlem6  35283  cvmliftlem7  35284  cvmliftlem8  35285  cvmliftlem9  35286  cvmliftlem10  35287  faclimlem1  35736  faclimlem2  35737  faclim2  35741  poimirlem29  37649  opnmbllem0  37656  pellexlem2  42823  hashnzfz2  44314  hashnzfzclim  44315  stoweidlem11  46012  stoweidlem26  46027  stoweidlem42  46043  stoweidlem59  46060  etransclem23  46258