Theorem nndivred 12270

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7411  ℝcr 11111   / cdiv 11875  ℕcn 12216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217

This theorem is referenced by:  bcp1nk  14281  reeftcl  16022  efcllem  16025  eftlub  16056  eirrlem  16151  dvdsmod  16276  bitsfzo  16380  bitsmod  16381  bitscmp  16383  bitsuz  16419  bezoutlem3  16487  hashdvds  16712  prmdiv  16722  odzdvds  16732  pcfaclem  16835  pcfac  16836  pcbc  16837  pockthlem  16842  prmreclem4  16856  odmod  19455  zringlpirlem3  21235  prmirredlem  21243  lebnumii  24712  ovoliunlem1  25251  uniioombllem4  25335  dyadss  25343  dyaddisjlem  25344  dyadmaxlem  25346  opnmbllem  25350  mbfi1fseqlem1  25465  mbfi1fseqlem3  25467  mbfi1fseqlem4  25468  mbfi1fseqlem5  25469  mbfi1fseqlem6  25470  aaliou3lem9  26099  taylthlem2  26122  advlogexp  26399  leibpilem2  26682  leibpi  26683  leibpisum  26684  birthdaylem3  26694  amgmlem  26730  fsumharmonic  26752  lgamgulmlem2  26770  lgamgulmlem3  26771  lgamgulmlem4  26772  lgamgulmlem6  26774  regamcl  26801  basellem4  26824  dvdsflf1o  26927  fsumfldivdiaglem  26929  logexprlim  26964  pcbcctr  27015  bcp1ctr  27018  bposlem2  27024  bposlem6  27028  lgseisenlem4  27117  lgseisen  27118  lgsquadlem1  27119  lgsquadlem2  27120  chebbnd1lem3  27210  chtppilimlem1  27212  vmadivsum  27221  vmadivsumb  27222  rplogsumlem1  27223  rplogsumlem2  27224  rpvmasumlem  27226  dchrisumlem1  27228  dchrvmasumlem1  27234  dchrvmasum2lem  27235  dchrvmasum2if  27236  dchrvmasumlem2  27237  dchrvmasumlem3  27238  dchrvmasumiflem1  27240  dchrvmasumiflem2  27241  rpvmasum2  27251  dchrisum0lem1  27255  dchrmusumlem  27261  dirith2  27267  mudivsum  27269  mulogsumlem  27270  mulogsum  27271  mulog2sumlem1  27273  mulog2sumlem2  27274  mulog2sumlem3  27275  vmalogdivsum2  27277  vmalogdivsum  27278  2vmadivsumlem  27279  selberglem1  27284  selberglem2  27285  selbergb  27288  selberg2b  27291  logdivbnd  27295  selberg3lem1  27296  selberg3  27298  selberg4lem1  27299  selberg4  27300  pntrsumo1  27304  pntrsumbnd  27305  pntrsumbnd2  27306  selbergr  27307  selberg3r  27308  selberg4r  27309  pntsf  27312  pntsval2  27315  pntrlog2bndlem2  27317  pntrlog2bndlem4  27319  pntrlog2bndlem5  27320  pntrlog2bndlem6  27322  pntpbnd1  27325  pntpbnd2  27326  pntibndlem2  27330  pntlemn  27339  pntlemj  27342  pntlemk  27345  pntlemo  27346  ostth2lem2  27373  subfacval2  34476  subfaclim  34477  cvmliftlem6  34579  cvmliftlem7  34580  cvmliftlem8  34581  cvmliftlem9  34582  cvmliftlem10  34583  faclimlem1  35017  faclimlem2  35018  faclim2  35022  poimirlem29  36820  opnmbllem0  36827  pellexlem2  41870  hashnzfz2  43382  hashnzfzclim  43383  stoweidlem11  45025  stoweidlem26  45040  stoweidlem42  45056  stoweidlem59  45073  etransclem23  45271