Theorem nndivred 12290

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℝcr 11099   / cdiv 11871  ℕcn 12233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234

This theorem is referenced by:  bcp1nk  14353  reeftcl  16128  efcllem  16131  eftlub  16165  eirrlem  16260  dvdsmod  16387  bitsfzo  16493  bitsmod  16494  bitscmp  16496  bitsuz  16532  bezoutlem3  16599  hashdvds  16834  prmdiv  16844  odzdvds  16855  pcfaclem  16958  pcfac  16959  pcbc  16960  pockthlem  16965  prmreclem4  16979  odmod  19616  zringlpirlem3  21583  prmirredlem  21591  lebnumii  25094  ovoliunlem1  25630  uniioombllem4  25714  dyadss  25722  dyaddisjlem  25723  dyadmaxlem  25725  opnmbllem  25729  mbfi1fseqlem1  25843  mbfi1fseqlem3  25845  mbfi1fseqlem4  25846  mbfi1fseqlem5  25847  mbfi1fseqlem6  25848  aaliou3lem9  26480  taylthlem2  26503  advlogexp  26786  leibpilem2  27072  leibpi  27073  leibpisum  27074  birthdaylem3  27084  amgmlem  27120  fsumharmonic  27142  lgamgulmlem2  27160  lgamgulmlem3  27161  lgamgulmlem4  27162  lgamgulmlem6  27164  regamcl  27191  basellem4  27214  dvdsflf1o  27317  fsumfldivdiaglem  27319  logexprlim  27355  pcbcctr  27406  bcp1ctr  27409  bposlem2  27415  bposlem6  27419  lgseisenlem4  27508  lgseisen  27509  lgsquadlem1  27510  lgsquadlem2  27511  chebbnd1lem3  27601  chtppilimlem1  27603  vmadivsum  27612  vmadivsumb  27613  rplogsumlem1  27614  rplogsumlem2  27615  rpvmasumlem  27617  dchrisumlem1  27619  dchrvmasumlem1  27625  dchrvmasum2lem  27626  dchrvmasum2if  27627  dchrvmasumlem2  27628  dchrvmasumlem3  27629  dchrvmasumiflem1  27631  dchrvmasumiflem2  27632  rpvmasum2  27642  dchrisum0lem1  27646  dchrmusumlem  27652  dirith2  27658  mudivsum  27660  mulogsumlem  27661  mulogsum  27662  mulog2sumlem1  27664  mulog2sumlem2  27665  mulog2sumlem3  27666  vmalogdivsum2  27668  vmalogdivsum  27669  2vmadivsumlem  27670  selberglem1  27675  selberglem2  27676  selbergb  27679  selberg2b  27682  logdivbnd  27686  selberg3lem1  27687  selberg3  27689  selberg4lem1  27690  selberg4  27691  pntrsumo1  27695  pntrsumbnd  27696  pntrsumbnd2  27697  selbergr  27698  selberg3r  27699  selberg4r  27700  pntsf  27703  pntsval2  27706  pntrlog2bndlem2  27708  pntrlog2bndlem4  27710  pntrlog2bndlem5  27711  pntrlog2bndlem6  27713  pntpbnd1  27716  pntpbnd2  27717  pntibndlem2  27721  pntlemn  27730  pntlemj  27733  pntlemk  27736  pntlemo  27737  ostth2lem2  27764  subfacval2  35612  subfaclim  35613  cvmliftlem6  35715  cvmliftlem7  35716  cvmliftlem8  35717  cvmliftlem9  35718  cvmliftlem10  35719  faclimlem1  36168  faclimlem2  36169  faclim2  36173  poimirlem29  38223  opnmbllem0  38230  pellexlem2  43484  hashnzfz2  44958  hashnzfzclim  44959  stoweidlem11  46652  stoweidlem26  46667  stoweidlem42  46683  stoweidlem59  46700  etransclem23  46898