Theorem nndivred 12317

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12304	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416  ℝcr 11126   / cdiv 11898  ℕcn 12260

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261

This theorem is used by:  bcp1nk  14383  reeftcl  16164  efcllem  16167  eftlub  16201  eirrlem  16296  dvdsmod  16423  bitsfzo  16529  bitsmod  16530  bitscmp  16532  bitsuz  16568  bezoutlem3  16635  hashdvds  16870  prmdiv  16880  odzdvds  16891  pcfaclem  16994  pcfac  16995  pcbc  16996  pockthlem  17001  prmreclem4  17015  odmod  19674  zringlpirlem3  21678  prmirredlem  21686  lebnumii  25195  ovoliunlem1  25731  uniioombllem4  25815  dyadss  25823  dyaddisjlem  25824  dyadmaxlem  25826  opnmbllem  25830  mbfi1fseqlem1  25944  mbfi1fseqlem3  25946  mbfi1fseqlem4  25947  mbfi1fseqlem5  25948  mbfi1fseqlem6  25949  aaliou3lem9  26583  taylthlem2  26607  advlogexp  26890  leibpilem2  27176  leibpi  27177  leibpisum  27178  birthdaylem3  27188  amgmlem  27224  fsumharmonic  27246  lgamgulmlem2  27264  lgamgulmlem3  27265  lgamgulmlem4  27266  lgamgulmlem6  27268  regamcl  27295  basellem4  27318  dvdsflf1o  27421  fsumfldivdiaglem  27423  logexprlim  27459  pcbcctr  27510  bcp1ctr  27513  bposlem2  27519  bposlem6  27523  lgseisenlem4  27612  lgseisen  27613  lgsquadlem1  27614  lgsquadlem2  27615  chebbnd1lem3  27705  chtppilimlem1  27707  vmadivsum  27716  vmadivsumb  27717  rplogsumlem1  27718  rplogsumlem2  27719  rpvmasumlem  27721  dchrisumlem1  27723  dchrvmasumlem1  27729  dchrvmasum2lem  27730  dchrvmasum2if  27731  dchrvmasumlem2  27732  dchrvmasumlem3  27733  dchrvmasumiflem1  27735  dchrvmasumiflem2  27736  rpvmasum2  27746  dchrisum0lem1  27750  dchrmusumlem  27756  dirith2  27762  mudivsum  27764  mulogsumlem  27765  mulogsum  27766  mulog2sumlem1  27768  mulog2sumlem2  27769  mulog2sumlem3  27770  vmalogdivsum2  27772  vmalogdivsum  27773  2vmadivsumlem  27774  selberglem1  27779  selberglem2  27780  selbergb  27783  selberg2b  27786  logdivbnd  27790  selberg3lem1  27791  selberg3  27793  selberg4lem1  27794  selberg4  27795  pntrsumo1  27799  pntrsumbnd  27800  pntrsumbnd2  27801  selbergr  27802  selberg3r  27803  selberg4r  27804  pntsf  27807  pntsval2  27810  pntrlog2bndlem2  27812  pntrlog2bndlem4  27814  pntrlog2bndlem5  27815  pntrlog2bndlem6  27817  pntpbnd1  27820  pntpbnd2  27821  pntibndlem2  27825  pntlemn  27834  pntlemj  27837  pntlemk  27840  pntlemo  27841  ostth2lem2  27868  subfacval2  35753  subfaclim  35754  cvmliftlem6  35856  cvmliftlem7  35857  cvmliftlem8  35858  cvmliftlem9  35859  cvmliftlem10  35860  faclimlem1  36309  faclimlem2  36310  faclim2  36314  poimirlem29  38385  opnmbllem0  38392  pellexlem2  43658  hashnzfz2  45132  hashnzfzclim  45133  stoweidlem11  46826  stoweidlem26  46841  stoweidlem42  46857  stoweidlem59  46874  etransclem23  47072