Theorem nndivred 12416

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12403	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7440  ℝcr 11223   / cdiv 11997  ℕcn 12359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360

This theorem is used by:  bcp1nk  14485  reeftcl  16266  efcllem  16269  eftlub  16303  eirrlem  16398  dvdsmod  16525  bitsfzo  16631  bitsmod  16632  bitscmp  16634  bitsuz  16670  bezoutlem3  16740  hashdvds  16978  prmdiv  16988  odzdvds  16999  pcfaclem  17102  pcfac  17103  pcbc  17104  pockthlem  17109  prmreclem4  17123  odmod  19787  zringlpirlem3  21797  prmirredlem  21805  lebnumii  25314  ovoliunlem1  25850  uniioombllem4  25934  dyadss  25942  dyaddisjlem  25943  dyadmaxlem  25945  opnmbllem  25949  mbfi1fseqlem1  26063  mbfi1fseqlem3  26065  mbfi1fseqlem4  26066  mbfi1fseqlem5  26067  mbfi1fseqlem6  26068  aaliou3lem9  26704  taylthlem2  26728  advlogexp  27010  leibpilem2  27296  leibpi  27297  leibpisum  27298  birthdaylem3  27308  amgmlem  27344  fsumharmonic  27366  lgamgulmlem2  27384  lgamgulmlem3  27385  lgamgulmlem4  27386  lgamgulmlem6  27388  regamcl  27415  basellem4  27438  dvdsflf1o  27541  fsumfldivdiaglem  27543  logexprlim  27579  pcbcctr  27630  bcp1ctr  27633  bposlem2  27639  bposlem6  27643  lgseisenlem4  27732  lgseisen  27733  lgsquadlem1  27734  lgsquadlem2  27735  chebbnd1lem3  27825  chtppilimlem1  27827  vmadivsum  27836  vmadivsumb  27837  rplogsumlem1  27838  rplogsumlem2  27839  rpvmasumlem  27841  dchrisumlem1  27843  dchrvmasumlem1  27849  dchrvmasum2lem  27850  dchrvmasum2if  27851  dchrvmasumlem2  27852  dchrvmasumlem3  27853  dchrvmasumiflem1  27855  dchrvmasumiflem2  27856  rpvmasum2  27866  dchrisum0lem1  27870  dchrmusumlem  27876  dirith2  27882  mudivsum  27884  mulogsumlem  27885  mulogsum  27886  mulog2sumlem1  27888  mulog2sumlem2  27889  mulog2sumlem3  27890  vmalogdivsum2  27892  vmalogdivsum  27893  2vmadivsumlem  27894  selberglem1  27899  selberglem2  27900  selbergb  27903  selberg2b  27906  logdivbnd  27910  selberg3lem1  27911  selberg3  27913  selberg4lem1  27914  selberg4  27915  pntrsumo1  27919  pntrsumbnd  27920  pntrsumbnd2  27921  selbergr  27922  selberg3r  27923  selberg4r  27924  pntsf  27927  pntsval2  27930  pntrlog2bndlem2  27932  pntrlog2bndlem4  27934  pntrlog2bndlem5  27935  pntrlog2bndlem6  27937  pntpbnd1  27940  pntpbnd2  27941  pntibndlem2  27945  pntlemn  27954  pntlemj  27957  pntlemk  27960  pntlemo  27961  ostth2lem2  27988  subfacval2  36118  subfaclim  36119  cvmliftlem6  36221  cvmliftlem7  36222  cvmliftlem8  36223  cvmliftlem9  36224  cvmliftlem10  36225  faclimlem1  36685  faclimlem2  36686  faclim2  36690  poimirlem29  38758  opnmbllem0  38765  pellexlem2  44028  hashnzfz2  45495  hashnzfzclim  45496  stoweidlem11  47224  stoweidlem26  47239  stoweidlem42  47255  stoweidlem59  47272  etransclem23  47470