Theorem nndivred 12296

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412  ℝcr 11105   / cdiv 11877  ℕcn 12239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240

This theorem is used by:  bcp1nk  14360  reeftcl  16134  efcllem  16137  eftlub  16171  eirrlem  16266  dvdsmod  16393  bitsfzo  16499  bitsmod  16500  bitscmp  16502  bitsuz  16538  bezoutlem3  16605  hashdvds  16840  prmdiv  16850  odzdvds  16861  pcfaclem  16964  pcfac  16965  pcbc  16966  pockthlem  16971  prmreclem4  16985  odmod  19622  zringlpirlem3  21625  prmirredlem  21633  lebnumii  25136  ovoliunlem1  25672  uniioombllem4  25756  dyadss  25764  dyaddisjlem  25765  dyadmaxlem  25767  opnmbllem  25771  mbfi1fseqlem1  25885  mbfi1fseqlem3  25887  mbfi1fseqlem4  25888  mbfi1fseqlem5  25889  mbfi1fseqlem6  25890  aaliou3lem9  26524  taylthlem2  26548  advlogexp  26831  leibpilem2  27117  leibpi  27118  leibpisum  27119  birthdaylem3  27129  amgmlem  27165  fsumharmonic  27187  lgamgulmlem2  27205  lgamgulmlem3  27206  lgamgulmlem4  27207  lgamgulmlem6  27209  regamcl  27236  basellem4  27259  dvdsflf1o  27362  fsumfldivdiaglem  27364  logexprlim  27400  pcbcctr  27451  bcp1ctr  27454  bposlem2  27460  bposlem6  27464  lgseisenlem4  27553  lgseisen  27554  lgsquadlem1  27555  lgsquadlem2  27556  chebbnd1lem3  27646  chtppilimlem1  27648  vmadivsum  27657  vmadivsumb  27658  rplogsumlem1  27659  rplogsumlem2  27660  rpvmasumlem  27662  dchrisumlem1  27664  dchrvmasumlem1  27670  dchrvmasum2lem  27671  dchrvmasum2if  27672  dchrvmasumlem2  27673  dchrvmasumlem3  27674  dchrvmasumiflem1  27676  dchrvmasumiflem2  27677  rpvmasum2  27687  dchrisum0lem1  27691  dchrmusumlem  27697  dirith2  27703  mudivsum  27705  mulogsumlem  27706  mulogsum  27707  mulog2sumlem1  27709  mulog2sumlem2  27710  mulog2sumlem3  27711  vmalogdivsum2  27713  vmalogdivsum  27714  2vmadivsumlem  27715  selberglem1  27720  selberglem2  27721  selbergb  27724  selberg2b  27727  logdivbnd  27731  selberg3lem1  27732  selberg3  27734  selberg4lem1  27735  selberg4  27736  pntrsumo1  27740  pntrsumbnd  27741  pntrsumbnd2  27742  selbergr  27743  selberg3r  27744  selberg4r  27745  pntsf  27748  pntsval2  27751  pntrlog2bndlem2  27753  pntrlog2bndlem4  27755  pntrlog2bndlem5  27756  pntrlog2bndlem6  27758  pntpbnd1  27761  pntpbnd2  27762  pntibndlem2  27766  pntlemn  27775  pntlemj  27778  pntlemk  27781  pntlemo  27782  ostth2lem2  27809  subfacval2  35687  subfaclim  35688  cvmliftlem6  35790  cvmliftlem7  35791  cvmliftlem8  35792  cvmliftlem9  35793  cvmliftlem10  35794  faclimlem1  36243  faclimlem2  36244  faclim2  36248  poimirlem29  38328  opnmbllem0  38335  pellexlem2  43585  hashnzfz2  45059  hashnzfzclim  45060  stoweidlem11  46753  stoweidlem26  46768  stoweidlem42  46784  stoweidlem59  46801  etransclem23  46999