Theorem nndivred 12220

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12207	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7356  ℝcr 11026   / cdiv 11796  ℕcn 12163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164

This theorem is referenced by:  bcp1nk  14268  reeftcl  16028  efcllem  16031  eftlub  16065  eirrlem  16160  dvdsmod  16287  bitsfzo  16393  bitsmod  16394  bitscmp  16396  bitsuz  16432  bezoutlem3  16499  hashdvds  16734  prmdiv  16744  odzdvds  16755  pcfaclem  16858  pcfac  16859  pcbc  16860  pockthlem  16865  prmreclem4  16879  odmod  19510  zringlpirlem3  21433  prmirredlem  21441  lebnumii  24921  ovoliunlem1  25457  uniioombllem4  25541  dyadss  25549  dyaddisjlem  25550  dyadmaxlem  25552  opnmbllem  25556  mbfi1fseqlem1  25670  mbfi1fseqlem3  25672  mbfi1fseqlem4  25673  mbfi1fseqlem5  25674  mbfi1fseqlem6  25675  aaliou3lem9  26304  taylthlem2  26327  advlogexp  26607  leibpilem2  26893  leibpi  26894  leibpisum  26895  birthdaylem3  26905  amgmlem  26941  fsumharmonic  26963  lgamgulmlem2  26981  lgamgulmlem3  26982  lgamgulmlem4  26983  lgamgulmlem6  26985  regamcl  27012  basellem4  27035  dvdsflf1o  27138  fsumfldivdiaglem  27140  logexprlim  27176  pcbcctr  27227  bcp1ctr  27230  bposlem2  27236  bposlem6  27240  lgseisenlem4  27329  lgseisen  27330  lgsquadlem1  27331  lgsquadlem2  27332  chebbnd1lem3  27422  chtppilimlem1  27424  vmadivsum  27433  vmadivsumb  27434  rplogsumlem1  27435  rplogsumlem2  27436  rpvmasumlem  27438  dchrisumlem1  27440  dchrvmasumlem1  27446  dchrvmasum2lem  27447  dchrvmasum2if  27448  dchrvmasumlem2  27449  dchrvmasumlem3  27450  dchrvmasumiflem1  27452  dchrvmasumiflem2  27453  rpvmasum2  27463  dchrisum0lem1  27467  dchrmusumlem  27473  dirith2  27479  mudivsum  27481  mulogsumlem  27482  mulogsum  27483  mulog2sumlem1  27485  mulog2sumlem2  27486  mulog2sumlem3  27487  vmalogdivsum2  27489  vmalogdivsum  27490  2vmadivsumlem  27491  selberglem1  27496  selberglem2  27497  selbergb  27500  selberg2b  27503  logdivbnd  27507  selberg3lem1  27508  selberg3  27510  selberg4lem1  27511  selberg4  27512  pntrsumo1  27516  pntrsumbnd  27517  pntrsumbnd2  27518  selbergr  27519  selberg3r  27520  selberg4r  27521  pntsf  27524  pntsval2  27527  pntrlog2bndlem2  27529  pntrlog2bndlem4  27531  pntrlog2bndlem5  27532  pntrlog2bndlem6  27534  pntpbnd1  27537  pntpbnd2  27538  pntibndlem2  27542  pntlemn  27551  pntlemj  27554  pntlemk  27557  pntlemo  27558  ostth2lem2  27585  subfacval2  35357  subfaclim  35358  cvmliftlem6  35460  cvmliftlem7  35461  cvmliftlem8  35462  cvmliftlem9  35463  cvmliftlem10  35464  faclimlem1  35913  faclimlem2  35914  faclim2  35918  poimirlem29  37958  opnmbllem0  37965  pellexlem2  43246  hashnzfz2  44736  hashnzfzclim  44737  stoweidlem11  46427  stoweidlem26  46442  stoweidlem42  46458  stoweidlem59  46475  etransclem23  46673