Theorem nndivred 12347

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12334	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7409  ℝcr 11156   / cdiv 11928  ℕcn 12290

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291

This theorem is used by:  bcp1nk  14414  reeftcl  16193  efcllem  16196  eftlub  16230  eirrlem  16325  dvdsmod  16452  bitsfzo  16558  bitsmod  16559  bitscmp  16561  bitsuz  16597  bezoutlem3  16664  hashdvds  16899  prmdiv  16909  odzdvds  16920  pcfaclem  17023  pcfac  17024  pcbc  17025  pockthlem  17030  prmreclem4  17044  odmod  19707  zringlpirlem3  21717  prmirredlem  21725  lebnumii  25234  ovoliunlem1  25770  uniioombllem4  25854  dyadss  25862  dyaddisjlem  25863  dyadmaxlem  25865  opnmbllem  25869  mbfi1fseqlem1  25983  mbfi1fseqlem3  25985  mbfi1fseqlem4  25986  mbfi1fseqlem5  25987  mbfi1fseqlem6  25988  aaliou3lem9  26626  taylthlem2  26650  advlogexp  26932  leibpilem2  27218  leibpi  27219  leibpisum  27220  birthdaylem3  27230  amgmlem  27266  fsumharmonic  27288  lgamgulmlem2  27306  lgamgulmlem3  27307  lgamgulmlem4  27308  lgamgulmlem6  27310  regamcl  27337  basellem4  27360  dvdsflf1o  27463  fsumfldivdiaglem  27465  logexprlim  27501  pcbcctr  27552  bcp1ctr  27555  bposlem2  27561  bposlem6  27565  lgseisenlem4  27654  lgseisen  27655  lgsquadlem1  27656  lgsquadlem2  27657  chebbnd1lem3  27747  chtppilimlem1  27749  vmadivsum  27758  vmadivsumb  27759  rplogsumlem1  27760  rplogsumlem2  27761  rpvmasumlem  27763  dchrisumlem1  27765  dchrvmasumlem1  27771  dchrvmasum2lem  27772  dchrvmasum2if  27773  dchrvmasumlem2  27774  dchrvmasumlem3  27775  dchrvmasumiflem1  27777  dchrvmasumiflem2  27778  rpvmasum2  27788  dchrisum0lem1  27792  dchrmusumlem  27798  dirith2  27804  mudivsum  27806  mulogsumlem  27807  mulogsum  27808  mulog2sumlem1  27810  mulog2sumlem2  27811  mulog2sumlem3  27812  vmalogdivsum2  27814  vmalogdivsum  27815  2vmadivsumlem  27816  selberglem1  27821  selberglem2  27822  selbergb  27825  selberg2b  27828  logdivbnd  27832  selberg3lem1  27833  selberg3  27835  selberg4lem1  27836  selberg4  27837  pntrsumo1  27841  pntrsumbnd  27842  pntrsumbnd2  27843  selbergr  27844  selberg3r  27845  selberg4r  27846  pntsf  27849  pntsval2  27852  pntrlog2bndlem2  27854  pntrlog2bndlem4  27856  pntrlog2bndlem5  27857  pntrlog2bndlem6  27859  pntpbnd1  27862  pntpbnd2  27863  pntibndlem2  27867  pntlemn  27876  pntlemj  27879  pntlemk  27882  pntlemo  27883  ostth2lem2  27910  subfacval2  35867  subfaclim  35868  cvmliftlem6  35970  cvmliftlem7  35971  cvmliftlem8  35972  cvmliftlem9  35973  cvmliftlem10  35974  faclimlem1  36423  faclimlem2  36424  faclim2  36428  poimirlem29  38481  opnmbllem0  38488  pellexlem2  43769  hashnzfz2  45243  hashnzfzclim  45244  stoweidlem11  46937  stoweidlem26  46952  stoweidlem42  46968  stoweidlem59  46985  etransclem23  47183