Theorem nndivred 12321

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12308	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432  ℝcr 11155   / cdiv 11921  ℕcn 12267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268

This theorem is referenced by:  bcp1nk  14357  reeftcl  16111  efcllem  16114  eftlub  16146  eirrlem  16241  dvdsmod  16367  bitsfzo  16473  bitsmod  16474  bitscmp  16476  bitsuz  16512  bezoutlem3  16579  hashdvds  16813  prmdiv  16823  odzdvds  16834  pcfaclem  16937  pcfac  16938  pcbc  16939  pockthlem  16944  prmreclem4  16958  odmod  19565  zringlpirlem3  21476  prmirredlem  21484  lebnumii  24999  ovoliunlem1  25538  uniioombllem4  25622  dyadss  25630  dyaddisjlem  25631  dyadmaxlem  25633  opnmbllem  25637  mbfi1fseqlem1  25751  mbfi1fseqlem3  25753  mbfi1fseqlem4  25754  mbfi1fseqlem5  25755  mbfi1fseqlem6  25756  aaliou3lem9  26393  taylthlem2  26417  taylthlem2OLD  26418  advlogexp  26698  leibpilem2  26985  leibpi  26986  leibpisum  26987  birthdaylem3  26997  amgmlem  27034  fsumharmonic  27056  lgamgulmlem2  27074  lgamgulmlem3  27075  lgamgulmlem4  27076  lgamgulmlem6  27078  regamcl  27105  basellem4  27128  dvdsflf1o  27231  fsumfldivdiaglem  27233  logexprlim  27270  pcbcctr  27321  bcp1ctr  27324  bposlem2  27330  bposlem6  27334  lgseisenlem4  27423  lgseisen  27424  lgsquadlem1  27425  lgsquadlem2  27426  chebbnd1lem3  27516  chtppilimlem1  27518  vmadivsum  27527  vmadivsumb  27528  rplogsumlem1  27529  rplogsumlem2  27530  rpvmasumlem  27532  dchrisumlem1  27534  dchrvmasumlem1  27540  dchrvmasum2lem  27541  dchrvmasum2if  27542  dchrvmasumlem2  27543  dchrvmasumlem3  27544  dchrvmasumiflem1  27546  dchrvmasumiflem2  27547  rpvmasum2  27557  dchrisum0lem1  27561  dchrmusumlem  27567  dirith2  27573  mudivsum  27575  mulogsumlem  27576  mulogsum  27577  mulog2sumlem1  27579  mulog2sumlem2  27580  mulog2sumlem3  27581  vmalogdivsum2  27583  vmalogdivsum  27584  2vmadivsumlem  27585  selberglem1  27590  selberglem2  27591  selbergb  27594  selberg2b  27597  logdivbnd  27601  selberg3lem1  27602  selberg3  27604  selberg4lem1  27605  selberg4  27606  pntrsumo1  27610  pntrsumbnd  27611  pntrsumbnd2  27612  selbergr  27613  selberg3r  27614  selberg4r  27615  pntsf  27618  pntsval2  27621  pntrlog2bndlem2  27623  pntrlog2bndlem4  27625  pntrlog2bndlem5  27626  pntrlog2bndlem6  27628  pntpbnd1  27631  pntpbnd2  27632  pntibndlem2  27636  pntlemn  27645  pntlemj  27648  pntlemk  27651  pntlemo  27652  ostth2lem2  27679  subfacval2  35193  subfaclim  35194  cvmliftlem6  35296  cvmliftlem7  35297  cvmliftlem8  35298  cvmliftlem9  35299  cvmliftlem10  35300  faclimlem1  35744  faclimlem2  35745  faclim2  35749  poimirlem29  37657  opnmbllem0  37664  pellexlem2  42846  hashnzfz2  44345  hashnzfzclim  44346  stoweidlem11  46031  stoweidlem26  46046  stoweidlem42  46062  stoweidlem59  46079  etransclem23  46277