Theorem nndivred 12213

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12200	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7370  ℝcr 11039   / cdiv 11808  ℕcn 12159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160

This theorem is referenced by:  bcp1nk  14254  reeftcl  16011  efcllem  16014  eftlub  16048  eirrlem  16143  dvdsmod  16270  bitsfzo  16376  bitsmod  16377  bitscmp  16379  bitsuz  16415  bezoutlem3  16482  hashdvds  16716  prmdiv  16726  odzdvds  16737  pcfaclem  16840  pcfac  16841  pcbc  16842  pockthlem  16847  prmreclem4  16861  odmod  19492  zringlpirlem3  21436  prmirredlem  21444  lebnumii  24938  ovoliunlem1  25476  uniioombllem4  25560  dyadss  25568  dyaddisjlem  25569  dyadmaxlem  25571  opnmbllem  25575  mbfi1fseqlem1  25689  mbfi1fseqlem3  25691  mbfi1fseqlem4  25692  mbfi1fseqlem5  25693  mbfi1fseqlem6  25694  aaliou3lem9  26331  taylthlem2  26355  taylthlem2OLD  26356  advlogexp  26637  leibpilem2  26924  leibpi  26925  leibpisum  26926  birthdaylem3  26936  amgmlem  26973  fsumharmonic  26995  lgamgulmlem2  27013  lgamgulmlem3  27014  lgamgulmlem4  27015  lgamgulmlem6  27017  regamcl  27044  basellem4  27067  dvdsflf1o  27170  fsumfldivdiaglem  27172  logexprlim  27209  pcbcctr  27260  bcp1ctr  27263  bposlem2  27269  bposlem6  27273  lgseisenlem4  27362  lgseisen  27363  lgsquadlem1  27364  lgsquadlem2  27365  chebbnd1lem3  27455  chtppilimlem1  27457  vmadivsum  27466  vmadivsumb  27467  rplogsumlem1  27468  rplogsumlem2  27469  rpvmasumlem  27471  dchrisumlem1  27473  dchrvmasumlem1  27479  dchrvmasum2lem  27480  dchrvmasum2if  27481  dchrvmasumlem2  27482  dchrvmasumlem3  27483  dchrvmasumiflem1  27485  dchrvmasumiflem2  27486  rpvmasum2  27496  dchrisum0lem1  27500  dchrmusumlem  27506  dirith2  27512  mudivsum  27514  mulogsumlem  27515  mulogsum  27516  mulog2sumlem1  27518  mulog2sumlem2  27519  mulog2sumlem3  27520  vmalogdivsum2  27522  vmalogdivsum  27523  2vmadivsumlem  27524  selberglem1  27529  selberglem2  27530  selbergb  27533  selberg2b  27536  logdivbnd  27540  selberg3lem1  27541  selberg3  27543  selberg4lem1  27544  selberg4  27545  pntrsumo1  27549  pntrsumbnd  27550  pntrsumbnd2  27551  selbergr  27552  selberg3r  27553  selberg4r  27554  pntsf  27557  pntsval2  27560  pntrlog2bndlem2  27562  pntrlog2bndlem4  27564  pntrlog2bndlem5  27565  pntrlog2bndlem6  27567  pntpbnd1  27570  pntpbnd2  27571  pntibndlem2  27575  pntlemn  27584  pntlemj  27587  pntlemk  27590  pntlemo  27591  ostth2lem2  27618  subfacval2  35409  subfaclim  35410  cvmliftlem6  35512  cvmliftlem7  35513  cvmliftlem8  35514  cvmliftlem9  35515  cvmliftlem10  35516  faclimlem1  35965  faclimlem2  35966  faclim2  35970  poimirlem29  37929  opnmbllem0  37936  pellexlem2  43216  hashnzfz2  44706  hashnzfzclim  44707  stoweidlem11  46398  stoweidlem26  46413  stoweidlem42  46429  stoweidlem59  46446  etransclem23  46644