Theorem nndivred 11412

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 11399	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 579	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  (class class class)co 6910  ℝcr 10258   / cdiv 11016  ℕcn 11357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358

This theorem is referenced by:  bcp1nk  13404  reeftcl  15184  efcllem  15187  eftlub  15218  eirrlem  15313  dvdsmod  15434  bitsfzo  15537  bitsmod  15538  bitscmp  15540  bitsuz  15576  bezoutlem3  15638  hashdvds  15858  prmdiv  15868  odzdvds  15878  pcfaclem  15980  pcfac  15981  pcbc  15982  pockthlem  15987  prmreclem4  16001  odmod  18323  zringlpirlem3  20201  prmirredlem  20208  lebnumii  23142  ovoliunlem1  23675  uniioombllem4  23759  dyadss  23767  dyaddisjlem  23768  dyadmaxlem  23770  opnmbllem  23774  mbfi1fseqlem1  23888  mbfi1fseqlem3  23890  mbfi1fseqlem4  23891  mbfi1fseqlem5  23892  mbfi1fseqlem6  23893  aaliou3lem9  24511  taylthlem2  24534  advlogexp  24807  leibpilem2  25088  leibpi  25089  leibpisum  25090  birthdaylem3  25100  amgmlem  25136  fsumharmonic  25158  lgamgulmlem2  25176  lgamgulmlem3  25177  lgamgulmlem4  25178  lgamgulmlem6  25180  lgamcvg2  25201  regamcl  25207  basellem4  25230  dvdsflf1o  25333  fsumfldivdiaglem  25335  logexprlim  25370  pcbcctr  25421  bcp1ctr  25424  bposlem2  25430  bposlem6  25434  lgseisenlem4  25523  lgseisen  25524  lgsquadlem1  25525  lgsquadlem2  25526  chebbnd1lem3  25580  chtppilimlem1  25582  vmadivsum  25591  vmadivsumb  25592  rplogsumlem1  25593  rplogsumlem2  25594  rpvmasumlem  25596  dchrisumlem1  25598  dchrvmasumlem1  25604  dchrvmasum2lem  25605  dchrvmasum2if  25606  dchrvmasumlem2  25607  dchrvmasumlem3  25608  dchrvmasumiflem1  25610  dchrvmasumiflem2  25611  rpvmasum2  25621  dchrisum0lem1  25625  dchrmusumlem  25631  dirith2  25637  mudivsum  25639  mulogsumlem  25640  mulogsum  25641  mulog2sumlem1  25643  mulog2sumlem2  25644  mulog2sumlem3  25645  vmalogdivsum2  25647  vmalogdivsum  25648  2vmadivsumlem  25649  selberglem1  25654  selberglem2  25655  selbergb  25658  selberg2b  25661  logdivbnd  25665  selberg3lem1  25666  selberg3  25668  selberg4lem1  25669  selberg4  25670  pntrsumo1  25674  pntrsumbnd  25675  pntrsumbnd2  25676  selbergr  25677  selberg3r  25678  selberg4r  25679  pntsf  25682  pntsval2  25685  pntrlog2bndlem2  25687  pntrlog2bndlem4  25689  pntrlog2bndlem5  25690  pntrlog2bndlem6  25692  pntpbnd1  25695  pntpbnd2  25696  pntibndlem2  25700  pntlemn  25709  pntlemj  25712  pntlemk  25715  pntlemo  25716  ostth2lem2  25743  subfacval2  31711  subfaclim  31712  cvmliftlem6  31814  cvmliftlem7  31815  cvmliftlem8  31816  cvmliftlem9  31817  cvmliftlem10  31818  faclimlem1  32167  faclimlem2  32168  faclim2  32172  poimirlem29  33977  opnmbllem0  33984  pellexlem2  38233  hashnzfz2  39355  hashnzfzclim  39356  stoweidlem11  41016  stoweidlem26  41031  stoweidlem42  41047  stoweidlem59  41064  etransclem23  41262