Theorem nndivred 12318

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12305	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℝcr 11127   / cdiv 11899  ℕcn 12261

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262

This theorem is used by:  bcp1nk  14385  reeftcl  16166  efcllem  16169  eftlub  16203  eirrlem  16298  dvdsmod  16425  bitsfzo  16531  bitsmod  16532  bitscmp  16534  bitsuz  16570  bezoutlem3  16637  hashdvds  16872  prmdiv  16882  odzdvds  16893  pcfaclem  16996  pcfac  16997  pcbc  16998  pockthlem  17003  prmreclem4  17017  odmod  19679  zringlpirlem3  21683  prmirredlem  21691  lebnumii  25200  ovoliunlem1  25736  uniioombllem4  25820  dyadss  25828  dyaddisjlem  25829  dyadmaxlem  25831  opnmbllem  25835  mbfi1fseqlem1  25949  mbfi1fseqlem3  25951  mbfi1fseqlem4  25952  mbfi1fseqlem5  25953  mbfi1fseqlem6  25954  aaliou3lem9  26593  taylthlem2  26617  advlogexp  26900  leibpilem2  27186  leibpi  27187  leibpisum  27188  birthdaylem3  27198  amgmlem  27234  fsumharmonic  27256  lgamgulmlem2  27274  lgamgulmlem3  27275  lgamgulmlem4  27276  lgamgulmlem6  27278  regamcl  27305  basellem4  27328  dvdsflf1o  27431  fsumfldivdiaglem  27433  logexprlim  27469  pcbcctr  27520  bcp1ctr  27523  bposlem2  27529  bposlem6  27533  lgseisenlem4  27622  lgseisen  27623  lgsquadlem1  27624  lgsquadlem2  27625  chebbnd1lem3  27715  chtppilimlem1  27717  vmadivsum  27726  vmadivsumb  27727  rplogsumlem1  27728  rplogsumlem2  27729  rpvmasumlem  27731  dchrisumlem1  27733  dchrvmasumlem1  27739  dchrvmasum2lem  27740  dchrvmasum2if  27741  dchrvmasumlem2  27742  dchrvmasumlem3  27743  dchrvmasumiflem1  27745  dchrvmasumiflem2  27746  rpvmasum2  27756  dchrisum0lem1  27760  dchrmusumlem  27766  dirith2  27772  mudivsum  27774  mulogsumlem  27775  mulogsum  27776  mulog2sumlem1  27778  mulog2sumlem2  27779  mulog2sumlem3  27780  vmalogdivsum2  27782  vmalogdivsum  27783  2vmadivsumlem  27784  selberglem1  27789  selberglem2  27790  selbergb  27793  selberg2b  27796  logdivbnd  27800  selberg3lem1  27801  selberg3  27803  selberg4lem1  27804  selberg4  27805  pntrsumo1  27809  pntrsumbnd  27810  pntrsumbnd2  27811  selbergr  27812  selberg3r  27813  selberg4r  27814  pntsf  27817  pntsval2  27820  pntrlog2bndlem2  27822  pntrlog2bndlem4  27824  pntrlog2bndlem5  27825  pntrlog2bndlem6  27827  pntpbnd1  27830  pntpbnd2  27831  pntibndlem2  27835  pntlemn  27844  pntlemj  27847  pntlemk  27850  pntlemo  27851  ostth2lem2  27878  subfacval2  35774  subfaclim  35775  cvmliftlem6  35877  cvmliftlem7  35878  cvmliftlem8  35879  cvmliftlem9  35880  cvmliftlem10  35881  faclimlem1  36330  faclimlem2  36331  faclim2  36335  poimirlem29  38406  opnmbllem0  38413  pellexlem2  43679  hashnzfz2  45153  hashnzfzclim  45154  stoweidlem11  46847  stoweidlem26  46862  stoweidlem42  46878  stoweidlem59  46895  etransclem23  47093