Theorem nndivred 11957

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 11944	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℝcr 10801   / cdiv 11562  ℕcn 11903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904

This theorem is referenced by:  bcp1nk  13959  reeftcl  15712  efcllem  15715  eftlub  15746  eirrlem  15841  dvdsmod  15966  bitsfzo  16070  bitsmod  16071  bitscmp  16073  bitsuz  16109  bezoutlem3  16177  hashdvds  16404  prmdiv  16414  odzdvds  16424  pcfaclem  16527  pcfac  16528  pcbc  16529  pockthlem  16534  prmreclem4  16548  odmod  19069  zringlpirlem3  20598  prmirredlem  20606  lebnumii  24035  ovoliunlem1  24571  uniioombllem4  24655  dyadss  24663  dyaddisjlem  24664  dyadmaxlem  24666  opnmbllem  24670  mbfi1fseqlem1  24785  mbfi1fseqlem3  24787  mbfi1fseqlem4  24788  mbfi1fseqlem5  24789  mbfi1fseqlem6  24790  aaliou3lem9  25415  taylthlem2  25438  advlogexp  25715  leibpilem2  25996  leibpi  25997  leibpisum  25998  birthdaylem3  26008  amgmlem  26044  fsumharmonic  26066  lgamgulmlem2  26084  lgamgulmlem3  26085  lgamgulmlem4  26086  lgamgulmlem6  26088  regamcl  26115  basellem4  26138  dvdsflf1o  26241  fsumfldivdiaglem  26243  logexprlim  26278  pcbcctr  26329  bcp1ctr  26332  bposlem2  26338  bposlem6  26342  lgseisenlem4  26431  lgseisen  26432  lgsquadlem1  26433  lgsquadlem2  26434  chebbnd1lem3  26524  chtppilimlem1  26526  vmadivsum  26535  vmadivsumb  26536  rplogsumlem1  26537  rplogsumlem2  26538  rpvmasumlem  26540  dchrisumlem1  26542  dchrvmasumlem1  26548  dchrvmasum2lem  26549  dchrvmasum2if  26550  dchrvmasumlem2  26551  dchrvmasumlem3  26552  dchrvmasumiflem1  26554  dchrvmasumiflem2  26555  rpvmasum2  26565  dchrisum0lem1  26569  dchrmusumlem  26575  dirith2  26581  mudivsum  26583  mulogsumlem  26584  mulogsum  26585  mulog2sumlem1  26587  mulog2sumlem2  26588  mulog2sumlem3  26589  vmalogdivsum2  26591  vmalogdivsum  26592  2vmadivsumlem  26593  selberglem1  26598  selberglem2  26599  selbergb  26602  selberg2b  26605  logdivbnd  26609  selberg3lem1  26610  selberg3  26612  selberg4lem1  26613  selberg4  26614  pntrsumo1  26618  pntrsumbnd  26619  pntrsumbnd2  26620  selbergr  26621  selberg3r  26622  selberg4r  26623  pntsf  26626  pntsval2  26629  pntrlog2bndlem2  26631  pntrlog2bndlem4  26633  pntrlog2bndlem5  26634  pntrlog2bndlem6  26636  pntpbnd1  26639  pntpbnd2  26640  pntibndlem2  26644  pntlemn  26653  pntlemj  26656  pntlemk  26659  pntlemo  26660  ostth2lem2  26687  subfacval2  33049  subfaclim  33050  cvmliftlem6  33152  cvmliftlem7  33153  cvmliftlem8  33154  cvmliftlem9  33155  cvmliftlem10  33156  faclimlem1  33615  faclimlem2  33616  faclim2  33620  poimirlem29  35733  opnmbllem0  35740  pellexlem2  40568  hashnzfz2  41828  hashnzfzclim  41829  stoweidlem11  43442  stoweidlem26  43457  stoweidlem42  43473  stoweidlem59  43490  etransclem23  43688