MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nndivred 12214
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nndivred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nndivred (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred
StepHypRef Expression
1 nndivred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 nndivred.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
3 nndivre 12201 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 585 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  (class class class)co 7362  cr 11057   / cdiv 11819  cn 12160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161
This theorem is referenced by:  bcp1nk  14224  reeftcl  15964  efcllem  15967  eftlub  15998  eirrlem  16093  dvdsmod  16218  bitsfzo  16322  bitsmod  16323  bitscmp  16325  bitsuz  16361  bezoutlem3  16429  hashdvds  16654  prmdiv  16664  odzdvds  16674  pcfaclem  16777  pcfac  16778  pcbc  16779  pockthlem  16784  prmreclem4  16798  odmod  19335  zringlpirlem3  20901  prmirredlem  20909  lebnumii  24345  ovoliunlem1  24882  uniioombllem4  24966  dyadss  24974  dyaddisjlem  24975  dyadmaxlem  24977  opnmbllem  24981  mbfi1fseqlem1  25096  mbfi1fseqlem3  25098  mbfi1fseqlem4  25099  mbfi1fseqlem5  25100  mbfi1fseqlem6  25101  aaliou3lem9  25726  taylthlem2  25749  advlogexp  26026  leibpilem2  26307  leibpi  26308  leibpisum  26309  birthdaylem3  26319  amgmlem  26355  fsumharmonic  26377  lgamgulmlem2  26395  lgamgulmlem3  26396  lgamgulmlem4  26397  lgamgulmlem6  26399  regamcl  26426  basellem4  26449  dvdsflf1o  26552  fsumfldivdiaglem  26554  logexprlim  26589  pcbcctr  26640  bcp1ctr  26643  bposlem2  26649  bposlem6  26653  lgseisenlem4  26742  lgseisen  26743  lgsquadlem1  26744  lgsquadlem2  26745  chebbnd1lem3  26835  chtppilimlem1  26837  vmadivsum  26846  vmadivsumb  26847  rplogsumlem1  26848  rplogsumlem2  26849  rpvmasumlem  26851  dchrisumlem1  26853  dchrvmasumlem1  26859  dchrvmasum2lem  26860  dchrvmasum2if  26861  dchrvmasumlem2  26862  dchrvmasumlem3  26863  dchrvmasumiflem1  26865  dchrvmasumiflem2  26866  rpvmasum2  26876  dchrisum0lem1  26880  dchrmusumlem  26886  dirith2  26892  mudivsum  26894  mulogsumlem  26895  mulogsum  26896  mulog2sumlem1  26898  mulog2sumlem2  26899  mulog2sumlem3  26900  vmalogdivsum2  26902  vmalogdivsum  26903  2vmadivsumlem  26904  selberglem1  26909  selberglem2  26910  selbergb  26913  selberg2b  26916  logdivbnd  26920  selberg3lem1  26921  selberg3  26923  selberg4lem1  26924  selberg4  26925  pntrsumo1  26929  pntrsumbnd  26930  pntrsumbnd2  26931  selbergr  26932  selberg3r  26933  selberg4r  26934  pntsf  26937  pntsval2  26940  pntrlog2bndlem2  26942  pntrlog2bndlem4  26944  pntrlog2bndlem5  26945  pntrlog2bndlem6  26947  pntpbnd1  26950  pntpbnd2  26951  pntibndlem2  26955  pntlemn  26964  pntlemj  26967  pntlemk  26970  pntlemo  26971  ostth2lem2  26998  subfacval2  33821  subfaclim  33822  cvmliftlem6  33924  cvmliftlem7  33925  cvmliftlem8  33926  cvmliftlem9  33927  cvmliftlem10  33928  faclimlem1  34355  faclimlem2  34356  faclim2  34360  poimirlem29  36136  opnmbllem0  36143  pellexlem2  41182  hashnzfz2  42675  hashnzfzclim  42676  stoweidlem11  44326  stoweidlem26  44341  stoweidlem42  44357  stoweidlem59  44374  etransclem23  44572
  Copyright terms: Public domain W3C validator