Theorem nndivred 12218

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12205	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℝcr 11045   / cdiv 11813  ℕcn 12164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165

This theorem is referenced by:  bcp1nk  14260  reeftcl  16017  efcllem  16020  eftlub  16054  eirrlem  16149  dvdsmod  16276  bitsfzo  16382  bitsmod  16383  bitscmp  16385  bitsuz  16421  bezoutlem3  16488  hashdvds  16722  prmdiv  16732  odzdvds  16743  pcfaclem  16846  pcfac  16847  pcbc  16848  pockthlem  16853  prmreclem4  16867  odmod  19461  zringlpirlem3  21407  prmirredlem  21415  lebnumii  24899  ovoliunlem1  25437  uniioombllem4  25521  dyadss  25529  dyaddisjlem  25530  dyadmaxlem  25532  opnmbllem  25536  mbfi1fseqlem1  25650  mbfi1fseqlem3  25652  mbfi1fseqlem4  25653  mbfi1fseqlem5  25654  mbfi1fseqlem6  25655  aaliou3lem9  26292  taylthlem2  26316  taylthlem2OLD  26317  advlogexp  26598  leibpilem2  26885  leibpi  26886  leibpisum  26887  birthdaylem3  26897  amgmlem  26934  fsumharmonic  26956  lgamgulmlem2  26974  lgamgulmlem3  26975  lgamgulmlem4  26976  lgamgulmlem6  26978  regamcl  27005  basellem4  27028  dvdsflf1o  27131  fsumfldivdiaglem  27133  logexprlim  27170  pcbcctr  27221  bcp1ctr  27224  bposlem2  27230  bposlem6  27234  lgseisenlem4  27323  lgseisen  27324  lgsquadlem1  27325  lgsquadlem2  27326  chebbnd1lem3  27416  chtppilimlem1  27418  vmadivsum  27427  vmadivsumb  27428  rplogsumlem1  27429  rplogsumlem2  27430  rpvmasumlem  27432  dchrisumlem1  27434  dchrvmasumlem1  27440  dchrvmasum2lem  27441  dchrvmasum2if  27442  dchrvmasumlem2  27443  dchrvmasumlem3  27444  dchrvmasumiflem1  27446  dchrvmasumiflem2  27447  rpvmasum2  27457  dchrisum0lem1  27461  dchrmusumlem  27467  dirith2  27473  mudivsum  27475  mulogsumlem  27476  mulogsum  27477  mulog2sumlem1  27479  mulog2sumlem2  27480  mulog2sumlem3  27481  vmalogdivsum2  27483  vmalogdivsum  27484  2vmadivsumlem  27485  selberglem1  27490  selberglem2  27491  selbergb  27494  selberg2b  27497  logdivbnd  27501  selberg3lem1  27502  selberg3  27504  selberg4lem1  27505  selberg4  27506  pntrsumo1  27510  pntrsumbnd  27511  pntrsumbnd2  27512  selbergr  27513  selberg3r  27514  selberg4r  27515  pntsf  27518  pntsval2  27521  pntrlog2bndlem2  27523  pntrlog2bndlem4  27525  pntrlog2bndlem5  27526  pntrlog2bndlem6  27528  pntpbnd1  27531  pntpbnd2  27532  pntibndlem2  27536  pntlemn  27545  pntlemj  27548  pntlemk  27551  pntlemo  27552  ostth2lem2  27579  subfacval2  35168  subfaclim  35169  cvmliftlem6  35271  cvmliftlem7  35272  cvmliftlem8  35273  cvmliftlem9  35274  cvmliftlem10  35275  faclimlem1  35724  faclimlem2  35725  faclim2  35729  poimirlem29  37637  opnmbllem0  37644  pellexlem2  42812  hashnzfz2  44304  hashnzfzclim  44305  stoweidlem11  46003  stoweidlem26  46018  stoweidlem42  46034  stoweidlem59  46051  etransclem23  46249