Theorem nndivred 12299

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℝcr 11133   / cdiv 11899  ℕcn 12245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246

This theorem is referenced by:  bcp1nk  14340  reeftcl  16095  efcllem  16098  eftlub  16132  eirrlem  16227  dvdsmod  16353  bitsfzo  16459  bitsmod  16460  bitscmp  16462  bitsuz  16498  bezoutlem3  16565  hashdvds  16799  prmdiv  16809  odzdvds  16820  pcfaclem  16923  pcfac  16924  pcbc  16925  pockthlem  16930  prmreclem4  16944  odmod  19532  zringlpirlem3  21430  prmirredlem  21438  lebnumii  24921  ovoliunlem1  25460  uniioombllem4  25544  dyadss  25552  dyaddisjlem  25553  dyadmaxlem  25555  opnmbllem  25559  mbfi1fseqlem1  25673  mbfi1fseqlem3  25675  mbfi1fseqlem4  25676  mbfi1fseqlem5  25677  mbfi1fseqlem6  25678  aaliou3lem9  26315  taylthlem2  26339  taylthlem2OLD  26340  advlogexp  26621  leibpilem2  26908  leibpi  26909  leibpisum  26910  birthdaylem3  26920  amgmlem  26957  fsumharmonic  26979  lgamgulmlem2  26997  lgamgulmlem3  26998  lgamgulmlem4  26999  lgamgulmlem6  27001  regamcl  27028  basellem4  27051  dvdsflf1o  27154  fsumfldivdiaglem  27156  logexprlim  27193  pcbcctr  27244  bcp1ctr  27247  bposlem2  27253  bposlem6  27257  lgseisenlem4  27346  lgseisen  27347  lgsquadlem1  27348  lgsquadlem2  27349  chebbnd1lem3  27439  chtppilimlem1  27441  vmadivsum  27450  vmadivsumb  27451  rplogsumlem1  27452  rplogsumlem2  27453  rpvmasumlem  27455  dchrisumlem1  27457  dchrvmasumlem1  27463  dchrvmasum2lem  27464  dchrvmasum2if  27465  dchrvmasumlem2  27466  dchrvmasumlem3  27467  dchrvmasumiflem1  27469  dchrvmasumiflem2  27470  rpvmasum2  27480  dchrisum0lem1  27484  dchrmusumlem  27490  dirith2  27496  mudivsum  27498  mulogsumlem  27499  mulogsum  27500  mulog2sumlem1  27502  mulog2sumlem2  27503  mulog2sumlem3  27504  vmalogdivsum2  27506  vmalogdivsum  27507  2vmadivsumlem  27508  selberglem1  27513  selberglem2  27514  selbergb  27517  selberg2b  27520  logdivbnd  27524  selberg3lem1  27525  selberg3  27527  selberg4lem1  27528  selberg4  27529  pntrsumo1  27533  pntrsumbnd  27534  pntrsumbnd2  27535  selbergr  27536  selberg3r  27537  selberg4r  27538  pntsf  27541  pntsval2  27544  pntrlog2bndlem2  27546  pntrlog2bndlem4  27548  pntrlog2bndlem5  27549  pntrlog2bndlem6  27551  pntpbnd1  27554  pntpbnd2  27555  pntibndlem2  27559  pntlemn  27568  pntlemj  27571  pntlemk  27574  pntlemo  27575  ostth2lem2  27602  subfacval2  35214  subfaclim  35215  cvmliftlem6  35317  cvmliftlem7  35318  cvmliftlem8  35319  cvmliftlem9  35320  cvmliftlem10  35321  faclimlem1  35765  faclimlem2  35766  faclim2  35770  poimirlem29  37678  opnmbllem0  37685  pellexlem2  42828  hashnzfz2  44320  hashnzfzclim  44321  stoweidlem11  46020  stoweidlem26  46035  stoweidlem42  46051  stoweidlem59  46068  etransclem23  46266