Theorem nndivred 12240

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12227	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℝcr 11067   / cdiv 11835  ℕcn 12186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187

This theorem is referenced by:  bcp1nk  14282  reeftcl  16040  efcllem  16043  eftlub  16077  eirrlem  16172  dvdsmod  16299  bitsfzo  16405  bitsmod  16406  bitscmp  16408  bitsuz  16444  bezoutlem3  16511  hashdvds  16745  prmdiv  16755  odzdvds  16766  pcfaclem  16869  pcfac  16870  pcbc  16871  pockthlem  16876  prmreclem4  16890  odmod  19476  zringlpirlem3  21374  prmirredlem  21382  lebnumii  24865  ovoliunlem1  25403  uniioombllem4  25487  dyadss  25495  dyaddisjlem  25496  dyadmaxlem  25498  opnmbllem  25502  mbfi1fseqlem1  25616  mbfi1fseqlem3  25618  mbfi1fseqlem4  25619  mbfi1fseqlem5  25620  mbfi1fseqlem6  25621  aaliou3lem9  26258  taylthlem2  26282  taylthlem2OLD  26283  advlogexp  26564  leibpilem2  26851  leibpi  26852  leibpisum  26853  birthdaylem3  26863  amgmlem  26900  fsumharmonic  26922  lgamgulmlem2  26940  lgamgulmlem3  26941  lgamgulmlem4  26942  lgamgulmlem6  26944  regamcl  26971  basellem4  26994  dvdsflf1o  27097  fsumfldivdiaglem  27099  logexprlim  27136  pcbcctr  27187  bcp1ctr  27190  bposlem2  27196  bposlem6  27200  lgseisenlem4  27289  lgseisen  27290  lgsquadlem1  27291  lgsquadlem2  27292  chebbnd1lem3  27382  chtppilimlem1  27384  vmadivsum  27393  vmadivsumb  27394  rplogsumlem1  27395  rplogsumlem2  27396  rpvmasumlem  27398  dchrisumlem1  27400  dchrvmasumlem1  27406  dchrvmasum2lem  27407  dchrvmasum2if  27408  dchrvmasumlem2  27409  dchrvmasumlem3  27410  dchrvmasumiflem1  27412  dchrvmasumiflem2  27413  rpvmasum2  27423  dchrisum0lem1  27427  dchrmusumlem  27433  dirith2  27439  mudivsum  27441  mulogsumlem  27442  mulogsum  27443  mulog2sumlem1  27445  mulog2sumlem2  27446  mulog2sumlem3  27447  vmalogdivsum2  27449  vmalogdivsum  27450  2vmadivsumlem  27451  selberglem1  27456  selberglem2  27457  selbergb  27460  selberg2b  27463  logdivbnd  27467  selberg3lem1  27468  selberg3  27470  selberg4lem1  27471  selberg4  27472  pntrsumo1  27476  pntrsumbnd  27477  pntrsumbnd2  27478  selbergr  27479  selberg3r  27480  selberg4r  27481  pntsf  27484  pntsval2  27487  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem4  27491  pntrlog2bndlem5  27492  pntrlog2bndlem6  27494  pntpbnd1  27497  pntpbnd2  27498  pntibndlem2  27502  pntlemn  27511  pntlemj  27514  pntlemk  27517  pntlemo  27518  ostth2lem2  27545  subfacval2  35174  subfaclim  35175  cvmliftlem6  35277  cvmliftlem7  35278  cvmliftlem8  35279  cvmliftlem9  35280  cvmliftlem10  35281  faclimlem1  35730  faclimlem2  35731  faclim2  35735  poimirlem29  37643  opnmbllem0  37650  pellexlem2  42818  hashnzfz2  44310  hashnzfzclim  44311  stoweidlem11  46009  stoweidlem26  46024  stoweidlem42  46040  stoweidlem59  46057  etransclem23  46255