Theorem nndivred 12318

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12305	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℝcr 11152   / cdiv 11918  ℕcn 12264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265

This theorem is referenced by:  bcp1nk  14353  reeftcl  16107  efcllem  16110  eftlub  16142  eirrlem  16237  dvdsmod  16363  bitsfzo  16469  bitsmod  16470  bitscmp  16472  bitsuz  16508  bezoutlem3  16575  hashdvds  16809  prmdiv  16819  odzdvds  16829  pcfaclem  16932  pcfac  16933  pcbc  16934  pockthlem  16939  prmreclem4  16953  odmod  19579  zringlpirlem3  21493  prmirredlem  21501  lebnumii  25012  ovoliunlem1  25551  uniioombllem4  25635  dyadss  25643  dyaddisjlem  25644  dyadmaxlem  25646  opnmbllem  25650  mbfi1fseqlem1  25765  mbfi1fseqlem3  25767  mbfi1fseqlem4  25768  mbfi1fseqlem5  25769  mbfi1fseqlem6  25770  aaliou3lem9  26407  taylthlem2  26431  taylthlem2OLD  26432  advlogexp  26712  leibpilem2  26999  leibpi  27000  leibpisum  27001  birthdaylem3  27011  amgmlem  27048  fsumharmonic  27070  lgamgulmlem2  27088  lgamgulmlem3  27089  lgamgulmlem4  27090  lgamgulmlem6  27092  regamcl  27119  basellem4  27142  dvdsflf1o  27245  fsumfldivdiaglem  27247  logexprlim  27284  pcbcctr  27335  bcp1ctr  27338  bposlem2  27344  bposlem6  27348  lgseisenlem4  27437  lgseisen  27438  lgsquadlem1  27439  lgsquadlem2  27440  chebbnd1lem3  27530  chtppilimlem1  27532  vmadivsum  27541  vmadivsumb  27542  rplogsumlem1  27543  rplogsumlem2  27544  rpvmasumlem  27546  dchrisumlem1  27548  dchrvmasumlem1  27554  dchrvmasum2lem  27555  dchrvmasum2if  27556  dchrvmasumlem2  27557  dchrvmasumlem3  27558  dchrvmasumiflem1  27560  dchrvmasumiflem2  27561  rpvmasum2  27571  dchrisum0lem1  27575  dchrmusumlem  27581  dirith2  27587  mudivsum  27589  mulogsumlem  27590  mulogsum  27591  mulog2sumlem1  27593  mulog2sumlem2  27594  mulog2sumlem3  27595  vmalogdivsum2  27597  vmalogdivsum  27598  2vmadivsumlem  27599  selberglem1  27604  selberglem2  27605  selbergb  27608  selberg2b  27611  logdivbnd  27615  selberg3lem1  27616  selberg3  27618  selberg4lem1  27619  selberg4  27620  pntrsumo1  27624  pntrsumbnd  27625  pntrsumbnd2  27626  selbergr  27627  selberg3r  27628  selberg4r  27629  pntsf  27632  pntsval2  27635  pntrlog2bndlem2  27637  pntrlog2bndlem4  27639  pntrlog2bndlem5  27640  pntrlog2bndlem6  27642  pntpbnd1  27645  pntpbnd2  27646  pntibndlem2  27650  pntlemn  27659  pntlemj  27662  pntlemk  27665  pntlemo  27666  ostth2lem2  27693  subfacval2  35172  subfaclim  35173  cvmliftlem6  35275  cvmliftlem7  35276  cvmliftlem8  35277  cvmliftlem9  35278  cvmliftlem10  35279  faclimlem1  35723  faclimlem2  35724  faclim2  35728  poimirlem29  37636  opnmbllem0  37643  pellexlem2  42818  hashnzfz2  44317  hashnzfzclim  44318  stoweidlem11  45967  stoweidlem26  45982  stoweidlem42  45998  stoweidlem59  46015  etransclem23  46213