Theorem nndivred 12201

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12188	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358  ℝcr 11027   / cdiv 11796  ℕcn 12147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148

This theorem is referenced by:  bcp1nk  14242  reeftcl  15999  efcllem  16002  eftlub  16036  eirrlem  16131  dvdsmod  16258  bitsfzo  16364  bitsmod  16365  bitscmp  16367  bitsuz  16403  bezoutlem3  16470  hashdvds  16704  prmdiv  16714  odzdvds  16725  pcfaclem  16828  pcfac  16829  pcbc  16830  pockthlem  16835  prmreclem4  16849  odmod  19477  zringlpirlem3  21421  prmirredlem  21429  lebnumii  24923  ovoliunlem1  25461  uniioombllem4  25545  dyadss  25553  dyaddisjlem  25554  dyadmaxlem  25556  opnmbllem  25560  mbfi1fseqlem1  25674  mbfi1fseqlem3  25676  mbfi1fseqlem4  25677  mbfi1fseqlem5  25678  mbfi1fseqlem6  25679  aaliou3lem9  26316  taylthlem2  26340  taylthlem2OLD  26341  advlogexp  26622  leibpilem2  26909  leibpi  26910  leibpisum  26911  birthdaylem3  26921  amgmlem  26958  fsumharmonic  26980  lgamgulmlem2  26998  lgamgulmlem3  26999  lgamgulmlem4  27000  lgamgulmlem6  27002  regamcl  27029  basellem4  27052  dvdsflf1o  27155  fsumfldivdiaglem  27157  logexprlim  27194  pcbcctr  27245  bcp1ctr  27248  bposlem2  27254  bposlem6  27258  lgseisenlem4  27347  lgseisen  27348  lgsquadlem1  27349  lgsquadlem2  27350  chebbnd1lem3  27440  chtppilimlem1  27442  vmadivsum  27451  vmadivsumb  27452  rplogsumlem1  27453  rplogsumlem2  27454  rpvmasumlem  27456  dchrisumlem1  27458  dchrvmasumlem1  27464  dchrvmasum2lem  27465  dchrvmasum2if  27466  dchrvmasumlem2  27467  dchrvmasumlem3  27468  dchrvmasumiflem1  27470  dchrvmasumiflem2  27471  rpvmasum2  27481  dchrisum0lem1  27485  dchrmusumlem  27491  dirith2  27497  mudivsum  27499  mulogsumlem  27500  mulogsum  27501  mulog2sumlem1  27503  mulog2sumlem2  27504  mulog2sumlem3  27505  vmalogdivsum2  27507  vmalogdivsum  27508  2vmadivsumlem  27509  selberglem1  27514  selberglem2  27515  selbergb  27518  selberg2b  27521  logdivbnd  27525  selberg3lem1  27526  selberg3  27528  selberg4lem1  27529  selberg4  27530  pntrsumo1  27534  pntrsumbnd  27535  pntrsumbnd2  27536  selbergr  27537  selberg3r  27538  selberg4r  27539  pntsf  27542  pntsval2  27545  pntrlog2bndlem2  27547  pntrlog2bndlem4  27549  pntrlog2bndlem5  27550  pntrlog2bndlem6  27552  pntpbnd1  27555  pntpbnd2  27556  pntibndlem2  27560  pntlemn  27569  pntlemj  27572  pntlemk  27575  pntlemo  27576  ostth2lem2  27603  subfacval2  35360  subfaclim  35361  cvmliftlem6  35463  cvmliftlem7  35464  cvmliftlem8  35465  cvmliftlem9  35466  cvmliftlem10  35467  faclimlem1  35916  faclimlem2  35917  faclim2  35921  poimirlem29  37819  opnmbllem0  37826  pellexlem2  43109  hashnzfz2  44599  hashnzfzclim  44600  stoweidlem11  46292  stoweidlem26  46307  stoweidlem42  46323  stoweidlem59  46340  etransclem23  46538