Theorem nndivred 11692

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 11679	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℝcr 10536   / cdiv 11297  ℕcn 11638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639

This theorem is referenced by:  bcp1nk  13678  reeftcl  15428  efcllem  15431  eftlub  15462  eirrlem  15557  dvdsmod  15678  bitsfzo  15784  bitsmod  15785  bitscmp  15787  bitsuz  15823  bezoutlem3  15889  hashdvds  16112  prmdiv  16122  odzdvds  16132  pcfaclem  16234  pcfac  16235  pcbc  16236  pockthlem  16241  prmreclem4  16255  odmod  18674  zringlpirlem3  20633  prmirredlem  20640  lebnumii  23570  ovoliunlem1  24103  uniioombllem4  24187  dyadss  24195  dyaddisjlem  24196  dyadmaxlem  24198  opnmbllem  24202  mbfi1fseqlem1  24316  mbfi1fseqlem3  24318  mbfi1fseqlem4  24319  mbfi1fseqlem5  24320  mbfi1fseqlem6  24321  aaliou3lem9  24939  taylthlem2  24962  advlogexp  25238  leibpilem2  25519  leibpi  25520  leibpisum  25521  birthdaylem3  25531  amgmlem  25567  fsumharmonic  25589  lgamgulmlem2  25607  lgamgulmlem3  25608  lgamgulmlem4  25609  lgamgulmlem6  25611  regamcl  25638  basellem4  25661  dvdsflf1o  25764  fsumfldivdiaglem  25766  logexprlim  25801  pcbcctr  25852  bcp1ctr  25855  bposlem2  25861  bposlem6  25865  lgseisenlem4  25954  lgseisen  25955  lgsquadlem1  25956  lgsquadlem2  25957  chebbnd1lem3  26047  chtppilimlem1  26049  vmadivsum  26058  vmadivsumb  26059  rplogsumlem1  26060  rplogsumlem2  26061  rpvmasumlem  26063  dchrisumlem1  26065  dchrvmasumlem1  26071  dchrvmasum2lem  26072  dchrvmasum2if  26073  dchrvmasumlem2  26074  dchrvmasumlem3  26075  dchrvmasumiflem1  26077  dchrvmasumiflem2  26078  rpvmasum2  26088  dchrisum0lem1  26092  dchrmusumlem  26098  dirith2  26104  mudivsum  26106  mulogsumlem  26107  mulogsum  26108  mulog2sumlem1  26110  mulog2sumlem2  26111  mulog2sumlem3  26112  vmalogdivsum2  26114  vmalogdivsum  26115  2vmadivsumlem  26116  selberglem1  26121  selberglem2  26122  selbergb  26125  selberg2b  26128  logdivbnd  26132  selberg3lem1  26133  selberg3  26135  selberg4lem1  26136  selberg4  26137  pntrsumo1  26141  pntrsumbnd  26142  pntrsumbnd2  26143  selbergr  26144  selberg3r  26145  selberg4r  26146  pntsf  26149  pntsval2  26152  pntrlog2bndlem2  26154  pntrlog2bndlem4  26156  pntrlog2bndlem5  26157  pntrlog2bndlem6  26159  pntpbnd1  26162  pntpbnd2  26163  pntibndlem2  26167  pntlemn  26176  pntlemj  26179  pntlemk  26182  pntlemo  26183  ostth2lem2  26210  subfacval2  32434  subfaclim  32435  cvmliftlem6  32537  cvmliftlem7  32538  cvmliftlem8  32539  cvmliftlem9  32540  cvmliftlem10  32541  faclimlem1  32975  faclimlem2  32976  faclim2  32980  poimirlem29  34936  opnmbllem0  34943  pellexlem2  39476  hashnzfz2  40702  hashnzfzclim  40703  stoweidlem11  42345  stoweidlem26  42360  stoweidlem42  42376  stoweidlem59  42393  etransclem23  42591