Theorem nndivred 12179

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12166	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℝcr 11005   / cdiv 11774  ℕcn 12125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126

This theorem is referenced by:  bcp1nk  14224  reeftcl  15981  efcllem  15984  eftlub  16018  eirrlem  16113  dvdsmod  16240  bitsfzo  16346  bitsmod  16347  bitscmp  16349  bitsuz  16385  bezoutlem3  16452  hashdvds  16686  prmdiv  16696  odzdvds  16707  pcfaclem  16810  pcfac  16811  pcbc  16812  pockthlem  16817  prmreclem4  16831  odmod  19458  zringlpirlem3  21401  prmirredlem  21409  lebnumii  24892  ovoliunlem1  25430  uniioombllem4  25514  dyadss  25522  dyaddisjlem  25523  dyadmaxlem  25525  opnmbllem  25529  mbfi1fseqlem1  25643  mbfi1fseqlem3  25645  mbfi1fseqlem4  25646  mbfi1fseqlem5  25647  mbfi1fseqlem6  25648  aaliou3lem9  26285  taylthlem2  26309  taylthlem2OLD  26310  advlogexp  26591  leibpilem2  26878  leibpi  26879  leibpisum  26880  birthdaylem3  26890  amgmlem  26927  fsumharmonic  26949  lgamgulmlem2  26967  lgamgulmlem3  26968  lgamgulmlem4  26969  lgamgulmlem6  26971  regamcl  26998  basellem4  27021  dvdsflf1o  27124  fsumfldivdiaglem  27126  logexprlim  27163  pcbcctr  27214  bcp1ctr  27217  bposlem2  27223  bposlem6  27227  lgseisenlem4  27316  lgseisen  27317  lgsquadlem1  27318  lgsquadlem2  27319  chebbnd1lem3  27409  chtppilimlem1  27411  vmadivsum  27420  vmadivsumb  27421  rplogsumlem1  27422  rplogsumlem2  27423  rpvmasumlem  27425  dchrisumlem1  27427  dchrvmasumlem1  27433  dchrvmasum2lem  27434  dchrvmasum2if  27435  dchrvmasumlem2  27436  dchrvmasumlem3  27437  dchrvmasumiflem1  27439  dchrvmasumiflem2  27440  rpvmasum2  27450  dchrisum0lem1  27454  dchrmusumlem  27460  dirith2  27466  mudivsum  27468  mulogsumlem  27469  mulogsum  27470  mulog2sumlem1  27472  mulog2sumlem2  27473  mulog2sumlem3  27474  vmalogdivsum2  27476  vmalogdivsum  27477  2vmadivsumlem  27478  selberglem1  27483  selberglem2  27484  selbergb  27487  selberg2b  27490  logdivbnd  27494  selberg3lem1  27495  selberg3  27497  selberg4lem1  27498  selberg4  27499  pntrsumo1  27503  pntrsumbnd  27504  pntrsumbnd2  27505  selbergr  27506  selberg3r  27507  selberg4r  27508  pntsf  27511  pntsval2  27514  pntrlog2bndlem2  27516  pntrlog2bndlem4  27518  pntrlog2bndlem5  27519  pntrlog2bndlem6  27521  pntpbnd1  27524  pntpbnd2  27525  pntibndlem2  27529  pntlemn  27538  pntlemj  27541  pntlemk  27544  pntlemo  27545  ostth2lem2  27572  subfacval2  35231  subfaclim  35232  cvmliftlem6  35334  cvmliftlem7  35335  cvmliftlem8  35336  cvmliftlem9  35337  cvmliftlem10  35338  faclimlem1  35787  faclimlem2  35788  faclim2  35792  poimirlem29  37688  opnmbllem0  37695  pellexlem2  42922  hashnzfz2  44413  hashnzfzclim  44414  stoweidlem11  46108  stoweidlem26  46123  stoweidlem42  46139  stoweidlem59  46156  etransclem23  46354