Theorem nndivred 12262

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12249	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7405  ℝcr 11105   / cdiv 11867  ℕcn 12208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209

This theorem is referenced by:  bcp1nk  14273  reeftcl  16014  efcllem  16017  eftlub  16048  eirrlem  16143  dvdsmod  16268  bitsfzo  16372  bitsmod  16373  bitscmp  16375  bitsuz  16411  bezoutlem3  16479  hashdvds  16704  prmdiv  16714  odzdvds  16724  pcfaclem  16827  pcfac  16828  pcbc  16829  pockthlem  16834  prmreclem4  16848  odmod  19408  zringlpirlem3  21025  prmirredlem  21033  lebnumii  24473  ovoliunlem1  25010  uniioombllem4  25094  dyadss  25102  dyaddisjlem  25103  dyadmaxlem  25105  opnmbllem  25109  mbfi1fseqlem1  25224  mbfi1fseqlem3  25226  mbfi1fseqlem4  25227  mbfi1fseqlem5  25228  mbfi1fseqlem6  25229  aaliou3lem9  25854  taylthlem2  25877  advlogexp  26154  leibpilem2  26435  leibpi  26436  leibpisum  26437  birthdaylem3  26447  amgmlem  26483  fsumharmonic  26505  lgamgulmlem2  26523  lgamgulmlem3  26524  lgamgulmlem4  26525  lgamgulmlem6  26527  regamcl  26554  basellem4  26577  dvdsflf1o  26680  fsumfldivdiaglem  26682  logexprlim  26717  pcbcctr  26768  bcp1ctr  26771  bposlem2  26777  bposlem6  26781  lgseisenlem4  26870  lgseisen  26871  lgsquadlem1  26872  lgsquadlem2  26873  chebbnd1lem3  26963  chtppilimlem1  26965  vmadivsum  26974  vmadivsumb  26975  rplogsumlem1  26976  rplogsumlem2  26977  rpvmasumlem  26979  dchrisumlem1  26981  dchrvmasumlem1  26987  dchrvmasum2lem  26988  dchrvmasum2if  26989  dchrvmasumlem2  26990  dchrvmasumlem3  26991  dchrvmasumiflem1  26993  dchrvmasumiflem2  26994  rpvmasum2  27004  dchrisum0lem1  27008  dchrmusumlem  27014  dirith2  27020  mudivsum  27022  mulogsumlem  27023  mulogsum  27024  mulog2sumlem1  27026  mulog2sumlem2  27027  mulog2sumlem3  27028  vmalogdivsum2  27030  vmalogdivsum  27031  2vmadivsumlem  27032  selberglem1  27037  selberglem2  27038  selbergb  27041  selberg2b  27044  logdivbnd  27048  selberg3lem1  27049  selberg3  27051  selberg4lem1  27052  selberg4  27053  pntrsumo1  27057  pntrsumbnd  27058  pntrsumbnd2  27059  selbergr  27060  selberg3r  27061  selberg4r  27062  pntsf  27065  pntsval2  27068  pntrlog2bndlem2  27070  pntrlog2bndlem4  27072  pntrlog2bndlem5  27073  pntrlog2bndlem6  27075  pntpbnd1  27078  pntpbnd2  27079  pntibndlem2  27083  pntlemn  27092  pntlemj  27095  pntlemk  27098  pntlemo  27099  ostth2lem2  27126  subfacval2  34166  subfaclim  34167  cvmliftlem6  34269  cvmliftlem7  34270  cvmliftlem8  34271  cvmliftlem9  34272  cvmliftlem10  34273  faclimlem1  34701  faclimlem2  34702  faclim2  34706  poimirlem29  36505  opnmbllem0  36512  pellexlem2  41553  hashnzfz2  43065  hashnzfzclim  43066  stoweidlem11  44713  stoweidlem26  44728  stoweidlem42  44744  stoweidlem59  44761  etransclem23  44959