Theorem nndivred 12392

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12379	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℝcr 11199   / cdiv 11973  ℕcn 12335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336

This theorem is used by:  bcp1nk  14461  reeftcl  16240  efcllem  16243  eftlub  16277  eirrlem  16372  dvdsmod  16499  bitsfzo  16605  bitsmod  16606  bitscmp  16608  bitsuz  16644  bezoutlem3  16714  hashdvds  16952  prmdiv  16962  odzdvds  16973  pcfaclem  17076  pcfac  17077  pcbc  17078  pockthlem  17083  prmreclem4  17097  odmod  19760  zringlpirlem3  21770  prmirredlem  21778  lebnumii  25287  ovoliunlem1  25823  uniioombllem4  25907  dyadss  25915  dyaddisjlem  25916  dyadmaxlem  25918  opnmbllem  25922  mbfi1fseqlem1  26036  mbfi1fseqlem3  26038  mbfi1fseqlem4  26039  mbfi1fseqlem5  26040  mbfi1fseqlem6  26041  aaliou3lem9  26677  taylthlem2  26701  advlogexp  26983  leibpilem2  27269  leibpi  27270  leibpisum  27271  birthdaylem3  27281  amgmlem  27317  fsumharmonic  27339  lgamgulmlem2  27357  lgamgulmlem3  27358  lgamgulmlem4  27359  lgamgulmlem6  27361  regamcl  27388  basellem4  27411  dvdsflf1o  27514  fsumfldivdiaglem  27516  logexprlim  27552  pcbcctr  27603  bcp1ctr  27606  bposlem2  27612  bposlem6  27616  lgseisenlem4  27705  lgseisen  27706  lgsquadlem1  27707  lgsquadlem2  27708  chebbnd1lem3  27798  chtppilimlem1  27800  vmadivsum  27809  vmadivsumb  27810  rplogsumlem1  27811  rplogsumlem2  27812  rpvmasumlem  27814  dchrisumlem1  27816  dchrvmasumlem1  27822  dchrvmasum2lem  27823  dchrvmasum2if  27824  dchrvmasumlem2  27825  dchrvmasumlem3  27826  dchrvmasumiflem1  27828  dchrvmasumiflem2  27829  rpvmasum2  27839  dchrisum0lem1  27843  dchrmusumlem  27849  dirith2  27855  mudivsum  27857  mulogsumlem  27858  mulogsum  27859  mulog2sumlem1  27861  mulog2sumlem2  27862  mulog2sumlem3  27863  vmalogdivsum2  27865  vmalogdivsum  27866  2vmadivsumlem  27867  selberglem1  27872  selberglem2  27873  selbergb  27876  selberg2b  27879  logdivbnd  27883  selberg3lem1  27884  selberg3  27886  selberg4lem1  27887  selberg4  27888  pntrsumo1  27892  pntrsumbnd  27893  pntrsumbnd2  27894  selbergr  27895  selberg3r  27896  selberg4r  27897  pntsf  27900  pntsval2  27903  pntrlog2bndlem2  27905  pntrlog2bndlem4  27907  pntrlog2bndlem5  27908  pntrlog2bndlem6  27910  pntpbnd1  27913  pntpbnd2  27914  pntibndlem2  27918  pntlemn  27927  pntlemj  27930  pntlemk  27933  pntlemo  27934  ostth2lem2  27961  subfacval2  35952  subfaclim  35953  cvmliftlem6  36055  cvmliftlem7  36056  cvmliftlem8  36057  cvmliftlem9  36058  cvmliftlem10  36059  faclimlem1  36508  faclimlem2  36509  faclim2  36513  poimirlem29  38568  opnmbllem0  38575  pellexlem2  43837  hashnzfz2  45305  hashnzfzclim  45306  stoweidlem11  47021  stoweidlem26  47036  stoweidlem42  47052  stoweidlem59  47069  etransclem23  47267