Theorem nndivred 12036

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nndivred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nndivred.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nndivred	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndivred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nndivred.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nndivre 12023	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7284  ℝcr 10879   / cdiv 11641  ℕcn 11982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983

This theorem is referenced by:  bcp1nk  14040  reeftcl  15793  efcllem  15796  eftlub  15827  eirrlem  15922  dvdsmod  16047  bitsfzo  16151  bitsmod  16152  bitscmp  16154  bitsuz  16190  bezoutlem3  16258  hashdvds  16485  prmdiv  16495  odzdvds  16505  pcfaclem  16608  pcfac  16609  pcbc  16610  pockthlem  16615  prmreclem4  16629  odmod  19163  zringlpirlem3  20695  prmirredlem  20703  lebnumii  24138  ovoliunlem1  24675  uniioombllem4  24759  dyadss  24767  dyaddisjlem  24768  dyadmaxlem  24770  opnmbllem  24774  mbfi1fseqlem1  24889  mbfi1fseqlem3  24891  mbfi1fseqlem4  24892  mbfi1fseqlem5  24893  mbfi1fseqlem6  24894  aaliou3lem9  25519  taylthlem2  25542  advlogexp  25819  leibpilem2  26100  leibpi  26101  leibpisum  26102  birthdaylem3  26112  amgmlem  26148  fsumharmonic  26170  lgamgulmlem2  26188  lgamgulmlem3  26189  lgamgulmlem4  26190  lgamgulmlem6  26192  regamcl  26219  basellem4  26242  dvdsflf1o  26345  fsumfldivdiaglem  26347  logexprlim  26382  pcbcctr  26433  bcp1ctr  26436  bposlem2  26442  bposlem6  26446  lgseisenlem4  26535  lgseisen  26536  lgsquadlem1  26537  lgsquadlem2  26538  chebbnd1lem3  26628  chtppilimlem1  26630  vmadivsum  26639  vmadivsumb  26640  rplogsumlem1  26641  rplogsumlem2  26642  rpvmasumlem  26644  dchrisumlem1  26646  dchrvmasumlem1  26652  dchrvmasum2lem  26653  dchrvmasum2if  26654  dchrvmasumlem2  26655  dchrvmasumlem3  26656  dchrvmasumiflem1  26658  dchrvmasumiflem2  26659  rpvmasum2  26669  dchrisum0lem1  26673  dchrmusumlem  26679  dirith2  26685  mudivsum  26687  mulogsumlem  26688  mulogsum  26689  mulog2sumlem1  26691  mulog2sumlem2  26692  mulog2sumlem3  26693  vmalogdivsum2  26695  vmalogdivsum  26696  2vmadivsumlem  26697  selberglem1  26702  selberglem2  26703  selbergb  26706  selberg2b  26709  logdivbnd  26713  selberg3lem1  26714  selberg3  26716  selberg4lem1  26717  selberg4  26718  pntrsumo1  26722  pntrsumbnd  26723  pntrsumbnd2  26724  selbergr  26725  selberg3r  26726  selberg4r  26727  pntsf  26730  pntsval2  26733  pntrlog2bndlem2  26735  pntrlog2bndlem4  26737  pntrlog2bndlem5  26738  pntrlog2bndlem6  26740  pntpbnd1  26743  pntpbnd2  26744  pntibndlem2  26748  pntlemn  26757  pntlemj  26760  pntlemk  26763  pntlemo  26764  ostth2lem2  26791  subfacval2  33158  subfaclim  33159  cvmliftlem6  33261  cvmliftlem7  33262  cvmliftlem8  33263  cvmliftlem9  33264  cvmliftlem10  33265  faclimlem1  33718  faclimlem2  33719  faclim2  33723  poimirlem29  35815  opnmbllem0  35822  pellexlem2  40659  hashnzfz2  41946  hashnzfzclim  41947  stoweidlem11  43559  stoweidlem26  43574  stoweidlem42  43590  stoweidlem59  43607  etransclem23  43805