Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhvbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhvbase 39553
Description: The vectors (vector base set) of the constructed full vector space H are all translations (for a fiducial co-atom π‘Š). (Contributed by NM, 2-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhvbase.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvhvbase.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhvbase.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhvbase.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhvbase.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dvhvbase ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑉 = (𝑇 Γ— 𝐸))

Proof of Theorem dvhvbase
Dummy variables 𝑓 𝑔 β„Ž 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvhvbase.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dvhvbase.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 dvhvbase.e . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 eqid 2737 . . . 4 ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 dvhvbase.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
61, 2, 3, 4, 5dvhset 39547 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘ˆ = ({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 Γ— 𝐸)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸), 𝑔 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ↦ ⟨((1st β€˜π‘“) ∘ (1st β€˜π‘”)), (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ (((2nd β€˜π‘“)β€˜β„Ž) ∘ ((2nd β€˜π‘”)β€˜β„Ž)))⟩)⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑓 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ↦ ⟨(π‘ β€˜(1st β€˜π‘“)), (𝑠 ∘ (2nd β€˜π‘“))⟩)⟩}))
76fveq2d 6847 . 2 ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 Γ— 𝐸)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸), 𝑔 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ↦ ⟨((1st β€˜π‘“) ∘ (1st β€˜π‘”)), (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ (((2nd β€˜π‘“)β€˜β„Ž) ∘ ((2nd β€˜π‘”)β€˜β„Ž)))⟩)⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑓 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ↦ ⟨(π‘ β€˜(1st β€˜π‘“)), (𝑠 ∘ (2nd β€˜π‘“))⟩)⟩})))
8 dvhvbase.v . 2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
92fvexi 6857 . . . 4 𝑇 ∈ V
103fvexi 6857 . . . 4 𝐸 ∈ V
119, 10xpex 7688 . . 3 (𝑇 Γ— 𝐸) ∈ V
12 eqid 2737 . . . 4 ({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 Γ— 𝐸)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸), 𝑔 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ↦ ⟨((1st β€˜π‘“) ∘ (1st β€˜π‘”)), (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ (((2nd β€˜π‘“)β€˜β„Ž) ∘ ((2nd β€˜π‘”)β€˜β„Ž)))⟩)⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑓 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ↦ ⟨(π‘ β€˜(1st β€˜π‘“)), (𝑠 ∘ (2nd β€˜π‘“))⟩)⟩}) = ({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 Γ— 𝐸)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸), 𝑔 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ↦ ⟨((1st β€˜π‘“) ∘ (1st β€˜π‘”)), (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ (((2nd β€˜π‘“)β€˜β„Ž) ∘ ((2nd β€˜π‘”)β€˜β„Ž)))⟩)⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑓 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ↦ ⟨(π‘ β€˜(1st β€˜π‘“)), (𝑠 ∘ (2nd β€˜π‘“))⟩)⟩})
1312lmodbase 17208 . . 3 ((𝑇 Γ— 𝐸) ∈ V β†’ (𝑇 Γ— 𝐸) = (Baseβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 Γ— 𝐸)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸), 𝑔 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ↦ ⟨((1st β€˜π‘“) ∘ (1st β€˜π‘”)), (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ (((2nd β€˜π‘“)β€˜β„Ž) ∘ ((2nd β€˜π‘”)β€˜β„Ž)))⟩)⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑓 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ↦ ⟨(π‘ β€˜(1st β€˜π‘“)), (𝑠 ∘ (2nd β€˜π‘“))⟩)⟩})))
1411, 13ax-mp 5 . 2 (𝑇 Γ— 𝐸) = (Baseβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑇 Γ— 𝐸)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸), 𝑔 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ↦ ⟨((1st β€˜π‘“) ∘ (1st β€˜π‘”)), (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ (((2nd β€˜π‘“)β€˜β„Ž) ∘ ((2nd β€˜π‘”)β€˜β„Ž)))⟩)⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑓 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ↦ ⟨(π‘ β€˜(1st β€˜π‘“)), (𝑠 ∘ (2nd β€˜π‘“))⟩)⟩}))
157, 8, 143eqtr4g 2802 1 ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑉 = (𝑇 Γ— 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446   βˆͺ cun 3909  {csn 4587  {ctp 4591  βŸ¨cop 4593   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497   ∈ cmpo 7360  1st c1st 7920  2nd c2nd 7921  ndxcnx 17066  Basecbs 17084  +gcplusg 17134  Scalarcsca 17137   ·𝑠 cvsca 17138  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  TEndoctendo 39218  EDRingcedring 39219  DVecHcdvh 39544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-dvech 39545
This theorem is referenced by:  dvhelvbasei  39554  dvhgrp  39573  dvhlveclem  39574  dvhopellsm  39583  dibss  39635  diblss  39636  dicssdvh  39652  dicelval1stN  39654  dicelval2nd  39655  dicvaddcl  39656  dicvscacl  39657  diclss  39659  dihssxp  39718  dihvalrel  39745  dih1  39752  dih1dimatlem  39795
  Copyright terms: Public domain W3C validator