Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocnrect Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dya2iocnrect 33579
Description: For any point of an open rectangle in (ℝ Γ— ℝ), there is a closed-below open-above dyadic rational square which contains that point and is included in the rectangle. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑛 ∈ β„€ ↦ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2 𝑅 = (𝑒 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
dya2iocnrect.1 𝐡 = ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓))
Assertion
Ref Expression
dya2iocnrect ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛   π‘₯,𝐼   𝑣,𝑒,𝐼,π‘₯   𝑒,𝑏,𝑓,𝐴   𝑅,𝑏,𝑒,𝑓   π‘₯,𝑏,𝑋,𝑒,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑛)   𝐡(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑒,𝑓,𝑛,𝑏)   𝑅(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑛)   𝐼(𝑒,𝑓,𝑛,𝑏)   𝐽(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑒,𝑓,𝑛,𝑏)   𝑋(𝑣,𝑒,𝑛)

Proof of Theorem dya2iocnrect
Dummy variables 𝑠 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dya2iocnrect.1 . . . . . 6 𝐡 = ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓))
21eleq2i 2824 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝐡 ↔ 𝐴 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)))
3 eqid 2731 . . . . . 6 (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) = (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓))
4 vex 3477 . . . . . . 7 𝑒 ∈ V
5 vex 3477 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
64, 5xpex 7744 . . . . . 6 (𝑒 Γ— 𝑓) ∈ V
73, 6elrnmpo 7548 . . . . 5 (𝐴 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)βˆƒπ‘“ ∈ ran (,)𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓))
82, 7sylbb 218 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)βˆƒπ‘“ ∈ ran (,)𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓))
983ad2ant2 1133 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)βˆƒπ‘“ ∈ ran (,)𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓))
10 simp1 1135 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ))
11 simp3 1137 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
129, 10, 11jca32 515 . 2 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)βˆƒπ‘“ ∈ ran (,)𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)))
13 r19.41vv 3223 . . 3 (βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)βˆƒπ‘“ ∈ ran (,)(𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) ↔ (βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)βˆƒπ‘“ ∈ ran (,)𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)))
1413biimpri 227 . 2 ((βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)βˆƒπ‘“ ∈ ran (,)𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)βˆƒπ‘“ ∈ ran (,)(𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)))
15 simprl 768 . . . . . 6 ((𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ))
16 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓))
17 simprr 770 . . . . . . 7 ((𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
1817, 16eleqtrd 2834 . . . . . 6 ((𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓))
1915, 16, 183jca 1127 . . . . 5 ((𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)))
20 simpr 484 . . . . . 6 (((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓))) β†’ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)))
21 xp1st 8011 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (1st β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
22213ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) β†’ (1st β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
2322adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓))) β†’ (1st β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
24 simpll 764 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓))) β†’ 𝑒 ∈ ran (,))
25 xp1st 8011 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓) β†’ (1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑒)
26253ad2ant3 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) β†’ (1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑒)
2726adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓))) β†’ (1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑒)
28 sxbrsiga.0 . . . . . . . . 9 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
29 dya2ioc.1 . . . . . . . . 9 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑛 ∈ β„€ ↦ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
3028, 29dya2icoseg2 33576 . . . . . . . 8 (((1st β€˜π‘‹) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ran (,) ∧ (1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ran 𝐼((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒))
3123, 24, 27, 30syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ran 𝐼((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒))
32 xp2nd 8012 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (2nd β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
33323ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) β†’ (2nd β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
3433adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓))) β†’ (2nd β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
35 simplr 766 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓))) β†’ 𝑓 ∈ ran (,))
36 xp2nd 8012 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓) β†’ (2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑓)
37363ad2ant3 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) β†’ (2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑓)
3837adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓))) β†’ (2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑓)
3928, 29dya2icoseg2 33576 . . . . . . . 8 (((2nd β€˜π‘‹) ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ran (,) ∧ (2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑓) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ran 𝐼((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓))
4034, 35, 38, 39syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ran 𝐼((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓))
41 reeanv 3225 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘  ∈ ran πΌβˆƒπ‘‘ ∈ ran 𝐼(((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)) ↔ (βˆƒπ‘  ∈ ran 𝐼((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ ran 𝐼((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))
4231, 40, 41sylanbrc 582 . . . . . 6 (((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ran πΌβˆƒπ‘‘ ∈ ran 𝐼(((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))
43 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 Γ— 𝑑) = (𝑠 Γ— 𝑑)
44 xpeq1 5690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = 𝑠 β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) = (𝑠 Γ— 𝑣))
4544eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = 𝑠 β†’ ((𝑠 Γ— 𝑑) = (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ (𝑠 Γ— 𝑑) = (𝑠 Γ— 𝑣)))
46 xpeq2 5697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑑 β†’ (𝑠 Γ— 𝑣) = (𝑠 Γ— 𝑑))
4746eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑑 β†’ ((𝑠 Γ— 𝑑) = (𝑠 Γ— 𝑣) ↔ (𝑠 Γ— 𝑑) = (𝑠 Γ— 𝑑)))
4845, 47rspc2ev 3624 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼 ∧ (𝑠 Γ— 𝑑) = (𝑠 Γ— 𝑑)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΌβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐼(𝑠 Γ— 𝑑) = (𝑒 Γ— 𝑣))
4943, 48mp3an3 1449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΌβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐼(𝑠 Γ— 𝑑) = (𝑒 Γ— 𝑣))
50 dya2ioc.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (𝑒 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
51 vex 3477 . . . . . . . . . . . . 13 𝑒 ∈ V
52 vex 3477 . . . . . . . . . . . . 13 𝑣 ∈ V
5351, 52xpex 7744 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ V
5450, 53elrnmpo 7548 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 Γ— 𝑑) ∈ ran 𝑅 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΌβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐼(𝑠 Γ— 𝑑) = (𝑒 Γ— 𝑣))
5549, 54sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) β†’ (𝑠 Γ— 𝑑) ∈ ran 𝑅)
5655ad2antrl 725 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ (𝑠 Γ— 𝑑) ∈ ran 𝑅)
57 xpss 5692 . . . . . . . . . . 11 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (V Γ— V)
58 simpl1 1190 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ 𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ))
5957, 58sselid 3980 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ 𝑋 ∈ (V Γ— V))
60 simprrl 778 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ ((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒))
6160simpld 494 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ (1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠)
62 simprrr 779 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓))
6362simpld 494 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ (2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑)
64 elxp7 8014 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (𝑠 Γ— 𝑑) ↔ (𝑋 ∈ (V Γ— V) ∧ ((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ (2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑)))
6564biimpri 227 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (V Γ— V) ∧ ((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ (2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑)) β†’ 𝑋 ∈ (𝑠 Γ— 𝑑))
6659, 61, 63, 65syl12anc 834 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ 𝑋 ∈ (𝑠 Γ— 𝑑))
6760simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑒)
6862simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ 𝑑 βŠ† 𝑓)
69 xpss12 5691 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 βŠ† 𝑒 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓) β†’ (𝑠 Γ— 𝑑) βŠ† (𝑒 Γ— 𝑓))
7067, 68, 69syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ (𝑠 Γ— 𝑑) βŠ† (𝑒 Γ— 𝑓))
71 simpl2 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓))
7270, 71sseqtrrd 4023 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ (𝑠 Γ— 𝑑) βŠ† 𝐴)
73 eleq2 2821 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑠 Γ— 𝑑) β†’ (𝑋 ∈ 𝑏 ↔ 𝑋 ∈ (𝑠 Γ— 𝑑)))
74 sseq1 4007 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑠 Γ— 𝑑) β†’ (𝑏 βŠ† 𝐴 ↔ (𝑠 Γ— 𝑑) βŠ† 𝐴))
7573, 74anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝑠 Γ— 𝑑) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) ↔ (𝑋 ∈ (𝑠 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 Γ— 𝑑) βŠ† 𝐴)))
7675rspcev 3612 . . . . . . . . 9 (((𝑠 Γ— 𝑑) ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑋 ∈ (𝑠 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 Γ— 𝑑) βŠ† 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
7756, 66, 72, 76syl12anc 834 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
7877exp32 420 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) β†’ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) β†’ ((((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))))
7978rexlimdvv 3209 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ ran πΌβˆƒπ‘‘ ∈ ran 𝐼(((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴)))
8020, 42, 79sylc 65 . . . . 5 (((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
8119, 80sylan2 592 . . . 4 (((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) ∧ (𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
8281ex 412 . . 3 ((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) β†’ ((𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴)))
8382rexlimivv 3198 . 2 (βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)βˆƒπ‘“ ∈ ran (,)(𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
8412, 14, 833syl 18 1 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948   Γ— cxp 5674  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  1st c1st 7977  2nd c2nd 7978  β„cr 11113  1c1 11115   + caddc 11117   / cdiv 11876  2c2 12272  β„€cz 12563  (,)cioo 13329  [,)cico 13331  β†‘cexp 14032  topGenctg 17388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-refld 21378  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-fcls 23666  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-cfil 25004  df-cmet 25006  df-cms 25084  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-cxp 26303  df-logb 26507
This theorem is referenced by:  dya2iocnei  33580
  Copyright terms: Public domain W3C validator