Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocnrect Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dya2iocnrect 33578
Description: For any point of an open rectangle in (ℝ Γ— ℝ), there is a closed-below open-above dyadic rational square which contains that point and is included in the rectangle. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑛 ∈ β„€ ↦ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2 𝑅 = (𝑒 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
dya2iocnrect.1 𝐡 = ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓))
Assertion
Ref Expression
dya2iocnrect ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛   π‘₯,𝐼   𝑣,𝑒,𝐼,π‘₯   𝑒,𝑏,𝑓,𝐴   𝑅,𝑏,𝑒,𝑓   π‘₯,𝑏,𝑋,𝑒,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑛)   𝐡(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑒,𝑓,𝑛,𝑏)   𝑅(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑛)   𝐼(𝑒,𝑓,𝑛,𝑏)   𝐽(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑒,𝑓,𝑛,𝑏)   𝑋(𝑣,𝑒,𝑛)

Proof of Theorem dya2iocnrect
Dummy variables 𝑠 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dya2iocnrect.1 . . . . . 6 𝐡 = ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓))
21eleq2i 2823 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝐡 ↔ 𝐴 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)))
3 eqid 2730 . . . . . 6 (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) = (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓))
4 vex 3476 . . . . . . 7 𝑒 ∈ V
5 vex 3476 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
64, 5xpex 7742 . . . . . 6 (𝑒 Γ— 𝑓) ∈ V
73, 6elrnmpo 7547 . . . . 5 (𝐴 ∈ ran (𝑒 ∈ ran (,), 𝑓 ∈ ran (,) ↦ (𝑒 Γ— 𝑓)) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)βˆƒπ‘“ ∈ ran (,)𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓))
82, 7sylbb 218 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)βˆƒπ‘“ ∈ ran (,)𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓))
983ad2ant2 1132 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)βˆƒπ‘“ ∈ ran (,)𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓))
10 simp1 1134 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ))
11 simp3 1136 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
129, 10, 11jca32 514 . 2 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)βˆƒπ‘“ ∈ ran (,)𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)))
13 r19.41vv 3222 . . 3 (βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)βˆƒπ‘“ ∈ ran (,)(𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) ↔ (βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)βˆƒπ‘“ ∈ ran (,)𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)))
1413biimpri 227 . 2 ((βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)βˆƒπ‘“ ∈ ran (,)𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)βˆƒπ‘“ ∈ ran (,)(𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)))
15 simprl 767 . . . . . 6 ((𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ))
16 simpl 481 . . . . . 6 ((𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓))
17 simprr 769 . . . . . . 7 ((𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
1817, 16eleqtrd 2833 . . . . . 6 ((𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓))
1915, 16, 183jca 1126 . . . . 5 ((𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)))
20 simpr 483 . . . . . 6 (((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓))) β†’ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)))
21 xp1st 8009 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (1st β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
22213ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) β†’ (1st β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
2322adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓))) β†’ (1st β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
24 simpll 763 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓))) β†’ 𝑒 ∈ ran (,))
25 xp1st 8009 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓) β†’ (1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑒)
26253ad2ant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) β†’ (1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑒)
2726adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓))) β†’ (1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑒)
28 sxbrsiga.0 . . . . . . . . 9 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
29 dya2ioc.1 . . . . . . . . 9 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑛 ∈ β„€ ↦ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
3028, 29dya2icoseg2 33575 . . . . . . . 8 (((1st β€˜π‘‹) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ran (,) ∧ (1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ran 𝐼((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒))
3123, 24, 27, 30syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ran 𝐼((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒))
32 xp2nd 8010 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (2nd β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
33323ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) β†’ (2nd β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
3433adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓))) β†’ (2nd β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
35 simplr 765 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓))) β†’ 𝑓 ∈ ran (,))
36 xp2nd 8010 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓) β†’ (2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑓)
37363ad2ant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) β†’ (2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑓)
3837adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓))) β†’ (2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑓)
3928, 29dya2icoseg2 33575 . . . . . . . 8 (((2nd β€˜π‘‹) ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ran (,) ∧ (2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑓) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ran 𝐼((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓))
4034, 35, 38, 39syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ran 𝐼((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓))
41 reeanv 3224 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘  ∈ ran πΌβˆƒπ‘‘ ∈ ran 𝐼(((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)) ↔ (βˆƒπ‘  ∈ ran 𝐼((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ ran 𝐼((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))
4231, 40, 41sylanbrc 581 . . . . . 6 (((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ran πΌβˆƒπ‘‘ ∈ ran 𝐼(((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))
43 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 Γ— 𝑑) = (𝑠 Γ— 𝑑)
44 xpeq1 5689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = 𝑠 β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) = (𝑠 Γ— 𝑣))
4544eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = 𝑠 β†’ ((𝑠 Γ— 𝑑) = (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ (𝑠 Γ— 𝑑) = (𝑠 Γ— 𝑣)))
46 xpeq2 5696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑑 β†’ (𝑠 Γ— 𝑣) = (𝑠 Γ— 𝑑))
4746eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑑 β†’ ((𝑠 Γ— 𝑑) = (𝑠 Γ— 𝑣) ↔ (𝑠 Γ— 𝑑) = (𝑠 Γ— 𝑑)))
4845, 47rspc2ev 3623 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼 ∧ (𝑠 Γ— 𝑑) = (𝑠 Γ— 𝑑)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΌβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐼(𝑠 Γ— 𝑑) = (𝑒 Γ— 𝑣))
4943, 48mp3an3 1448 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΌβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐼(𝑠 Γ— 𝑑) = (𝑒 Γ— 𝑣))
50 dya2ioc.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (𝑒 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
51 vex 3476 . . . . . . . . . . . . 13 𝑒 ∈ V
52 vex 3476 . . . . . . . . . . . . 13 𝑣 ∈ V
5351, 52xpex 7742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ V
5450, 53elrnmpo 7547 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 Γ— 𝑑) ∈ ran 𝑅 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΌβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐼(𝑠 Γ— 𝑑) = (𝑒 Γ— 𝑣))
5549, 54sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) β†’ (𝑠 Γ— 𝑑) ∈ ran 𝑅)
5655ad2antrl 724 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ (𝑠 Γ— 𝑑) ∈ ran 𝑅)
57 xpss 5691 . . . . . . . . . . 11 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (V Γ— V)
58 simpl1 1189 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ 𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ))
5957, 58sselid 3979 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ 𝑋 ∈ (V Γ— V))
60 simprrl 777 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ ((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒))
6160simpld 493 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ (1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠)
62 simprrr 778 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓))
6362simpld 493 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ (2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑)
64 elxp7 8012 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (𝑠 Γ— 𝑑) ↔ (𝑋 ∈ (V Γ— V) ∧ ((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ (2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑)))
6564biimpri 227 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (V Γ— V) ∧ ((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ (2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑)) β†’ 𝑋 ∈ (𝑠 Γ— 𝑑))
6659, 61, 63, 65syl12anc 833 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ 𝑋 ∈ (𝑠 Γ— 𝑑))
6760simprd 494 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑒)
6862simprd 494 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ 𝑑 βŠ† 𝑓)
69 xpss12 5690 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 βŠ† 𝑒 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓) β†’ (𝑠 Γ— 𝑑) βŠ† (𝑒 Γ— 𝑓))
7067, 68, 69syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ (𝑠 Γ— 𝑑) βŠ† (𝑒 Γ— 𝑓))
71 simpl2 1190 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓))
7270, 71sseqtrrd 4022 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ (𝑠 Γ— 𝑑) βŠ† 𝐴)
73 eleq2 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑠 Γ— 𝑑) β†’ (𝑋 ∈ 𝑏 ↔ 𝑋 ∈ (𝑠 Γ— 𝑑)))
74 sseq1 4006 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑠 Γ— 𝑑) β†’ (𝑏 βŠ† 𝐴 ↔ (𝑠 Γ— 𝑑) βŠ† 𝐴))
7573, 74anbi12d 629 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝑠 Γ— 𝑑) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴) ↔ (𝑋 ∈ (𝑠 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 Γ— 𝑑) βŠ† 𝐴)))
7675rspcev 3611 . . . . . . . . 9 (((𝑠 Γ— 𝑑) ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑋 ∈ (𝑠 Γ— 𝑑) ∧ (𝑠 Γ— 𝑑) βŠ† 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
7756, 66, 72, 76syl12anc 833 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) ∧ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) ∧ (((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
7877exp32 419 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) β†’ ((𝑠 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) β†’ ((((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))))
7978rexlimdvv 3208 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓)) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ ran πΌβˆƒπ‘‘ ∈ ran 𝐼(((1st β€˜π‘‹) ∈ 𝑠 ∧ 𝑠 βŠ† 𝑒) ∧ ((2nd β€˜π‘‹) ∈ 𝑑 ∧ 𝑑 βŠ† 𝑓)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴)))
8020, 42, 79sylc 65 . . . . 5 (((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ 𝑋 ∈ (𝑒 Γ— 𝑓))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
8119, 80sylan2 591 . . . 4 (((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) ∧ (𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
8281ex 411 . . 3 ((𝑒 ∈ ran (,) ∧ 𝑓 ∈ ran (,)) β†’ ((𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴)))
8382rexlimivv 3197 . 2 (βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)βˆƒπ‘“ ∈ ran (,)(𝐴 = (𝑒 Γ— 𝑓) ∧ (𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
8412, 14, 833syl 18 1 ((𝑋 ∈ (ℝ Γ— ℝ) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ran 𝑅(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 βŠ† 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947   Γ— cxp 5673  ran crn 5676  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   / cdiv 11875  2c2 12271  β„€cz 12562  (,)cioo 13328  [,)cico 13330  β†‘cexp 14031  topGenctg 17387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-refld 21377  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-fcls 23665  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-cfil 25003  df-cmet 25005  df-cms 25083  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-cxp 26302  df-logb 26506
This theorem is referenced by:  dya2iocnei  33579
  Copyright terms: Public domain W3C validator