Theorem efgsdm 19526

Description: Elementhood in the domain of 𝑆, the set of sequences of extensions starting at an irreducible word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgsdm	⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑖,𝐹   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑖,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀   𝑖,𝑘,𝑇,𝑚,𝑡,𝑥   𝑦,𝑖,𝑧,𝑊   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑖,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑖   𝑖,𝐼,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑖,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsdm

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6846	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘0) = (𝐹‘0))
2	1	eleq1d 2817	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘0) ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘0) ∈ 𝐷))
3		fveq2 6847	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (♯‘𝑓) = (♯‘𝐹))
4	3	oveq2d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (1..^(♯‘𝑓)) = (1..^(♯‘𝐹)))
5		fveq1 6846	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
6		fveq1 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(𝑖 − 1)))
7	6	fveq2d 6851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
8	7	rneqd 5898	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
9	5, 8	eleq12d 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
10	4, 9	raleqbidv 3317	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
11	2, 10	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1)))) ↔ ((𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))))
12		efgval.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
13		efgval.r	. . . . . 6 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
14		efgval2.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
15		efgval2.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
16		efgred.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
17		efgred.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
18	12, 13, 14, 15, 16, 17	efgsf 19525	. . . . 5 ⊢ 𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊
19	18	fdmi 6685	. . . 4 ⊢ dom 𝑆 = {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}
20		fveq1 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑓 → (𝑡‘0) = (𝑓‘0))
21	20	eleq1d 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑓 → ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ↔ (𝑓‘0) ∈ 𝐷))
22		fveq2 6847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘𝑖))
23		fvoveq1 7385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑡‘(𝑘 − 1)) = (𝑡‘(𝑖 − 1)))
24	23	fveq2d 6851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))) = (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))))
25	24	rneqd 5898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))) = ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))))
26	22, 25	eleq12d 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑡‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1)))))
27	26	cbvralvw 3223	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))))
28		fveq2 6847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑓 → (♯‘𝑡) = (♯‘𝑓))
29	28	oveq2d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑓 → (1..^(♯‘𝑡)) = (1..^(♯‘𝑓)))
30		fveq1 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑓 → (𝑡‘𝑖) = (𝑓‘𝑖))
31		fveq1 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑓 → (𝑡‘(𝑖 − 1)) = (𝑓‘(𝑖 − 1)))
32	31	fveq2d 6851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑓 → (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))))
33	32	rneqd 5898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑓 → ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))))
34	30, 33	eleq12d 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑓 → ((𝑡‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝑓‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1)))))
35	29, 34	raleqbidv 3317	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑓 → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1)))))
36	27, 35	bitrid 282	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑓 → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1)))))
37	21, 36	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑓 → (((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1)))) ↔ ((𝑓‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))))))
38	37	cbvrabv 3415	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} = {𝑓 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑓‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))))}
39	19, 38	eqtri 2759	. . 3 ⊢ dom 𝑆 = {𝑓 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑓‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))))}
40	11, 39	elrab2 3651	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ ((𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))))
41		3anass 1095	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))) ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ ((𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))))
42	40, 41	bitr4i 277	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  {crab 3405   ∖ cdif 3910  ∅c0 4287  {csn 4591  ⟨cop 4597  ⟨cotp 4599  ∪ ciun 4959   ↦ cmpt 5193   I cid 5535   × cxp 5636  dom cdm 5638  ran crn 5639  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  1_oc1o 8410  2_oc2o 8411  0cc0 11060  1c1 11061   − cmin 11394  ...cfz 13434  ..^cfzo 13577  ♯chash 14240  Word cword 14414   splice csplice 14649  ⟨“cs2 14742   ~_FG cefg 19502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-hash 14241  df-word 14415

This theorem is referenced by:  efgsdmi  19528  efgsrel  19530  efgs1  19531  efgs1b  19532  efgsp1  19533  efgsres  19534  efgsfo  19535  efgredlema  19536  efgredlemf  19537  efgredlemd  19540  efgredlemc  19541  efgredlem  19543  efgrelexlemb  19546  efgredeu  19548  efgred2  19549