MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgsdm 19598
Description: Elementhood in the domain of 𝑆, the set of sequences of extensions starting at an irreducible word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
efgval.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
efgred.d 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
efgred.s 𝑆 = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
efgsdm (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))(πΉβ€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1)))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑖,𝐹   𝑑,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧   𝑖,π‘š,𝑛,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑀   𝑖,π‘˜,𝑇,π‘š,𝑑,π‘₯   𝑦,𝑖,𝑧,π‘Š   π‘˜,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧,π‘Š,π‘š,𝑑,π‘₯   ∼ ,𝑖,π‘š,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑆,𝑖   𝑖,𝐼,π‘š,𝑛,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐷,𝑖,π‘š,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   ∼ (𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐼(π‘˜)   𝑀(𝑦,𝑧,π‘˜)

Proof of Theorem efgsdm
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6891 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘“β€˜0) = (πΉβ€˜0))
21eleq1d 2819 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((π‘“β€˜0) ∈ 𝐷 ↔ (πΉβ€˜0) ∈ 𝐷))
3 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (β™―β€˜π‘“) = (β™―β€˜πΉ))
43oveq2d 7425 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ (1..^(β™―β€˜π‘“)) = (1..^(β™―β€˜πΉ)))
5 fveq1 6891 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘“β€˜π‘–) = (πΉβ€˜π‘–))
6 fveq1 6891 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘“β€˜(𝑖 βˆ’ 1)) = (πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1)))
76fveq2d 6896 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘‡β€˜(π‘“β€˜(𝑖 βˆ’ 1))) = (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1))))
87rneqd 5938 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ ran (π‘‡β€˜(π‘“β€˜(𝑖 βˆ’ 1))) = ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1))))
95, 8eleq12d 2828 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((π‘“β€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘“β€˜(𝑖 βˆ’ 1))) ↔ (πΉβ€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1)))))
104, 9raleqbidv 3343 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))(π‘“β€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘“β€˜(𝑖 βˆ’ 1))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))(πΉβ€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1)))))
112, 10anbi12d 632 . . 3 (𝑓 = 𝐹 β†’ (((π‘“β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))(π‘“β€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘“β€˜(𝑖 βˆ’ 1)))) ↔ ((πΉβ€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))(πΉβ€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1))))))
12 efgval.w . . . . . 6 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
13 efgval.r . . . . . 6 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
14 efgval2.m . . . . . 6 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
15 efgval2.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
16 efgred.d . . . . . 6 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
17 efgred.s . . . . . 6 𝑆 = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
1812, 13, 14, 15, 16, 17efgsf 19597 . . . . 5 𝑆:{𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))}βŸΆπ‘Š
1918fdmi 6730 . . . 4 dom 𝑆 = {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))}
20 fveq1 6891 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑓 β†’ (π‘‘β€˜0) = (π‘“β€˜0))
2120eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑓 β†’ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ↔ (π‘“β€˜0) ∈ 𝐷))
22 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘‘β€˜π‘˜) = (π‘‘β€˜π‘–))
23 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)) = (π‘‘β€˜(𝑖 βˆ’ 1)))
2423fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(𝑖 βˆ’ 1))))
2524rneqd 5938 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) = ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(𝑖 βˆ’ 1))))
2622, 25eleq12d 2828 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ↔ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(𝑖 βˆ’ 1)))))
2726cbvralvw 3235 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(𝑖 βˆ’ 1))))
28 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑓 β†’ (β™―β€˜π‘‘) = (β™―β€˜π‘“))
2928oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑓 β†’ (1..^(β™―β€˜π‘‘)) = (1..^(β™―β€˜π‘“)))
30 fveq1 6891 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑓 β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = (π‘“β€˜π‘–))
31 fveq1 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑓 β†’ (π‘‘β€˜(𝑖 βˆ’ 1)) = (π‘“β€˜(𝑖 βˆ’ 1)))
3231fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑓 β†’ (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(𝑖 βˆ’ 1))) = (π‘‡β€˜(π‘“β€˜(𝑖 βˆ’ 1))))
3332rneqd 5938 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑓 β†’ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(𝑖 βˆ’ 1))) = ran (π‘‡β€˜(π‘“β€˜(𝑖 βˆ’ 1))))
3430, 33eleq12d 2828 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑓 β†’ ((π‘‘β€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(𝑖 βˆ’ 1))) ↔ (π‘“β€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘“β€˜(𝑖 βˆ’ 1)))))
3529, 34raleqbidv 3343 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑓 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(𝑖 βˆ’ 1))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))(π‘“β€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘“β€˜(𝑖 βˆ’ 1)))))
3627, 35bitrid 283 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑓 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))(π‘“β€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘“β€˜(𝑖 βˆ’ 1)))))
3721, 36anbi12d 632 . . . . 5 (𝑑 = 𝑓 β†’ (((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1)))) ↔ ((π‘“β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))(π‘“β€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘“β€˜(𝑖 βˆ’ 1))))))
3837cbvrabv 3443 . . . 4 {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} = {𝑓 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘“β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))(π‘“β€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘“β€˜(𝑖 βˆ’ 1))))}
3919, 38eqtri 2761 . . 3 dom 𝑆 = {𝑓 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘“β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜π‘“))(π‘“β€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘“β€˜(𝑖 βˆ’ 1))))}
4011, 39elrab2 3687 . 2 (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ ((πΉβ€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))(πΉβ€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1))))))
41 3anass 1096 . 2 ((𝐹 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))(πΉβ€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1)))) ↔ (𝐹 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ ((πΉβ€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))(πΉβ€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1))))))
4240, 41bitr4i 278 1 (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ (πΉβ€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘– ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))(πΉβ€˜π‘–) ∈ ran (π‘‡β€˜(πΉβ€˜(𝑖 βˆ’ 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433   βˆ– cdif 3946  βˆ…c0 4323  {csn 4629  βŸ¨cop 4635  βŸ¨cotp 4637  βˆͺ ciun 4998   ↦ cmpt 5232   I cid 5574   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  1oc1o 8459  2oc2o 8460  0cc0 11110  1c1 11111   βˆ’ cmin 11444  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  β™―chash 14290  Word cword 14464   splice csplice 14699  βŸ¨β€œcs2 14792   ~FG cefg 19574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465
This theorem is referenced by:  efgsdmi  19600  efgsrel  19602  efgs1  19603  efgs1b  19604  efgsp1  19605  efgsres  19606  efgsfo  19607  efgredlema  19608  efgredlemf  19609  efgredlemd  19612  efgredlemc  19613  efgredlem  19615  efgrelexlemb  19618  efgredeu  19620  efgred2  19621
  Copyright terms: Public domain W3C validator