Theorem efgsdm 19860

Description: Elementhood in the domain of 𝑆, the set of sequences of extensions starting at an irreducible word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgsdm	⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑖,𝐹   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑖,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀   𝑖,𝑘,𝑇,𝑚,𝑡,𝑥   𝑦,𝑖,𝑧,𝑊   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑖,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑖   𝑖,𝐼,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑖,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑘, 𝑛)   ∼ (𝑤, 𝑣, 𝑘, 𝑛)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑡, 𝑘, 𝑚, 𝑛)   𝑇(𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑡, 𝑘, 𝑚, 𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦, 𝑧, 𝑘)

Proof of Theorem efgsdm

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘0) = (𝐹‘0))
2	1	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘0) ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘0) ∈ 𝐷))
3		fveq2 6879	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (♯‘𝑓) = (♯‘𝐹))
4	3	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (1..^(♯‘𝑓)) = (1..^(♯‘𝐹)))
5		fveq1 6878	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
6		fveq1 6878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(𝑖 − 1)))
7	6	fveq2d 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
8	7	rneqd 5922	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
9	5, 8	eleq12d 2854	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
10	4, 9	raleqbidv 3334	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
11	2, 10	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1)))) ↔ ((𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))))
12		efgval.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
13		efgval.r	. . . . . 6 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
14		efgval2.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
15		efgval2.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
16		efgred.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
17		efgred.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
18	12, 13, 14, 15, 16, 17	efgsf 19859	. . . . 5 ⊢ 𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊
19	18	fdmi 6715	. . . 4 ⊢ dom 𝑆 = {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}
20		fveq1 6878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑓 → (𝑡‘0) = (𝑓‘0))
21	20	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑓 → ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ↔ (𝑓‘0) ∈ 𝐷))
22		fveq2 6879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑡‘𝑘) = (𝑡‘𝑖))
23		fvoveq1 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑡‘(𝑘 − 1)) = (𝑡‘(𝑖 − 1)))
24	23	fveq2d 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))) = (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))))
25	24	rneqd 5922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))) = ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))))
26	22, 25	eleq12d 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑡‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1)))))
27	26	cbvralvw 3240	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))))
28		fveq2 6879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑓 → (♯‘𝑡) = (♯‘𝑓))
29	28	oveq2d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑓 → (1..^(♯‘𝑡)) = (1..^(♯‘𝑓)))
30		fveq1 6878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑓 → (𝑡‘𝑖) = (𝑓‘𝑖))
31		fveq1 6878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑓 → (𝑡‘(𝑖 − 1)) = (𝑓‘(𝑖 − 1)))
32	31	fveq2d 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑓 → (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))))
33	32	rneqd 5922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑓 → ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))))
34	30, 33	eleq12d 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑓 → ((𝑡‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝑓‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1)))))
35	29, 34	raleqbidv 3334	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑓 → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1)))))
36	27, 35	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑓 → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1)))))
37	21, 36	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑓 → (((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1)))) ↔ ((𝑓‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))))))
38	37	cbvrabv 3422	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} = {𝑓 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑓‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))))}
39	19, 38	eqtri 2783	. . 3 ⊢ dom 𝑆 = {𝑓 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑓‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))))}
40	11, 39	elrab2 3649	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ ((𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))))
41		3anass 1111	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))) ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ ((𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))))
42	40, 41	bitr4i 281	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412   ∖ cdif 3896  ∅c0 4279  {csn 4584  ⟨cop 4590  ⟨cotp 4592  ∪ ciun 4951   ↦ cmpt 5186   I cid 5549   × cxp 5653  dom cdm 5655  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  1_oc1o 8451  2_oc2o 8452  0cc0 11127  1c1 11128   − cmin 11468  ...cfz 13564  ..^cfzo 13712  ♯chash 14397  Word cword 14581   splice csplice 14821  ⟨“cs2 14915   ~_FG cefg 19836

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-hash 14398  df-word 14582

This theorem is used by:  efgsdmi  19862  efgsrel  19864  efgs1  19865  efgs1b  19866  efgsp1  19867  efgsres  19868  efgsfo  19869  efgredlema  19870  efgredlemf  19871  efgredlemd  19874  efgredlemc  19875  efgredlem  19877  efgrelexlemb  19880  efgredeu  19882  efgred2  19883