Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgsdm 18847
 Description: Elementhood in the domain of 𝑆, the set of sequences of extensions starting at an irreducible word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgsdm (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑖,𝐹   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑖,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀   𝑖,𝑘,𝑇,𝑚,𝑡,𝑥   𝑦,𝑖,𝑧,𝑊   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑖,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑖   𝑖,𝐼,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑖,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsdm
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6652 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘0) = (𝐹‘0))
21eleq1d 2900 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘0) ∈ 𝐷 ↔ (𝐹‘0) ∈ 𝐷))
3 fveq2 6653 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (♯‘𝑓) = (♯‘𝐹))
43oveq2d 7156 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (1..^(♯‘𝑓)) = (1..^(♯‘𝐹)))
5 fveq1 6652 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑖) = (𝐹𝑖))
6 fveq1 6652 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(𝑖 − 1)))
76fveq2d 6657 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
87rneqd 5791 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
95, 8eleq12d 2910 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
104, 9raleqbidv 3392 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
112, 10anbi12d 633 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1)))) ↔ ((𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))))
12 efgval.w . . . . . 6 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
13 efgval.r . . . . . 6 = ( ~FG𝐼)
14 efgval2.m . . . . . 6 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
15 efgval2.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
16 efgred.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
17 efgred.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
1812, 13, 14, 15, 16, 17efgsf 18846 . . . . 5 𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊
1918fdmi 6507 . . . 4 dom 𝑆 = {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}
20 fveq1 6652 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑓 → (𝑡‘0) = (𝑓‘0))
2120eleq1d 2900 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑓 → ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ↔ (𝑓‘0) ∈ 𝐷))
22 fveq2 6653 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → (𝑡𝑘) = (𝑡𝑖))
23 fvoveq1 7163 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → (𝑡‘(𝑘 − 1)) = (𝑡‘(𝑖 − 1)))
2423fveq2d 6657 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑖 → (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))) = (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))))
2524rneqd 5791 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))) = ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))))
2622, 25eleq12d 2910 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))) ↔ (𝑡𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1)))))
2726cbvralvw 3434 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))))
28 fveq2 6653 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑓 → (♯‘𝑡) = (♯‘𝑓))
2928oveq2d 7156 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑓 → (1..^(♯‘𝑡)) = (1..^(♯‘𝑓)))
30 fveq1 6652 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑓 → (𝑡𝑖) = (𝑓𝑖))
31 fveq1 6652 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑓 → (𝑡‘(𝑖 − 1)) = (𝑓‘(𝑖 − 1)))
3231fveq2d 6657 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑓 → (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))))
3332rneqd 5791 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑓 → ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))))
3430, 33eleq12d 2910 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑓 → ((𝑡𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝑓𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1)))))
3529, 34raleqbidv 3392 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑓 → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1)))))
3627, 35syl5bb 286 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑓 → (∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1)))))
3721, 36anbi12d 633 . . . . 5 (𝑡 = 𝑓 → (((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1)))) ↔ ((𝑓‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))))))
3837cbvrabv 3476 . . . 4 {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} = {𝑓 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑓‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))))}
3919, 38eqtri 2847 . . 3 dom 𝑆 = {𝑓 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑓‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝑓‘(𝑖 − 1))))}
4011, 39elrab2 3668 . 2 (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ ((𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))))
41 3anass 1092 . 2 ((𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))) ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ ((𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))))
4240, 41bitr4i 281 1 (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3132  {crab 3136   ∖ cdif 3915  ∅c0 4274  {csn 4548  ⟨cop 4554  ⟨cotp 4556  ∪ ciun 4902   ↦ cmpt 5129   I cid 5442   × cxp 5536  dom cdm 5538  ran crn 5539  ‘cfv 6338  (class class class)co 7140   ∈ cmpo 7142  1oc1o 8080  2oc2o 8081  0cc0 10524  1c1 10525   − cmin 10857  ...cfz 12885  ..^cfzo 13028  ♯chash 13686  Word cword 13857   splice csplice 14102  ⟨“cs2 14194   ~FG cefg 18823 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-card 9354  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858 This theorem is referenced by:  efgsdmi  18849  efgsrel  18851  efgs1  18852  efgs1b  18853  efgsp1  18854  efgsres  18855  efgsfo  18856  efgredlema  18857  efgredlemf  18858  efgredlemd  18861  efgredlemc  18862  efgredlem  18864  efgrelexlemb  18867  efgredeu  18869  efgred2  18870
 Copyright terms: Public domain W3C validator