MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsrel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgsrel 18354
Description: The start and end of any extension sequence are related (i.e. evaluate to the same element of the quotient group to be created). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgsrel (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) (𝑆𝐹))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsrel
Dummy variables 𝑎 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . 6 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
2 efgval.r . . . . . 6 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . . . . 6 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
5 efgred.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
6 efgred.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 18350 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑎 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1)))))
87simp1bi 1139 . . . 4 (𝐹 ∈ dom 𝑆𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9 eldifsn 4453 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word 𝑊𝐹 ≠ ∅))
10 lennncl 13521 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word 𝑊𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
119, 10sylbi 207 . . . 4 (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
12 fzo0end 12768 . . . 4 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
138, 11, 123syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
14 nnm1nn0 11536 . . . . 5 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
158, 11, 143syl 18 . . . 4 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
16 eleq1 2838 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
17 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑎 = 0 → (𝐹𝑎) = (𝐹‘0))
1817breq2d 4798 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → ((𝐹‘0) (𝐹𝑎) ↔ (𝐹‘0) (𝐹‘0)))
1916, 18imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → ((𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑎)) ↔ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘0))))
2019imbi2d 329 . . . . 5 (𝑎 = 0 → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘0)))))
21 eleq1 2838 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑖 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
22 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑖 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑖))
2322breq2d 4798 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑖 → ((𝐹‘0) (𝐹𝑎) ↔ (𝐹‘0) (𝐹𝑖)))
2421, 23imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑖 → ((𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑎)) ↔ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑖))))
2524imbi2d 329 . . . . 5 (𝑎 = 𝑖 → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑖)))))
26 eleq1 2838 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
27 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝐹𝑎) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
2827breq2d 4798 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝐹‘0) (𝐹𝑎) ↔ (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1))))
2926, 28imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑎)) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
3029imbi2d 329 . . . . 5 (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1))))))
31 eleq1 2838 . . . . . . 7 (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
32 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐹𝑎) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
3332breq2d 4798 . . . . . . 7 (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → ((𝐹‘0) (𝐹𝑎) ↔ (𝐹‘0) (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
3431, 33imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → ((𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑎)) ↔ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
3534imbi2d 329 . . . . 5 (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))))
361, 2efger 18338 . . . . . . . 8 Er 𝑊
3736a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → Er 𝑊)
38 eldifi 3883 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
39 wrdf 13506 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word 𝑊𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑊)
408, 38, 393syl 18 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom 𝑆𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑊)
4140ffvelrnda 6502 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘0) ∈ 𝑊)
4237, 41erref 7916 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘0) (𝐹‘0))
4342ex 397 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘0)))
44 elnn0uz 11927 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ (ℤ‘0))
45 peano2fzor 12783 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
4644, 45sylanb 570 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
47463adant1 1124 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
48473expia 1114 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
4948imim1d 82 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑖))))
50403ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑊)
5150, 47ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹𝑖) ∈ 𝑊)
52 fvoveq1 6816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝐹‘(𝑎 − 1)) = (𝐹‘((𝑖 + 1) − 1)))
5352fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))))
5453rneqd 5491 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 + 1) → ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))))
5527, 54eleq12d 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝐹𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))) ↔ (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1)))))
567simp3bi 1141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑎 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))))
57563ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∀𝑎 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))))
58 nn0p1nn 11534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
59583ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
60 nnuz 11925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ = (ℤ‘1)
6159, 60syl6eleq 2860 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ‘1))
62 elfzolt2b 12689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑖 + 1) ∈ ((𝑖 + 1)..^(♯‘𝐹)))
63623ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ ((𝑖 + 1)..^(♯‘𝐹)))
64 elfzo3 12694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ (𝑖 + 1) ∈ ((𝑖 + 1)..^(♯‘𝐹))))
6561, 63, 64sylanbrc 572 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
6655, 57, 65rspcdva 3466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))))
67 nn0cn 11504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℂ)
68673ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ ℂ)
69 ax-1cn 10196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
70 pncan 10489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑖 + 1) − 1) = 𝑖)
7168, 69, 70sylancl 574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑖 + 1) − 1) = 𝑖)
7271fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘((𝑖 + 1) − 1)) = (𝐹𝑖))
7372fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))) = (𝑇‘(𝐹𝑖)))
7473rneqd 5491 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹𝑖)))
7566, 74eleqtrd 2852 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹𝑖)))
761, 2, 3, 4efgi2 18345 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑖) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹𝑖))) → (𝐹𝑖) (𝐹‘(𝑖 + 1)))
7751, 75, 76syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹𝑖) (𝐹‘(𝑖 + 1)))
7836a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → Er 𝑊)
7978ertr 7911 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((𝐹‘0) (𝐹𝑖) ∧ (𝐹𝑖) (𝐹‘(𝑖 + 1))) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1))))
8077, 79mpan2d 674 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹‘0) (𝐹𝑖) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1))))
81803expia 1114 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝐹‘0) (𝐹𝑖) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
8281a2d 29 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
8349, 82syld 47 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
8483expcom 398 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1))))))
8584a2d 29 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹𝑖))) → (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘(𝑖 + 1))))))
8620, 25, 30, 35, 43, 85nn0ind 11674 . . . 4 (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
8715, 86mpcom 38 . . 3 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
8813, 87mpd 15 . 2 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
891, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 18351 . 2 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
9088, 89breqtrrd 4814 1 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) (𝑆𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  {crab 3065  cdif 3720  c0 4063  {csn 4316  cop 4322  cotp 4324   ciun 4654   class class class wbr 4786  cmpt 4863   I cid 5156   × cxp 5247  dom cdm 5249  ran crn 5250  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cmpt2 6795  1𝑜c1o 7706  2𝑜c2o 7707   Er wer 7893  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  cmin 10468  cn 11222  0cn0 11494  cuz 11888  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  chash 13321  Word cword 13487   splice csplice 13492  ⟨“cs2 13795   ~FG cefg 18326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-ec 7898  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-substr 13499  df-splice 13500  df-s2 13802  df-efg 18329
This theorem is referenced by:  efgredeu  18372  efgred2  18373
  Copyright terms: Public domain W3C validator