Theorem efgsrel 19981

Description: The start and end of any extension sequence are related (i.e. evaluate to the same element of the quotient group to be created). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgsrel	⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∼ (𝑆‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑘, 𝑛)   ∼ (𝑤, 𝑣, 𝑘, 𝑛)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑡, 𝑘, 𝑚, 𝑛)   𝑇(𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑡, 𝑘, 𝑚, 𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦, 𝑧, 𝑘)

Proof of Theorem efgsrel

Dummy variables 𝑎 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		efgval.r	. . . . . 6 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		efgval2.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
4		efgval2.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
5		efgred.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
6		efgred.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 19977	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑎 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1)))))
8	7	simp1bi 1163	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9		eldifsn 4748	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐹 ≠ ∅))
10		lennncl 14709	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
11	9, 10	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
12		fzo0end 13923	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
13	8, 11, 12	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
14		nnm1nn0 12677	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
15	8, 11, 14	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
16		eleq1 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
17		fveq2 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘0))
18	17	breq2d 5118	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘0)))
19	16, 18	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎)) ↔ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘0))))
20	19	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘0)))))
21		eleq1 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
22		fveq2 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑖))
23	22	breq2d 5118	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → ((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖)))
24	21, 23	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → ((𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎)) ↔ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖))))
25	24	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖)))))
26		eleq1 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
27		fveq2 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
28	27	breq2d 5118	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))))
29	26, 28	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
30	29	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))))))
31		eleq1 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
32		fveq2 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
33	32	breq2d 5118	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → ((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
34	31, 33	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → ((𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎)) ↔ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
35	34	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))))
36	1, 2	efger 19965	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ Er 𝑊
37	36	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∼ Er 𝑊)
38		eldifi 4070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
39		wrdf 14693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑊 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑊)
40	8, 38, 39	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑊)
41	40	ffvelcdmda 7111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘0) ∈ 𝑊)
42	37, 41	erref 8769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘0))
43	42	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘0)))
44		elnn0uz 13036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↔ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘0))
45		peano2fzor 13940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
46	44, 45	sylanb 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
47	46	3adant1 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
48	47	3expia 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
49	48	imim1d 83	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖))))
50	40	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑊)
51	50, 47	ffvelcdmd 7112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝑖) ∈ 𝑊)
52		fvoveq1 7469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝐹‘(𝑎 − 1)) = (𝐹‘((𝑖 + 1) − 1)))
53	52	fveq2d 6915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))))
54	53	rneqd 5928	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))))
55	27, 54	eleq12d 2858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝐹‘𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))) ↔ (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1)))))
56	7	simp3bi 1165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑎 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))))
57	56	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∀𝑎 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))))
58		nn0p1nn 12675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
59	58	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
60		nnuz 13034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
61	59, 60	eleqtrdi 2874	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
62		elfzolt2b 13835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑖 + 1) ∈ ((𝑖 + 1)..^(♯‘𝐹)))
63	62	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ ((𝑖 + 1)..^(♯‘𝐹)))
64		elfzo3 13841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ (𝑖 + 1) ∈ ((𝑖 + 1)..^(♯‘𝐹))))
65	61, 63, 64	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
66	55, 57, 65	rspcdva 3581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))))
67		nn0cn 12646	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℂ)
68	67	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ ℂ)
69		ax-1cn 11288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
70		pncan 11593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑖 + 1) − 1) = 𝑖)
71	68, 69, 70	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑖 + 1) − 1) = 𝑖)
72	71	fveq2d 6915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘((𝑖 + 1) − 1)) = (𝐹‘𝑖))
73	72	fveq2d 6915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘𝑖)))
74	73	rneqd 5928	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘𝑖)))
75	66, 74	eleqtrd 2866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘𝑖)))
76	1, 2, 3, 4	efgi2 19972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘𝑖))) → (𝐹‘𝑖) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1)))
77	51, 75, 76	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝑖) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1)))
78	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∼ Er 𝑊)
79	78	ertr 8764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖) ∧ (𝐹‘𝑖) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))))
80	77, 79	mpan2d 707	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))))
81	80	3expia 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
82	81	a2d 30	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
83	49, 82	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
84	83	expcom 419	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))))))
85	84	a2d 30	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖))) → (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))))))
86	20, 25, 30, 35, 43, 85	nn0ind 12824	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
87	15, 86	mpcom 39	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
88	13, 87	mpd 16	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
89	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsval 19978	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
90	88, 89	breqtrrd 5137	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∼ (𝑆‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  {crab 3416   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  {csn 4588  ⟨cop 4838  ⟨cotp 4861  ∪ ciun 4954   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190   I cid 5550   × cxp 5654  dom cdm 5656  ran crn 5657  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ∈ cmpo 7448  1_oc1o 8500  2_oc2o 8501   Er wer 8745  ℂcc 11228  0cc0 11230  1c1 11231   + caddc 11233   − cmin 11571  ℕcn 12365  ℕ₀cn0 12636  ℤ_≥cuz 12995  ...cfz 13669  ..^cfzo 13818  ♯chash 14504  Word cword 14688   splice csplice 14929  ⟨“cs2 15023   ~_FG cefg 19953

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-ec 8750  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-hash 14505  df-word 14689  df-concat 14746  df-s1 14773  df-substr 14820  df-pfx 14852  df-splice 14930  df-s2 15030  df-efg 19956

This theorem is used by:  efgredeu  19999  efgred2  20000