Theorem efgsrel 19792

Description: The start and end of any extension sequence are related (i.e. evaluate to the same element of the quotient group to be created). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgsrel	⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∼ (𝑆‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsrel

Dummy variables 𝑎 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		efgval.r	. . . . . 6 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		efgval2.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
4		efgval2.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
5		efgred.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
6		efgred.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 19788	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑎 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1)))))
8	7	simp1bi 1161	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9		eldifsn 4749	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐹 ≠ ∅))
10		lennncl 14559	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
11	9, 10	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
12		fzo0end 13775	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
13	8, 11, 12	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
14		nnm1nn0 12533	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
15	8, 11, 14	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
16		eleq1 2853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
17		fveq2 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘0))
18	17	breq2d 5116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘0)))
19	16, 18	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎)) ↔ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘0))))
20	19	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘0)))))
21		eleq1 2853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
22		fveq2 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑖))
23	22	breq2d 5116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → ((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖)))
24	21, 23	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → ((𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎)) ↔ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖))))
25	24	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖)))))
26		eleq1 2853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
27		fveq2 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
28	27	breq2d 5116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))))
29	26, 28	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
30	29	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))))))
31		eleq1 2853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
32		fveq2 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
33	32	breq2d 5116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → ((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
34	31, 33	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → ((𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎)) ↔ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
35	34	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))))
36	1, 2	efger 19776	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ Er 𝑊
37	36	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∼ Er 𝑊)
38		eldifi 4087	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
39		wrdf 14543	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑊 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑊)
40	8, 38, 39	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑊)
41	40	ffvelcdmda 7069	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘0) ∈ 𝑊)
42	37, 41	erref 8703	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘0))
43	42	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘0)))
44		elnn0uz 12891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↔ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘0))
45		peano2fzor 13792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
46	44, 45	sylanb 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
47	46	3adant1 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
48	47	3expia 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
49	48	imim1d 83	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖))))
50	40	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑊)
51	50, 47	ffvelcdmd 7070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝑖) ∈ 𝑊)
52		fvoveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝐹‘(𝑎 − 1)) = (𝐹‘((𝑖 + 1) − 1)))
53	52	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))))
54	53	rneqd 5918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))))
55	27, 54	eleq12d 2859	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝐹‘𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))) ↔ (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1)))))
56	7	simp3bi 1163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑎 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))))
57	56	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∀𝑎 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))))
58		nn0p1nn 12531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
59	58	3ad2ant2 1150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
60		nnuz 12889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
61	59, 60	eleqtrdi 2875	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
62		elfzolt2b 13687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑖 + 1) ∈ ((𝑖 + 1)..^(♯‘𝐹)))
63	62	3ad2ant3 1151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ ((𝑖 + 1)..^(♯‘𝐹)))
64		elfzo3 13693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ (𝑖 + 1) ∈ ((𝑖 + 1)..^(♯‘𝐹))))
65	61, 63, 64	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
66	55, 57, 65	rspcdva 3585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))))
67		nn0cn 12502	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℂ)
68	67	3ad2ant2 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ ℂ)
69		ax-1cn 11146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
70		pncan 11451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑖 + 1) − 1) = 𝑖)
71	68, 69, 70	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑖 + 1) − 1) = 𝑖)
72	71	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘((𝑖 + 1) − 1)) = (𝐹‘𝑖))
73	72	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘𝑖)))
74	73	rneqd 5918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘𝑖)))
75	66, 74	eleqtrd 2867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘𝑖)))
76	1, 2, 3, 4	efgi2 19783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘𝑖))) → (𝐹‘𝑖) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1)))
77	51, 75, 76	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝑖) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1)))
78	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∼ Er 𝑊)
79	78	ertr 8698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖) ∧ (𝐹‘𝑖) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))))
80	77, 79	mpan2d 706	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))))
81	80	3expia 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
82	81	a2d 30	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
83	49, 82	syld 48	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
84	83	expcom 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))))))
85	84	a2d 30	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖))) → (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))))))
86	20, 25, 30, 35, 43, 85	nn0ind 12679	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
87	15, 86	mpcom 39	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
88	13, 87	mpd 16	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
89	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsval 19789	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
90	88, 89	breqtrrd 5132	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∼ (𝑆‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  {crab 3417   ∖ cdif 3904  ∅c0 4288  {csn 4585  ⟨cop 4591  ⟨cotp 4593  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185   I cid 5545   × cxp 5649  dom cdm 5651  ran crn 5652  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402  1_oc1o 8434  2_oc2o 8435   Er wer 8679  ℂcc 11086  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   − cmin 11429  ℕcn 12221  ℕ₀cn0 12492  ℤ_≥cuz 12850  ...cfz 13523  ..^cfzo 13670  ♯chash 14354  Word cword 14538   splice csplice 14774  ⟨“cs2 14866   ~_FG cefg 19764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-ec 8684  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-hash 14355  df-word 14539  df-concat 14596  df-s1 14622  df-substr 14667  df-pfx 14697  df-splice 14775  df-s2 14873  df-efg 19767

This theorem is referenced by:  efgredeu  19810  efgred2  19811