Theorem efgsrel 19664

Description: The start and end of any extension sequence are related (i.e. evaluate to the same element of the quotient group to be created). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgsrel	⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∼ (𝑆‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsrel

Dummy variables 𝑎 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		efgval.r	. . . . . 6 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		efgval2.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
4		efgval2.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
5		efgred.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
6		efgred.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 19660	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑎 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1)))))
8	7	simp1bi 1145	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9		eldifsn 4750	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐹 ≠ ∅))
10		lennncl 14499	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
11	9, 10	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
12		fzo0end 13719	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
13	8, 11, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
14		nnm1nn0 12483	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
15	8, 11, 14	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
16		eleq1 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
17		fveq2 6858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘0))
18	17	breq2d 5119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘0)))
19	16, 18	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎)) ↔ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘0))))
20	19	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘0)))))
21		eleq1 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
22		fveq2 6858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑖))
23	22	breq2d 5119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → ((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖)))
24	21, 23	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → ((𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎)) ↔ (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖))))
25	24	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑖 → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖)))))
26		eleq1 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
27		fveq2 6858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
28	27	breq2d 5119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))))
29	26, 28	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎)) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
30	29	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))))))
31		eleq1 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
32		fveq2 6858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
33	32	breq2d 5119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → ((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
34	31, 33	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → ((𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎)) ↔ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
35	34	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((♯‘𝐹) − 1) → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑎 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑎))) ↔ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))))
36	1, 2	efger 19648	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ Er 𝑊
37	36	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∼ Er 𝑊)
38		eldifi 4094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
39		wrdf 14483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑊 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑊)
40	8, 38, 39	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑊)
41	40	ffvelcdmda 7056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘0) ∈ 𝑊)
42	37, 41	erref 8691	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘0))
43	42	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘0)))
44		elnn0uz 12838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↔ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘0))
45		peano2fzor 13735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
46	44, 45	sylanb 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
47	46	3adant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
48	47	3expia 1121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
49	48	imim1d 82	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖))))
50	40	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑊)
51	50, 47	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝑖) ∈ 𝑊)
52		fvoveq1 7410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝐹‘(𝑎 − 1)) = (𝐹‘((𝑖 + 1) − 1)))
53	52	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))))
54	53	rneqd 5902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))))
55	27, 54	eleq12d 2822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑖 + 1) → ((𝐹‘𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))) ↔ (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1)))))
56	7	simp3bi 1147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑎 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))))
57	56	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∀𝑎 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑎 − 1))))
58		nn0p1nn 12481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
59	58	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ)
60		nnuz 12836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
61	59, 60	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
62		elfzolt2b 13631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑖 + 1) ∈ ((𝑖 + 1)..^(♯‘𝐹)))
63	62	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ ((𝑖 + 1)..^(♯‘𝐹)))
64		elfzo3 13637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ (𝑖 + 1) ∈ ((𝑖 + 1)..^(♯‘𝐹))))
65	61, 63, 64	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑖 + 1) ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
66	55, 57, 65	rspcdva 3589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))))
67		nn0cn 12452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℂ)
68	67	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑖 ∈ ℂ)
69		ax-1cn 11126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
70		pncan 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑖 + 1) − 1) = 𝑖)
71	68, 69, 70	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑖 + 1) − 1) = 𝑖)
72	71	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘((𝑖 + 1) − 1)) = (𝐹‘𝑖))
73	72	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘𝑖)))
74	73	rneqd 5902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ran (𝑇‘(𝐹‘((𝑖 + 1) − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘𝑖)))
75	66, 74	eleqtrd 2830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘𝑖)))
76	1, 2, 3, 4	efgi2 19655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘(𝑖 + 1)) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘𝑖))) → (𝐹‘𝑖) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1)))
77	51, 75, 76	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝑖) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1)))
78	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∼ Er 𝑊)
79	78	ertr 8686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖) ∧ (𝐹‘𝑖) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))))
80	77, 79	mpan2d 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))))
81	80	3expia 1121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
82	81	a2d 29	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
83	49, 82	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1)))))
84	83	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))))))
85	84	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘𝑖))) → (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘(𝑖 + 1))))))
86	20, 25, 30, 35, 43, 85	nn0ind 12629	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))))
87	15, 86	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1))))
88	13, 87	mpd 15	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∼ (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
89	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsval 19661	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
90	88, 89	breqtrrd 5135	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∼ (𝑆‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  {crab 3405   ∖ cdif 3911  ∅c0 4296  {csn 4589  ⟨cop 4595  ⟨cotp 4597  ∪ ciun 4955   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   I cid 5532   × cxp 5636  dom cdm 5638  ran crn 5639  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  1_oc1o 8427  2_oc2o 8428   Er wer 8668  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   − cmin 11405  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468  ..^cfzo 13615  ♯chash 14295  Word cword 14478   splice csplice 14714  ⟨“cs2 14807   ~_FG cefg 19636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-ec 8673  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-concat 14536  df-s1 14561  df-substr 14606  df-pfx 14636  df-splice 14715  df-s2 14814  df-efg 19639

This theorem is referenced by:  efgredeu  19682  efgred2  19683