Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmopn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elmopn2 23031
 Description: A defining property of an open set of a metric space. (Contributed by NM, 5-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopnval.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
elmopn2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴𝐽 ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem elmopn2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopnval.1 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21elmopn 23028 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴𝐽 ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝐴))))
3 ssel2 3941 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝑥𝐴) → 𝑥𝑋)
4 blssex 23013 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴))
53, 4sylan2 594 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝑥𝐴)) → (∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴))
65anassrs 470 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴))
76ralbidva 3183 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑥𝐴𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴))
87pm5.32da 581 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝐴)) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴)))
92, 8bitrd 281 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴𝐽 ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3125  ∃wrex 3126   ⊆ wss 3913  ran crn 5532  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133  ℝ+crp 12368  ∞Metcxmet 20506  ballcbl 20508  MetOpencmopn 20511 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-sup 8884  df-inf 8885  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-topgen 16696  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-bases 21530 This theorem is referenced by:  metrest  23110  tgioo  23380  xrsmopn  23396  recld2  23398  tpr2rico  31163  dya2icoseg2  31544  opnrebl  33676  opnrebl2  33677
 Copyright terms: Public domain W3C validator