MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmopn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elmopn2 22627
Description: A defining property of an open set of a metric space. (Contributed by NM, 5-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopnval.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
elmopn2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴𝐽 ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem elmopn2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopnval.1 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21elmopn 22624 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴𝐽 ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝐴))))
3 ssel2 3822 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝑥𝐴) → 𝑥𝑋)
4 blssex 22609 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴))
53, 4sylan2 586 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝑥𝐴)) → (∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴))
65anassrs 461 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴))
76ralbidva 3194 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (∀𝑥𝐴𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴))
87pm5.32da 574 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑥𝑧𝑧𝐴)) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴)))
92, 8bitrd 271 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴𝐽 ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑦) ⊆ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wral 3117  wrex 3118  wss 3798  ran crn 5347  cfv 6127  (class class class)co 6910  +crp 12119  ∞Metcxmet 20098  ballcbl 20100  MetOpencmopn 20103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-topgen 16464  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-bases 21128
This theorem is referenced by:  metrest  22706  tgioo  22976  xrsmopn  22992  recld2  22994  tpr2rico  30499  dya2icoseg2  30881  opnrebl  32848  opnrebl2  32849
  Copyright terms: Public domain W3C validator