Theorem eqwrd 14478

Description: Two words are equal iff they have the same length and the same symbol at each position. (Contributed by AV, 13-Apr-2018.) (Revised by JJ, 30-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eqwrd	⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑈 = 𝑊 ↔ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))))

Distinct variable groups:   𝑈,𝑖   𝑖,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖)   𝑇(𝑖)

Proof of Theorem eqwrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfn 14449	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑆 → 𝑈 Fn (0..^(♯‘𝑈)))
2		wrdfn 14449	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
3		eqfnfv2 6975	. . 3 ⊢ ((𝑈 Fn (0..^(♯‘𝑈)) ∧ 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑈 = 𝑊 ↔ ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑈 = 𝑊 ↔ ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))))
5		fveq2 6832	. . . . 5 ⊢ ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘(0..^(♯‘𝑈))) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
6		lencl 14454	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
7		hashfzo0 14351	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑈) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑈))) = (♯‘𝑈))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑆 → (♯‘(0..^(♯‘𝑈))) = (♯‘𝑈))
9		lencl 14454	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10		hashfzo0 14351	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
12	8, 11	eqeqan12d 2748	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((♯‘(0..^(♯‘𝑈))) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) ↔ (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
13	5, 12	imbitrid 244	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
14		oveq2 7364	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) → (0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)))
15	13, 14	impbid1 225	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
16	15	anbi1d 631	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈‘𝑖) = (𝑊‘𝑖)) ↔ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))))
17	4, 16	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑈 = 𝑊 ↔ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049   Fn wfn 6485  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  ℕ₀cn0 12399  ..^cfzo 13568  ♯chash 14251  Word cword 14434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-hash 14252  df-word 14435

This theorem is referenced by:  eqs1  14534  swrdspsleq  14587  pfxeq  14617  pfxsuffeqwrdeq  14619  repswpfx  14706  2cshw  14734  pfx2  14868  wwlktovf1  14878  eqwrds3  14882  wlkeq  29656  wwlkseq  29913