Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqwrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqwrd 13909
 Description: Two words are equal iff they have the same length and the same symbol at each position. (Contributed by AV, 13-Apr-2018.) (Revised by JJ, 30-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
eqwrd ((𝑈 ∈ Word 𝑆𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑈 = 𝑊 ↔ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈𝑖) = (𝑊𝑖))))
Distinct variable groups:   𝑈,𝑖   𝑖,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖)   𝑇(𝑖)

Proof of Theorem eqwrd
StepHypRef Expression
1 wrdfn 13880 . . 3 (𝑈 ∈ Word 𝑆𝑈 Fn (0..^(♯‘𝑈)))
2 wrdfn 13880 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
3 eqfnfv2 6794 . . 3 ((𝑈 Fn (0..^(♯‘𝑈)) ∧ 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑈 = 𝑊 ↔ ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈𝑖) = (𝑊𝑖))))
41, 2, 3syl2an 598 . 2 ((𝑈 ∈ Word 𝑆𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑈 = 𝑊 ↔ ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈𝑖) = (𝑊𝑖))))
5 fveq2 6661 . . . . 5 ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘(0..^(♯‘𝑈))) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
6 lencl 13885 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
7 hashfzo0 13796 . . . . . . 7 ((♯‘𝑈) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑈))) = (♯‘𝑈))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝑈 ∈ Word 𝑆 → (♯‘(0..^(♯‘𝑈))) = (♯‘𝑈))
9 lencl 13885 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10 hashfzo0 13796 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
128, 11eqeqan12d 2841 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Word 𝑆𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((♯‘(0..^(♯‘𝑈))) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) ↔ (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
135, 12syl5ib 247 . . . 4 ((𝑈 ∈ Word 𝑆𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
14 oveq2 7157 . . . 4 ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) → (0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)))
1513, 14impbid1 228 . . 3 ((𝑈 ∈ Word 𝑆𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
1615anbi1d 632 . 2 ((𝑈 ∈ Word 𝑆𝑊 ∈ Word 𝑇) → (((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈𝑖) = (𝑊𝑖)) ↔ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈𝑖) = (𝑊𝑖))))
174, 16bitrd 282 1 ((𝑈 ∈ Word 𝑆𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑈 = 𝑊 ↔ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈𝑖) = (𝑊𝑖))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133   Fn wfn 6338  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  0cc0 10535  ℕ0cn0 11894  ..^cfzo 13037  ♯chash 13695  Word cword 13866 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-hash 13696  df-word 13867 This theorem is referenced by:  eqs1  13966  swrdspsleq  14027  pfxeq  14058  pfxsuffeqwrdeq  14060  repswpfx  14147  2cshw  14175  pfx2  14309  wwlktovf1  14321  eqwrds3  14325  wlkeq  27426  wwlkseq  27680
 Copyright terms: Public domain W3C validator