Theorem eqwrd 14605

Description: Two words are equal iff they have the same length and the same symbol at each position. (Contributed by AV, 13-Apr-2018.) (Revised by JJ, 30-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eqwrd	⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑈 = 𝑊 ↔ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))))

Distinct variable groups:   𝑈,𝑖   𝑖,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖)   𝑇(𝑖)

Proof of Theorem eqwrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfn 14576	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑆 → 𝑈 Fn (0..^(♯‘𝑈)))
2		wrdfn 14576	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
3		eqfnfv2 7065	. . 3 ⊢ ((𝑈 Fn (0..^(♯‘𝑈)) ∧ 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑈 = 𝑊 ↔ ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))))
4	1, 2, 3	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑈 = 𝑊 ↔ ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))))
5		fveq2 6920	. . . . 5 ⊢ ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘(0..^(♯‘𝑈))) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
6		lencl 14581	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
7		hashfzo0 14479	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑈) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑈))) = (♯‘𝑈))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑆 → (♯‘(0..^(♯‘𝑈))) = (♯‘𝑈))
9		lencl 14581	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10		hashfzo0 14479	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
12	8, 11	eqeqan12d 2754	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((♯‘(0..^(♯‘𝑈))) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) ↔ (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
13	5, 12	imbitrid 244	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
14		oveq2 7456	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) → (0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)))
15	13, 14	impbid1 225	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → ((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑈) = (♯‘𝑊)))
16	15	anbi1d 630	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (((0..^(♯‘𝑈)) = (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈‘𝑖) = (𝑊‘𝑖)) ↔ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))))
17	4, 16	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝑈 = 𝑊 ↔ ((♯‘𝑈) = (♯‘𝑊) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑈))(𝑈‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  ℕ₀cn0 12553  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379  Word cword 14562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563

This theorem is referenced by:  eqs1  14660  swrdspsleq  14713  pfxeq  14744  pfxsuffeqwrdeq  14746  repswpfx  14833  2cshw  14861  pfx2  14996  wwlktovf1  15006  eqwrds3  15010  wlkeq  29670  wwlkseq  29924