MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqsqrtd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqsqrtd 14715
Description: A deduction for showing that a number equals the square root of another. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqsqrtd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
eqsqrtd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
eqsqrtd.3 (𝜑 → (𝐴↑2) = 𝐵)
eqsqrtd.4 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
eqsqrtd.5 (𝜑 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
eqsqrtd (𝜑𝐴 = (√‘𝐵))

Proof of Theorem eqsqrtd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqsqrtd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2 sqreu 14708 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
3 reurmo 3431 . . 3 (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
5 eqsqrtd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6 eqsqrtd.3 . . 3 (𝜑 → (𝐴↑2) = 𝐵)
7 eqsqrtd.4 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
8 eqsqrtd.5 . . . 4 (𝜑 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
9 df-nel 3121 . . . 4 ((i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
108, 9sylibr 235 . . 3 (𝜑 → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)
116, 7, 103jca 1120 . 2 (𝜑 → ((𝐴↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
12 sqrtcl 14709 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (√‘𝐵) ∈ ℂ)
131, 12syl 17 . 2 (𝜑 → (√‘𝐵) ∈ ℂ)
14 sqrtthlem 14710 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
151, 14syl 17 . 2 (𝜑 → (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
16 oveq1 7152 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
1716eqeq1d 2820 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥↑2) = 𝐵 ↔ (𝐴↑2) = 𝐵))
18 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘𝐴))
1918breq2d 5069 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
20 oveq2 7153 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (i · 𝑥) = (i · 𝐴))
21 neleq1 3125 . . . . 5 ((i · 𝑥) = (i · 𝐴) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
2317, 19, 223anbi123d 1427 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ ((𝐴↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
24 oveq1 7152 . . . . 5 (𝑥 = (√‘𝐵) → (𝑥↑2) = ((√‘𝐵)↑2))
2524eqeq1d 2820 . . . 4 (𝑥 = (√‘𝐵) → ((𝑥↑2) = 𝐵 ↔ ((√‘𝐵)↑2) = 𝐵))
26 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑥 = (√‘𝐵) → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘(√‘𝐵)))
2726breq2d 5069 . . . 4 (𝑥 = (√‘𝐵) → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵))))
28 oveq2 7153 . . . . 5 (𝑥 = (√‘𝐵) → (i · 𝑥) = (i · (√‘𝐵)))
29 neleq1 3125 . . . . 5 ((i · 𝑥) = (i · (√‘𝐵)) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
3028, 29syl 17 . . . 4 (𝑥 = (√‘𝐵) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
3125, 27, 303anbi123d 1427 . . 3 (𝑥 = (√‘𝐵) → (((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+)))
3223, 31rmoi 3872 . 2 ((∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)) ∧ ((√‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))) → 𝐴 = (√‘𝐵))
334, 5, 11, 13, 15, 32syl122anc 1371 1 (𝜑𝐴 = (√‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wnel 3120  ∃!wreu 3137  ∃*wrmo 3138   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  ici 10527   · cmul 10530  cle 10664  2c2 11680  +crp 12377  cexp 13417  cre 14444  csqrt 14580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583
This theorem is referenced by:  eqsqrt2d  14716  cphsqrtcl2  23717
  Copyright terms: Public domain W3C validator