MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqsqrtd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqsqrtd 15406
Description: A deduction for showing that a number equals the square root of another. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqsqrtd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
eqsqrtd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
eqsqrtd.3 (𝜑 → (𝐴↑2) = 𝐵)
eqsqrtd.4 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
eqsqrtd.5 (𝜑 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
eqsqrtd (𝜑𝐴 = (√‘𝐵))

Proof of Theorem eqsqrtd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqsqrtd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2 sqreu 15399 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
3 reurmo 3383 . . 3 (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
5 eqsqrtd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6 eqsqrtd.3 . . 3 (𝜑 → (𝐴↑2) = 𝐵)
7 eqsqrtd.4 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
8 eqsqrtd.5 . . . 4 (𝜑 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
9 df-nel 3047 . . . 4 ((i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
108, 9sylibr 234 . . 3 (𝜑 → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)
116, 7, 103jca 1129 . 2 (𝜑 → ((𝐴↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
12 sqrtcl 15400 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (√‘𝐵) ∈ ℂ)
131, 12syl 17 . 2 (𝜑 → (√‘𝐵) ∈ ℂ)
14 sqrtthlem 15401 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
151, 14syl 17 . 2 (𝜑 → (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
16 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
1716eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥↑2) = 𝐵 ↔ (𝐴↑2) = 𝐵))
18 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘𝐴))
1918breq2d 5155 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
20 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (i · 𝑥) = (i · 𝐴))
21 neleq1 3052 . . . . 5 ((i · 𝑥) = (i · 𝐴) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
2317, 19, 223anbi123d 1438 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ ((𝐴↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
24 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑥 = (√‘𝐵) → (𝑥↑2) = ((√‘𝐵)↑2))
2524eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑥 = (√‘𝐵) → ((𝑥↑2) = 𝐵 ↔ ((√‘𝐵)↑2) = 𝐵))
26 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑥 = (√‘𝐵) → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘(√‘𝐵)))
2726breq2d 5155 . . . 4 (𝑥 = (√‘𝐵) → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵))))
28 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑥 = (√‘𝐵) → (i · 𝑥) = (i · (√‘𝐵)))
29 neleq1 3052 . . . . 5 ((i · 𝑥) = (i · (√‘𝐵)) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
3028, 29syl 17 . . . 4 (𝑥 = (√‘𝐵) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
3125, 27, 303anbi123d 1438 . . 3 (𝑥 = (√‘𝐵) → (((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+)))
3223, 31rmoi 3891 . 2 ((∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)) ∧ ((√‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))) → 𝐴 = (√‘𝐵))
334, 5, 11, 13, 15, 32syl122anc 1381 1 (𝜑𝐴 = (√‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wnel 3046  ∃!wreu 3378  ∃*wrmo 3379   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  ici 11157   · cmul 11160  cle 11296  2c2 12321  +crp 13034  cexp 14102  cre 15136  csqrt 15272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275
This theorem is referenced by:  eqsqrt2d  15407  cphsqrtcl2  25220  sqrtcval  43654
  Copyright terms: Public domain W3C validator