MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqsqrtd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqsqrtd 14330
Description: A deduction for showing that a number equals the square root of another. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqsqrtd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
eqsqrtd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
eqsqrtd.3 (𝜑 → (𝐴↑2) = 𝐵)
eqsqrtd.4 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
eqsqrtd.5 (𝜑 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
eqsqrtd (𝜑𝐴 = (√‘𝐵))

Proof of Theorem eqsqrtd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqsqrtd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2 sqreu 14323 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
3 reurmo 3350 . . 3 (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
5 eqsqrtd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6 eqsqrtd.3 . . 3 (𝜑 → (𝐴↑2) = 𝐵)
7 eqsqrtd.4 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
8 eqsqrtd.5 . . . 4 (𝜑 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
9 df-nel 3082 . . . 4 ((i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
108, 9sylibr 225 . . 3 (𝜑 → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)
116, 7, 103jca 1151 . 2 (𝜑 → ((𝐴↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
12 sqrtcl 14324 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (√‘𝐵) ∈ ℂ)
131, 12syl 17 . 2 (𝜑 → (√‘𝐵) ∈ ℂ)
14 sqrtthlem 14325 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
151, 14syl 17 . 2 (𝜑 → (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
16 oveq1 6881 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
1716eqeq1d 2808 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥↑2) = 𝐵 ↔ (𝐴↑2) = 𝐵))
18 fveq2 6408 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘𝐴))
1918breq2d 4856 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
20 oveq2 6882 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (i · 𝑥) = (i · 𝐴))
21 neleq1 3086 . . . . 5 ((i · 𝑥) = (i · 𝐴) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
2317, 19, 223anbi123d 1553 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ ((𝐴↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
24 oveq1 6881 . . . . 5 (𝑥 = (√‘𝐵) → (𝑥↑2) = ((√‘𝐵)↑2))
2524eqeq1d 2808 . . . 4 (𝑥 = (√‘𝐵) → ((𝑥↑2) = 𝐵 ↔ ((√‘𝐵)↑2) = 𝐵))
26 fveq2 6408 . . . . 5 (𝑥 = (√‘𝐵) → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘(√‘𝐵)))
2726breq2d 4856 . . . 4 (𝑥 = (√‘𝐵) → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵))))
28 oveq2 6882 . . . . 5 (𝑥 = (√‘𝐵) → (i · 𝑥) = (i · (√‘𝐵)))
29 neleq1 3086 . . . . 5 ((i · 𝑥) = (i · (√‘𝐵)) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
3028, 29syl 17 . . . 4 (𝑥 = (√‘𝐵) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
3125, 27, 303anbi123d 1553 . . 3 (𝑥 = (√‘𝐵) → (((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+)))
3223, 31rmoi 3725 . 2 ((∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)) ∧ ((√‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))) → 𝐴 = (√‘𝐵))
334, 5, 11, 13, 15, 32syl122anc 1491 1 (𝜑𝐴 = (√‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wnel 3081  ∃!wreu 3098  ∃*wrmo 3099   class class class wbr 4844  cfv 6101  (class class class)co 6874  cc 10219  0cc0 10221  ici 10223   · cmul 10226  cle 10360  2c2 11356  +crp 12046  cexp 13083  cre 14060  csqrt 14196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-sup 8587  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-n0 11560  df-z 11644  df-uz 11905  df-rp 12047  df-seq 13025  df-exp 13084  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199
This theorem is referenced by:  eqsqrt2d  14331  cphsqrtcl2  23198
  Copyright terms: Public domain W3C validator