Theorem eqsqrtd 15079

Description: A deduction for showing that a number equals the square root of another. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsqrtd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
eqsqrtd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
eqsqrtd.3	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = 𝐵)
eqsqrtd.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
eqsqrtd.5	⊢ (𝜑 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
eqsqrtd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (√‘𝐵))

Proof of Theorem eqsqrtd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsqrtd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		sqreu 15072	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
3		reurmo 3364	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
5		eqsqrtd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6		eqsqrtd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = 𝐵)
7		eqsqrtd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
8		eqsqrtd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
9		df-nel 3050	. . . 4 ⊢ ((i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
10	8, 9	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)
11	6, 7, 10	3jca 1127	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
12		sqrtcl 15073	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (√‘𝐵) ∈ ℂ)
13	1, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐵) ∈ ℂ)
14		sqrtthlem 15074	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
15	1, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
16		oveq1 7282	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
17	16	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥↑2) = 𝐵 ↔ (𝐴↑2) = 𝐵))
18		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘𝐴))
19	18	breq2d 5086	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
20		oveq2 7283	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (i · 𝑥) = (i · 𝐴))
21		neleq1 3054	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝑥) = (i · 𝐴) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
23	17, 19, 22	3anbi123d 1435	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ ((𝐴↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
24		oveq1 7282	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → (𝑥↑2) = ((√‘𝐵)↑2))
25	24	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → ((𝑥↑2) = 𝐵 ↔ ((√‘𝐵)↑2) = 𝐵))
26		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘(√‘𝐵)))
27	26	breq2d 5086	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵))))
28		oveq2 7283	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → (i · 𝑥) = (i · (√‘𝐵)))
29		neleq1 3054	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝑥) = (i · (√‘𝐵)) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
30	28, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
31	25, 27, 30	3anbi123d 1435	. . 3 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → (((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+)))
32	23, 31	rmoi 3824	. 2 ⊢ ((∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)) ∧ ((√‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))) → 𝐴 = (√‘𝐵))
33	4, 5, 11, 13, 15, 32	syl122anc 1378	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (√‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3049  ∃!wreu 3066  ∃*wrmo 3067   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  ici 10873   · cmul 10876   ≤ cle 11010  2c2 12028  ℝ⁺crp 12730  ↑cexp 13782  ℜcre 14808  √csqrt 14944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947

This theorem is referenced by:  eqsqrt2d  15080  cphsqrtcl2  24350  sqrtcval  41249