Theorem eqsqrtd 15310

Description: A deduction for showing that a number equals the square root of another. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsqrtd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
eqsqrtd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
eqsqrtd.3	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = 𝐵)
eqsqrtd.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
eqsqrtd.5	⊢ (𝜑 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
eqsqrtd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (√‘𝐵))

Proof of Theorem eqsqrtd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsqrtd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		sqreu 15303	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
3		reurmo 3354	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
5		eqsqrtd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6		eqsqrtd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = 𝐵)
7		eqsqrtd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
8		eqsqrtd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
9		df-nel 3030	. . . 4 ⊢ ((i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
10	8, 9	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)
11	6, 7, 10	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
12		sqrtcl 15304	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (√‘𝐵) ∈ ℂ)
13	1, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐵) ∈ ℂ)
14		sqrtthlem 15305	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
15	1, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
16		oveq1 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
17	16	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥↑2) = 𝐵 ↔ (𝐴↑2) = 𝐵))
18		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘𝐴))
19	18	breq2d 5114	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
20		oveq2 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (i · 𝑥) = (i · 𝐴))
21		neleq1 3035	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝑥) = (i · 𝐴) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
23	17, 19, 22	3anbi123d 1438	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ ((𝐴↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
24		oveq1 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → (𝑥↑2) = ((√‘𝐵)↑2))
25	24	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → ((𝑥↑2) = 𝐵 ↔ ((√‘𝐵)↑2) = 𝐵))
26		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘(√‘𝐵)))
27	26	breq2d 5114	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵))))
28		oveq2 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → (i · 𝑥) = (i · (√‘𝐵)))
29		neleq1 3035	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝑥) = (i · (√‘𝐵)) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
30	28, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
31	25, 27, 30	3anbi123d 1438	. . 3 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → (((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+)))
32	23, 31	rmoi 3851	. 2 ⊢ ((∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)) ∧ ((√‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))) → 𝐴 = (√‘𝐵))
33	4, 5, 11, 13, 15, 32	syl122anc 1381	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (√‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3029  ∃!wreu 3349  ∃*wrmo 3350   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044  ici 11046   · cmul 11049   ≤ cle 11185  2c2 12217  ℝ⁺crp 12927  ↑cexp 14002  ℜcre 15039  √csqrt 15175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178

This theorem is referenced by:  eqsqrt2d  15311  cphsqrtcl2  25062  constrsqrtcl  33742  sqrtcval  43603