Theorem eqsqrtd 15311

Description: A deduction for showing that a number equals the square root of another. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsqrtd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
eqsqrtd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
eqsqrtd.3	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = 𝐵)
eqsqrtd.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
eqsqrtd.5	⊢ (𝜑 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
eqsqrtd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (√‘𝐵))

Proof of Theorem eqsqrtd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsqrtd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		sqreu 15304	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
3		reurmo 3371	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
5		eqsqrtd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6		eqsqrtd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = 𝐵)
7		eqsqrtd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
8		eqsqrtd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
9		df-nel 3039	. . . 4 ⊢ ((i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
10	8, 9	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)
11	6, 7, 10	3jca 1125	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
12		sqrtcl 15305	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (√‘𝐵) ∈ ℂ)
13	1, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐵) ∈ ℂ)
14		sqrtthlem 15306	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
15	1, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
16		oveq1 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
17	16	eqeq1d 2726	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥↑2) = 𝐵 ↔ (𝐴↑2) = 𝐵))
18		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘𝐴))
19	18	breq2d 5150	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
20		oveq2 7409	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (i · 𝑥) = (i · 𝐴))
21		neleq1 3044	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝑥) = (i · 𝐴) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
23	17, 19, 22	3anbi123d 1432	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ ((𝐴↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
24		oveq1 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → (𝑥↑2) = ((√‘𝐵)↑2))
25	24	eqeq1d 2726	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → ((𝑥↑2) = 𝐵 ↔ ((√‘𝐵)↑2) = 𝐵))
26		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘(√‘𝐵)))
27	26	breq2d 5150	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵))))
28		oveq2 7409	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → (i · 𝑥) = (i · (√‘𝐵)))
29		neleq1 3044	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝑥) = (i · (√‘𝐵)) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
30	28, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
31	25, 27, 30	3anbi123d 1432	. . 3 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → (((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+)))
32	23, 31	rmoi 3877	. 2 ⊢ ((∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)) ∧ ((√‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))) → 𝐴 = (√‘𝐵))
33	4, 5, 11, 13, 15, 32	syl122anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (√‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∉ wnel 3038  ∃!wreu 3366  ∃*wrmo 3367   class class class wbr 5138  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℂcc 11104  0cc0 11106  ici 11108   · cmul 11111   ≤ cle 11246  2c2 12264  ℝ⁺crp 12971  ↑cexp 14024  ℜcre 15041  √csqrt 15177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180

This theorem is referenced by:  eqsqrt2d  15312  cphsqrtcl2  25036  sqrtcval  42881