Theorem cphsqrtcl2 25374

Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under square roots of all numbers except possibly the negative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphsqrtcl2	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrt0 15311	. . . . 5 ⊢ (√‘0) = 0
2		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (√‘𝐴) = (√‘0))
3		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
4	1, 2, 3	3eqtr4a 2826	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (√‘𝐴) = 𝐴)
5	4	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = 0) → (√‘𝐴) = 𝐴)
6		simpl2 1211	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ 𝐾)
7	5, 6	eqeltrd 2865	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = 0) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
8		simpl1 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
9		cphsca.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
10		cphsca.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
11	9, 10	cphsubrg 25368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
12	8, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
13		cnfldbas 21555	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
14	13	subrgss 20700	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
15	12, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐾 ⊆ ℂ)
16		simpl2 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ 𝐾)
17	9, 10	cphabscl 25373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (abs‘𝐴) ∈ 𝐾)
18	8, 16, 17	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ 𝐾)
19	15, 16	sseldd 3939	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
20	19	abscld 15509	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
21	19	absge0d 15517	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
22	9, 10	cphsqrtcl 25372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((abs‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ 𝐾)
23	8, 18, 20, 21, 22	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ 𝐾)
24		cnfldadd 21557	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
25	24	subrgacl 20711	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (abs‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ 𝐾)
26	12, 18, 16, 25	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ 𝐾)
27	9, 10	cphabscl 25373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ 𝐾) → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ 𝐾)
28	8, 26, 27	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ 𝐾)
29	15, 26	sseldd 3939	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ ℂ)
30		simpl3 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ -𝐴 ∈ ℝ+)
31	20	recnd 11248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
32	31, 19	subnegd 11587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) − -𝐴) = ((abs‘𝐴) + 𝐴))
33	32	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) − -𝐴) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0))
34	19	negcld 11567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → -𝐴 ∈ ℂ)
35	31, 34	subeq0ad 11590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) − -𝐴) = 0 ↔ (abs‘𝐴) = -𝐴))
36	33, 35	bitr3d 284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0 ↔ (abs‘𝐴) = -𝐴))
37		absrpcl 15358	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
38	19, 37	sylancom 600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
39		eleq1 2853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs‘𝐴) = -𝐴 → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ+ ↔ -𝐴 ∈ ℝ+))
40	38, 39	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) = -𝐴 → -𝐴 ∈ ℝ+))
41	36, 40	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ+))
42	41	necon3bd 2974	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0))
43	30, 42	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0)
44	29, 43	absne0d 15520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ≠ 0)
45	9, 10	cphdivcl 25370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ≠ 0)) → (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ 𝐾)
46	8, 26, 28, 44, 45	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ 𝐾)
47		cnfldmul 21559	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
48	47	subrgmcl 20712	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (√‘(abs‘𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ 𝐾) → ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ 𝐾)
49	12, 23, 46, 48	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ 𝐾)
50	15, 49	sseldd 3939	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ ℂ)
51		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) = ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
52	51	sqreulem 15430	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∧ (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∉ ℝ+))
53	19, 43, 52	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∧ (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∉ ℝ+))
54	53	simp1d 1160	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))↑2) = 𝐴)
55	53	simp2d 1161	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))))
56	53	simp3d 1162	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∉ ℝ+)
57		df-nel 3067	. . . . 5 ⊢ ((i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∈ ℝ+)
58	56, 57	sylib 221	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∈ ℝ+)
59	50, 19, 54, 55, 58	eqsqrtd 15438	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) = (√‘𝐴))
60	59, 49	eqeltrrd 2866	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
61	7, 60	pm2.61dane 3047	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∉ wnel 3066   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ℝcr 11110  0cc0 11111  ici 11113   + caddc 11114   · cmul 11116   ≤ cle 11255   − cmin 11452  -cneg 11453   / cdiv 11882  2c2 12306  ℝ⁺crp 13027  ↑cexp 14110  ℜcre 15167  √csqrt 15303  abscabs 15304  Basecbs 17286  Scalarcsca 17330  SubRingcsubrg 20697  ℂ_fldccnfld 21551  ℂPreHilccph 25354

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190  ax-mulf 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-rp 13028  df-ico 13389  df-fz 13547  df-seq 14051  df-exp 14111  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-unif 17350  df-0g 17511  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-mhm 18864  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-subg 19212  df-ghm 19307  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-ring 20340  df-cring 20341  df-oppr 20444  df-dvdsr 20464  df-unit 20465  df-invr 20495  df-dvr 20508  df-rhm 20579  df-subrng 20674  df-subrg 20698  df-drng 20858  df-staf 20971  df-srng 20972  df-lvec 21253  df-cnfld 21552  df-phl 21805  df-cph 25356

This theorem is used by:  cphsqrtcl3  25375