Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | sqrt0 15194 |
. . . . 5
β’
(ββ0) = 0 |
2 | | fveq2 6885 |
. . . . 5
β’ (π΄ = 0 β (ββπ΄) =
(ββ0)) |
3 | | id 22 |
. . . . 5
β’ (π΄ = 0 β π΄ = 0) |
4 | 1, 2, 3 | 3eqtr4a 2792 |
. . . 4
β’ (π΄ = 0 β (ββπ΄) = π΄) |
5 | 4 | adantl 481 |
. . 3
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ = 0) β
(ββπ΄) = π΄) |
6 | | simpl2 1189 |
. . 3
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ = 0) β π΄ β πΎ) |
7 | 5, 6 | eqeltrd 2827 |
. 2
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ = 0) β
(ββπ΄) β
πΎ) |
8 | | simpl1 1188 |
. . . . . . 7
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β π β
βPreHil) |
9 | | cphsca.f |
. . . . . . . 8
β’ πΉ = (Scalarβπ) |
10 | | cphsca.k |
. . . . . . . 8
β’ πΎ = (BaseβπΉ) |
11 | 9, 10 | cphsubrg 25063 |
. . . . . . 7
β’ (π β βPreHil β
πΎ β
(SubRingββfld)) |
12 | 8, 11 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β πΎ β
(SubRingββfld)) |
13 | | cnfldbas 21244 |
. . . . . . 7
β’ β =
(Baseββfld) |
14 | 13 | subrgss 20474 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β
(SubRingββfld) β πΎ β β) |
15 | 12, 14 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β πΎ β
β) |
16 | | simpl2 1189 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β π΄ β πΎ) |
17 | 9, 10 | cphabscl 25068 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ) β (absβπ΄) β πΎ) |
18 | 8, 16, 17 | syl2anc 583 |
. . . . . . 7
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β (absβπ΄) β πΎ) |
19 | 15, 16 | sseldd 3978 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β π΄ β
β) |
20 | 19 | abscld 15389 |
. . . . . . 7
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β (absβπ΄) β
β) |
21 | 19 | absge0d 15397 |
. . . . . . 7
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β 0 β€
(absβπ΄)) |
22 | 9, 10 | cphsqrtcl 25067 |
. . . . . . 7
β’ ((π β βPreHil β§
((absβπ΄) β πΎ β§ (absβπ΄) β β β§ 0 β€
(absβπ΄))) β
(ββ(absβπ΄)) β πΎ) |
23 | 8, 18, 20, 21, 22 | syl13anc 1369 |
. . . . . 6
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β
(ββ(absβπ΄)) β πΎ) |
24 | | cnfldadd 21246 |
. . . . . . . . 9
β’ + =
(+gββfld) |
25 | 24 | subrgacl 20485 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β
(SubRingββfld) β§ (absβπ΄) β πΎ β§ π΄ β πΎ) β ((absβπ΄) + π΄) β πΎ) |
26 | 12, 18, 16, 25 | syl3anc 1368 |
. . . . . . 7
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β
((absβπ΄) + π΄) β πΎ) |
27 | 9, 10 | cphabscl 25068 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β βPreHil β§
((absβπ΄) + π΄) β πΎ) β (absβ((absβπ΄) + π΄)) β πΎ) |
28 | 8, 26, 27 | syl2anc 583 |
. . . . . . 7
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β
(absβ((absβπ΄) +
π΄)) β πΎ) |
29 | 15, 26 | sseldd 3978 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β
((absβπ΄) + π΄) β
β) |
30 | | simpl3 1190 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β Β¬ -π΄ β
β+) |
31 | 20 | recnd 11246 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β (absβπ΄) β
β) |
32 | 31, 19 | subnegd 11582 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β
((absβπ΄) β
-π΄) = ((absβπ΄) + π΄)) |
33 | 32 | eqeq1d 2728 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β
(((absβπ΄) β
-π΄) = 0 β
((absβπ΄) + π΄) = 0)) |
34 | 19 | negcld 11562 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β -π΄ β
β) |
35 | 31, 34 | subeq0ad 11585 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β
(((absβπ΄) β
-π΄) = 0 β
(absβπ΄) = -π΄)) |
36 | 33, 35 | bitr3d 281 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β
(((absβπ΄) + π΄) = 0 β (absβπ΄) = -π΄)) |
37 | | absrpcl 15241 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π΄ β β β§ π΄ β 0) β (absβπ΄) β
β+) |
38 | 19, 37 | sylancom 587 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β (absβπ΄) β
β+) |
39 | | eleq1 2815 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
((absβπ΄) =
-π΄ β ((absβπ΄) β β+
β -π΄ β
β+)) |
40 | 38, 39 | syl5ibcom 244 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β
((absβπ΄) = -π΄ β -π΄ β
β+)) |
41 | 36, 40 | sylbid 239 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β
(((absβπ΄) + π΄) = 0 β -π΄ β
β+)) |
42 | 41 | necon3bd 2948 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β (Β¬ -π΄ β β+
β ((absβπ΄) +
π΄) β
0)) |
43 | 30, 42 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β
((absβπ΄) + π΄) β 0) |
44 | 29, 43 | absne0d 15400 |
. . . . . . 7
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β
(absβ((absβπ΄) +
π΄)) β
0) |
45 | 9, 10 | cphdivcl 25065 |
. . . . . . 7
β’ ((π β βPreHil β§
(((absβπ΄) + π΄) β πΎ β§ (absβ((absβπ΄) + π΄)) β πΎ β§ (absβ((absβπ΄) + π΄)) β 0)) β (((absβπ΄) + π΄) / (absβ((absβπ΄) + π΄))) β πΎ) |
46 | 8, 26, 28, 44, 45 | syl13anc 1369 |
. . . . . 6
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β
(((absβπ΄) + π΄) / (absβ((absβπ΄) + π΄))) β πΎ) |
47 | | cnfldmul 21248 |
. . . . . . 7
β’ Β·
= (.rββfld) |
48 | 47 | subrgmcl 20486 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β
(SubRingββfld) β§ (ββ(absβπ΄)) β πΎ β§ (((absβπ΄) + π΄) / (absβ((absβπ΄) + π΄))) β πΎ) β ((ββ(absβπ΄)) Β· (((absβπ΄) + π΄) / (absβ((absβπ΄) + π΄)))) β πΎ) |
49 | 12, 23, 46, 48 | syl3anc 1368 |
. . . . 5
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β
((ββ(absβπ΄)) Β· (((absβπ΄) + π΄) / (absβ((absβπ΄) + π΄)))) β πΎ) |
50 | 15, 49 | sseldd 3978 |
. . . 4
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β
((ββ(absβπ΄)) Β· (((absβπ΄) + π΄) / (absβ((absβπ΄) + π΄)))) β β) |
51 | | eqid 2726 |
. . . . . . 7
β’
((ββ(absβπ΄)) Β· (((absβπ΄) + π΄) / (absβ((absβπ΄) + π΄)))) = ((ββ(absβπ΄)) Β· (((absβπ΄) + π΄) / (absβ((absβπ΄) + π΄)))) |
52 | 51 | sqreulem 15312 |
. . . . . 6
β’ ((π΄ β β β§
((absβπ΄) + π΄) β 0) β
((((ββ(absβπ΄)) Β· (((absβπ΄) + π΄) / (absβ((absβπ΄) + π΄))))β2) = π΄ β§ 0 β€
(ββ((ββ(absβπ΄)) Β· (((absβπ΄) + π΄) / (absβ((absβπ΄) + π΄))))) β§ (i Β·
((ββ(absβπ΄)) Β· (((absβπ΄) + π΄) / (absβ((absβπ΄) + π΄))))) β
β+)) |
53 | 19, 43, 52 | syl2anc 583 |
. . . . 5
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β
((((ββ(absβπ΄)) Β· (((absβπ΄) + π΄) / (absβ((absβπ΄) + π΄))))β2) = π΄ β§ 0 β€
(ββ((ββ(absβπ΄)) Β· (((absβπ΄) + π΄) / (absβ((absβπ΄) + π΄))))) β§ (i Β·
((ββ(absβπ΄)) Β· (((absβπ΄) + π΄) / (absβ((absβπ΄) + π΄))))) β
β+)) |
54 | 53 | simp1d 1139 |
. . . 4
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β
(((ββ(absβπ΄)) Β· (((absβπ΄) + π΄) / (absβ((absβπ΄) + π΄))))β2) = π΄) |
55 | 53 | simp2d 1140 |
. . . 4
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β 0 β€
(ββ((ββ(absβπ΄)) Β· (((absβπ΄) + π΄) / (absβ((absβπ΄) + π΄)))))) |
56 | 53 | simp3d 1141 |
. . . . 5
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β (i Β·
((ββ(absβπ΄)) Β· (((absβπ΄) + π΄) / (absβ((absβπ΄) + π΄))))) β
β+) |
57 | | df-nel 3041 |
. . . . 5
β’ ((i
Β· ((ββ(absβπ΄)) Β· (((absβπ΄) + π΄) / (absβ((absβπ΄) + π΄))))) β β+ β
Β¬ (i Β· ((ββ(absβπ΄)) Β· (((absβπ΄) + π΄) / (absβ((absβπ΄) + π΄))))) β
β+) |
58 | 56, 57 | sylib 217 |
. . . 4
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β Β¬ (i
Β· ((ββ(absβπ΄)) Β· (((absβπ΄) + π΄) / (absβ((absβπ΄) + π΄))))) β
β+) |
59 | 50, 19, 54, 55, 58 | eqsqrtd 15320 |
. . 3
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β
((ββ(absβπ΄)) Β· (((absβπ΄) + π΄) / (absβ((absβπ΄) + π΄)))) = (ββπ΄)) |
60 | 59, 49 | eqeltrrd 2828 |
. 2
β’ (((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β§ π΄ β 0) β
(ββπ΄) β
πΎ) |
61 | 7, 60 | pm2.61dane 3023 |
1
β’ ((π β βPreHil β§
π΄ β πΎ β§ Β¬ -π΄ β β+) β
(ββπ΄) β
πΎ) |