Theorem cphsqrtcl2 24350

Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under square roots of all numbers except possibly the negative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphsqrtcl2	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrt0 14953	. . . . 5 ⊢ (√‘0) = 0
2		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (√‘𝐴) = (√‘0))
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
4	1, 2, 3	3eqtr4a 2804	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (√‘𝐴) = 𝐴)
5	4	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = 0) → (√‘𝐴) = 𝐴)
6		simpl2 1191	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ 𝐾)
7	5, 6	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = 0) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
8		simpl1 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
9		cphsca.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
10		cphsca.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
11	9, 10	cphsubrg 24344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
12	8, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
13		cnfldbas 20601	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
14	13	subrgss 20025	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
15	12, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐾 ⊆ ℂ)
16		simpl2 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ 𝐾)
17	9, 10	cphabscl 24349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (abs‘𝐴) ∈ 𝐾)
18	8, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ 𝐾)
19	15, 16	sseldd 3922	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
20	19	abscld 15148	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
21	19	absge0d 15156	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
22	9, 10	cphsqrtcl 24348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((abs‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ 𝐾)
23	8, 18, 20, 21, 22	syl13anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ 𝐾)
24		cnfldadd 20602	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
25	24	subrgacl 20035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (abs‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ 𝐾)
26	12, 18, 16, 25	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ 𝐾)
27	9, 10	cphabscl 24349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ 𝐾) → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ 𝐾)
28	8, 26, 27	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ 𝐾)
29	15, 26	sseldd 3922	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ ℂ)
30		simpl3 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ -𝐴 ∈ ℝ+)
31	20	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
32	31, 19	subnegd 11339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) − -𝐴) = ((abs‘𝐴) + 𝐴))
33	32	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) − -𝐴) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0))
34	19	negcld 11319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → -𝐴 ∈ ℂ)
35	31, 34	subeq0ad 11342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) − -𝐴) = 0 ↔ (abs‘𝐴) = -𝐴))
36	33, 35	bitr3d 280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0 ↔ (abs‘𝐴) = -𝐴))
37		absrpcl 15000	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
38	19, 37	sylancom 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
39		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs‘𝐴) = -𝐴 → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ+ ↔ -𝐴 ∈ ℝ+))
40	38, 39	syl5ibcom 244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) = -𝐴 → -𝐴 ∈ ℝ+))
41	36, 40	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ+))
42	41	necon3bd 2957	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0))
43	30, 42	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0)
44	29, 43	absne0d 15159	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ≠ 0)
45	9, 10	cphdivcl 24346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ≠ 0)) → (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ 𝐾)
46	8, 26, 28, 44, 45	syl13anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ 𝐾)
47		cnfldmul 20603	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
48	47	subrgmcl 20036	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (√‘(abs‘𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ 𝐾) → ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ 𝐾)
49	12, 23, 46, 48	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ 𝐾)
50	15, 49	sseldd 3922	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ ℂ)
51		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) = ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
52	51	sqreulem 15071	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∧ (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∉ ℝ+))
53	19, 43, 52	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∧ (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∉ ℝ+))
54	53	simp1d 1141	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))↑2) = 𝐴)
55	53	simp2d 1142	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))))
56	53	simp3d 1143	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∉ ℝ+)
57		df-nel 3050	. . . . 5 ⊢ ((i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∈ ℝ+)
58	56, 57	sylib 217	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∈ ℝ+)
59	50, 19, 54, 55, 58	eqsqrtd 15079	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) = (√‘𝐴))
60	59, 49	eqeltrrd 2840	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
61	7, 60	pm2.61dane 3032	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∉ wnel 3049   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  ici 10873   + caddc 10874   · cmul 10876   ≤ cle 11010   − cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  2c2 12028  ℝ⁺crp 12730  ↑cexp 13782  ℜcre 14808  √csqrt 14944  abscabs 14945  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965  SubRingcsubrg 20020  ℂ_fldccnfld 20597  ℂPreHilccph 24330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cmn 19388  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-rnghom 19959  df-drng 19993  df-subrg 20022  df-staf 20105  df-srng 20106  df-lvec 20365  df-cnfld 20598  df-phl 20831  df-cph 24332

This theorem is referenced by:  cphsqrtcl3  24351