MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsqrtcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsqrtcl2 23205
Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under square roots of all numbers except possibly the negative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cphsqrtcl2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl2
StepHypRef Expression
1 sqrt0 14190 . . . . 5 (√‘0) = 0
2 fveq2 6332 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (√‘𝐴) = (√‘0))
3 id 22 . . . . 5 (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
41, 2, 33eqtr4a 2831 . . . 4 (𝐴 = 0 → (√‘𝐴) = 𝐴)
54adantl 467 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = 0) → (√‘𝐴) = 𝐴)
6 simpl2 1229 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴𝐾)
75, 6eqeltrd 2850 . 2 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = 0) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
8 simpl1 1227 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
9 cphsca.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
10 cphsca.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐹)
119, 10cphsubrg 23199 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
128, 11syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
13 cnfldbas 19965 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
1413subrgss 18991 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
1512, 14syl 17 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐾 ⊆ ℂ)
16 simpl2 1229 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴𝐾)
179, 10cphabscl 23204 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (abs‘𝐴) ∈ 𝐾)
188, 16, 17syl2anc 573 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ 𝐾)
1915, 16sseldd 3753 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2019abscld 14383 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2119absge0d 14391 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
229, 10cphsqrtcl 23203 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((abs‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ 𝐾)
238, 18, 20, 21, 22syl13anc 1478 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ 𝐾)
24 cnfldadd 19966 . . . . . . . . 9 + = (+g‘ℂfld)
2524subrgacl 19001 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (abs‘𝐴) ∈ 𝐾𝐴𝐾) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ 𝐾)
2612, 18, 16, 25syl3anc 1476 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ 𝐾)
279, 10cphabscl 23204 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ 𝐾) → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ 𝐾)
288, 26, 27syl2anc 573 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ 𝐾)
2915, 26sseldd 3753 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ ℂ)
30 simpl3 1231 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ -𝐴 ∈ ℝ+)
3120recnd 10270 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
3231, 19subnegd 10601 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) − -𝐴) = ((abs‘𝐴) + 𝐴))
3332eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) − -𝐴) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0))
3419negcld 10581 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → -𝐴 ∈ ℂ)
3531, 34subeq0ad 10604 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) − -𝐴) = 0 ↔ (abs‘𝐴) = -𝐴))
3633, 35bitr3d 270 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0 ↔ (abs‘𝐴) = -𝐴))
37 absrpcl 14236 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
3819, 37sylancom 576 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
39 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘𝐴) = -𝐴 → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ+ ↔ -𝐴 ∈ ℝ+))
4038, 39syl5ibcom 235 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) = -𝐴 → -𝐴 ∈ ℝ+))
4136, 40sylbid 230 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ+))
4241necon3bd 2957 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0))
4330, 42mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0)
4429, 43absne0d 14394 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ≠ 0)
459, 10cphdivcl 23201 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ≠ 0)) → (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ 𝐾)
468, 26, 28, 44, 45syl13anc 1478 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ 𝐾)
47 cnfldmul 19967 . . . . . . 7 · = (.r‘ℂfld)
4847subrgmcl 19002 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (√‘(abs‘𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ 𝐾) → ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ 𝐾)
4912, 23, 46, 48syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ 𝐾)
5015, 49sseldd 3753 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ ℂ)
51 eqid 2771 . . . . . . 7 ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) = ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
5251sqreulem 14307 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∧ (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∉ ℝ+))
5319, 43, 52syl2anc 573 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∧ (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∉ ℝ+))
5453simp1d 1136 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))↑2) = 𝐴)
5553simp2d 1137 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))))
5653simp3d 1138 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∉ ℝ+)
57 df-nel 3047 . . . . 5 ((i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∈ ℝ+)
5856, 57sylib 208 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∈ ℝ+)
5950, 19, 54, 55, 58eqsqrtd 14315 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) = (√‘𝐴))
6059, 49eqeltrrd 2851 . 2 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
617, 60pm2.61dane 3030 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wnel 3046  wss 3723   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  ici 10140   + caddc 10141   · cmul 10143  cle 10277  cmin 10468  -cneg 10469   / cdiv 10886  2c2 11272  +crp 12035  cexp 13067  cre 14045  csqrt 14181  abscabs 14182  Basecbs 16064  Scalarcsca 16152  SubRingcsubrg 18986  fldccnfld 19961  ℂPreHilccph 23185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cmn 18402  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-rnghom 18925  df-drng 18959  df-subrg 18988  df-staf 19055  df-srng 19056  df-lvec 19316  df-cnfld 19962  df-phl 20188  df-cph 23187
This theorem is referenced by:  cphsqrtcl3  23206
  Copyright terms: Public domain W3C validator