Theorem cphsqrtcl2 25234

Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under square roots of all numbers except possibly the negative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphsqrtcl2	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrt0 15277	. . . . 5 ⊢ (√‘0) = 0
2		fveq2 6907	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (√‘𝐴) = (√‘0))
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
4	1, 2, 3	3eqtr4a 2801	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (√‘𝐴) = 𝐴)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = 0) → (√‘𝐴) = 𝐴)
6		simpl2 1191	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ 𝐾)
7	5, 6	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = 0) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
8		simpl1 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
9		cphsca.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
10		cphsca.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
11	9, 10	cphsubrg 25228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
12	8, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
13		cnfldbas 21386	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
14	13	subrgss 20589	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
15	12, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐾 ⊆ ℂ)
16		simpl2 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ 𝐾)
17	9, 10	cphabscl 25233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (abs‘𝐴) ∈ 𝐾)
18	8, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ 𝐾)
19	15, 16	sseldd 3996	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
20	19	abscld 15472	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
21	19	absge0d 15480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
22	9, 10	cphsqrtcl 25232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((abs‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ 𝐾)
23	8, 18, 20, 21, 22	syl13anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ 𝐾)
24		cnfldadd 21388	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
25	24	subrgacl 20600	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (abs‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ 𝐾)
26	12, 18, 16, 25	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ 𝐾)
27	9, 10	cphabscl 25233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ 𝐾) → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ 𝐾)
28	8, 26, 27	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ 𝐾)
29	15, 26	sseldd 3996	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ ℂ)
30		simpl3 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ -𝐴 ∈ ℝ+)
31	20	recnd 11287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
32	31, 19	subnegd 11625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) − -𝐴) = ((abs‘𝐴) + 𝐴))
33	32	eqeq1d 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) − -𝐴) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0))
34	19	negcld 11605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → -𝐴 ∈ ℂ)
35	31, 34	subeq0ad 11628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) − -𝐴) = 0 ↔ (abs‘𝐴) = -𝐴))
36	33, 35	bitr3d 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0 ↔ (abs‘𝐴) = -𝐴))
37		absrpcl 15324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
38	19, 37	sylancom 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
39		eleq1 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs‘𝐴) = -𝐴 → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ+ ↔ -𝐴 ∈ ℝ+))
40	38, 39	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) = -𝐴 → -𝐴 ∈ ℝ+))
41	36, 40	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ+))
42	41	necon3bd 2952	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0))
43	30, 42	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0)
44	29, 43	absne0d 15483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ≠ 0)
45	9, 10	cphdivcl 25230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ≠ 0)) → (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ 𝐾)
46	8, 26, 28, 44, 45	syl13anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ 𝐾)
47		cnfldmul 21390	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
48	47	subrgmcl 20601	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (√‘(abs‘𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ 𝐾) → ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ 𝐾)
49	12, 23, 46, 48	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ 𝐾)
50	15, 49	sseldd 3996	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ ℂ)
51		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) = ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
52	51	sqreulem 15395	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∧ (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∉ ℝ+))
53	19, 43, 52	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∧ (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∉ ℝ+))
54	53	simp1d 1141	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))↑2) = 𝐴)
55	53	simp2d 1142	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))))
56	53	simp3d 1143	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∉ ℝ+)
57		df-nel 3045	. . . . 5 ⊢ ((i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∈ ℝ+)
58	56, 57	sylib 218	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∈ ℝ+)
59	50, 19, 54, 55, 58	eqsqrtd 15403	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) = (√‘𝐴))
60	59, 49	eqeltrrd 2840	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
61	7, 60	pm2.61dane 3027	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∉ wnel 3044   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158   ≤ cle 11294   − cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  ℝ⁺crp 13032  ↑cexp 14099  ℜcre 15133  √csqrt 15269  abscabs 15270  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301  SubRingcsubrg 20586  ℂ_fldccnfld 21382  ℂPreHilccph 25214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-staf 20857  df-srng 20858  df-lvec 21120  df-cnfld 21383  df-phl 21662  df-cph 25216

This theorem is referenced by:  cphsqrtcl3  25235