Theorem cphsqrtcl2 24348

Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under square roots of all numbers except possibly the negative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphsqrtcl2	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrt0 14951	. . . . 5 ⊢ (√‘0) = 0
2		fveq2 6771	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (√‘𝐴) = (√‘0))
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
4	1, 2, 3	3eqtr4a 2806	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (√‘𝐴) = 𝐴)
5	4	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = 0) → (√‘𝐴) = 𝐴)
6		simpl2 1191	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ 𝐾)
7	5, 6	eqeltrd 2841	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = 0) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
8		simpl1 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
9		cphsca.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
10		cphsca.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
11	9, 10	cphsubrg 24342	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
12	8, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
13		cnfldbas 20599	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
14	13	subrgss 20023	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
15	12, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐾 ⊆ ℂ)
16		simpl2 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ 𝐾)
17	9, 10	cphabscl 24347	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (abs‘𝐴) ∈ 𝐾)
18	8, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ 𝐾)
19	15, 16	sseldd 3927	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
20	19	abscld 15146	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
21	19	absge0d 15154	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
22	9, 10	cphsqrtcl 24346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((abs‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ 𝐾)
23	8, 18, 20, 21, 22	syl13anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ 𝐾)
24		cnfldadd 20600	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
25	24	subrgacl 20033	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (abs‘𝐴) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ 𝐾)
26	12, 18, 16, 25	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ 𝐾)
27	9, 10	cphabscl 24347	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ 𝐾) → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ 𝐾)
28	8, 26, 27	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ 𝐾)
29	15, 26	sseldd 3927	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ ℂ)
30		simpl3 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ -𝐴 ∈ ℝ+)
31	20	recnd 11004	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
32	31, 19	subnegd 11339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) − -𝐴) = ((abs‘𝐴) + 𝐴))
33	32	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) − -𝐴) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0))
34	19	negcld 11319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → -𝐴 ∈ ℂ)
35	31, 34	subeq0ad 11342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) − -𝐴) = 0 ↔ (abs‘𝐴) = -𝐴))
36	33, 35	bitr3d 280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0 ↔ (abs‘𝐴) = -𝐴))
37		absrpcl 14998	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
38	19, 37	sylancom 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
39		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs‘𝐴) = -𝐴 → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ+ ↔ -𝐴 ∈ ℝ+))
40	38, 39	syl5ibcom 244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) = -𝐴 → -𝐴 ∈ ℝ+))
41	36, 40	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) + 𝐴) = 0 → -𝐴 ∈ ℝ+))
42	41	necon3bd 2959	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0))
43	30, 42	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0)
44	29, 43	absne0d 15157	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ≠ 0)
45	9, 10	cphdivcl 24344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (((abs‘𝐴) + 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)) ≠ 0)) → (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ 𝐾)
46	8, 26, 28, 44, 45	syl13anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ 𝐾)
47		cnfldmul 20601	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
48	47	subrgmcl 20034	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (√‘(abs‘𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))) ∈ 𝐾) → ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ 𝐾)
49	12, 23, 46, 48	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ 𝐾)
50	15, 49	sseldd 3927	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) ∈ ℂ)
51		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) = ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))
52	51	sqreulem 15069	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) + 𝐴) ≠ 0) → ((((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∧ (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∉ ℝ+))
53	19, 43, 52	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∧ (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∉ ℝ+))
54	53	simp1d 1141	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))↑2) = 𝐴)
55	53	simp2d 1142	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (ℜ‘((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))))
56	53	simp3d 1143	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∉ ℝ+)
57		df-nel 3052	. . . . 5 ⊢ ((i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∈ ℝ+)
58	56, 57	sylib 217	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ (i · ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴))))) ∈ ℝ+)
59	50, 19, 54, 55, 58	eqsqrtd 15077	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘(abs‘𝐴)) · (((abs‘𝐴) + 𝐴) / (abs‘((abs‘𝐴) + 𝐴)))) = (√‘𝐴))
60	59, 49	eqeltrrd 2842	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
61	7, 60	pm2.61dane 3034	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945   ∉ wnel 3051   ⊆ wss 3892   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  ℂcc 10870  ℝcr 10871  0cc0 10872  ici 10874   + caddc 10875   · cmul 10877   ≤ cle 11011   − cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  2c2 12028  ℝ⁺crp 12729  ↑cexp 13780  ℜcre 14806  √csqrt 14942  abscabs 14943  Basecbs 16910  Scalarcsca 16963  SubRingcsubrg 20018  ℂ_fldccnfld 20595  ℂPreHilccph 24328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950  ax-addf 10951  ax-mulf 10952

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-tpos 8033  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-rp 12730  df-ico 13084  df-fz 13239  df-seq 13720  df-exp 13781  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-0g 17150  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-subg 18750  df-ghm 18830  df-cmn 19386  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-cring 19784  df-oppr 19860  df-dvdsr 19881  df-unit 19882  df-invr 19912  df-dvr 19923  df-rnghom 19957  df-drng 19991  df-subrg 20020  df-staf 20103  df-srng 20104  df-lvec 20363  df-cnfld 20596  df-phl 20829  df-cph 24330

This theorem is referenced by:  cphsqrtcl3  24349