MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsqrtcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsqrtcl2 25130
Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is closed under square roots of all numbers except possibly the negative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
cphsca.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
cphsqrtcl2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl2
StepHypRef Expression
1 sqrt0 15218 . . . . 5 (βˆšβ€˜0) = 0
2 fveq2 6891 . . . . 5 (𝐴 = 0 β†’ (βˆšβ€˜π΄) = (βˆšβ€˜0))
3 id 22 . . . . 5 (𝐴 = 0 β†’ 𝐴 = 0)
41, 2, 33eqtr4a 2791 . . . 4 (𝐴 = 0 β†’ (βˆšβ€˜π΄) = 𝐴)
54adantl 480 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = 0) β†’ (βˆšβ€˜π΄) = 𝐴)
6 simpl2 1189 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = 0) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
75, 6eqeltrd 2825 . 2 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = 0) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ 𝐾)
8 simpl1 1188 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
9 cphsca.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
10 cphsca.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
119, 10cphsubrg 25124 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
128, 11syl 17 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
13 cnfldbas 21285 . . . . . . 7 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
1413subrgss 20513 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
1512, 14syl 17 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
16 simpl2 1189 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
179, 10cphabscl 25129 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ 𝐾)
188, 16, 17syl2anc 582 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ 𝐾)
1915, 16sseldd 3973 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2019abscld 15413 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2119absge0d 15421 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π΄))
229, 10cphsqrtcl 25128 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ ((absβ€˜π΄) ∈ 𝐾 ∧ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π΄))) β†’ (βˆšβ€˜(absβ€˜π΄)) ∈ 𝐾)
238, 18, 20, 21, 22syl13anc 1369 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (βˆšβ€˜(absβ€˜π΄)) ∈ 𝐾)
24 cnfldadd 21287 . . . . . . . . 9 + = (+gβ€˜β„‚fld)
2524subrgacl 20524 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ (absβ€˜π΄) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ ((absβ€˜π΄) + 𝐴) ∈ 𝐾)
2612, 18, 16, 25syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((absβ€˜π΄) + 𝐴) ∈ 𝐾)
279, 10cphabscl 25129 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ ((absβ€˜π΄) + 𝐴) ∈ 𝐾) β†’ (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴)) ∈ 𝐾)
288, 26, 27syl2anc 582 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴)) ∈ 𝐾)
2915, 26sseldd 3973 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((absβ€˜π΄) + 𝐴) ∈ β„‚)
30 simpl3 1190 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+)
3120recnd 11270 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ β„‚)
3231, 19subnegd 11606 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((absβ€˜π΄) βˆ’ -𝐴) = ((absβ€˜π΄) + 𝐴))
3332eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (((absβ€˜π΄) βˆ’ -𝐴) = 0 ↔ ((absβ€˜π΄) + 𝐴) = 0))
3419negcld 11586 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ -𝐴 ∈ β„‚)
3531, 34subeq0ad 11609 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (((absβ€˜π΄) βˆ’ -𝐴) = 0 ↔ (absβ€˜π΄) = -𝐴))
3633, 35bitr3d 280 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (((absβ€˜π΄) + 𝐴) = 0 ↔ (absβ€˜π΄) = -𝐴))
37 absrpcl 15265 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ+)
3819, 37sylancom 586 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ+)
39 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . 12 ((absβ€˜π΄) = -𝐴 β†’ ((absβ€˜π΄) ∈ ℝ+ ↔ -𝐴 ∈ ℝ+))
4038, 39syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((absβ€˜π΄) = -𝐴 β†’ -𝐴 ∈ ℝ+))
4136, 40sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (((absβ€˜π΄) + 𝐴) = 0 β†’ -𝐴 ∈ ℝ+))
4241necon3bd 2944 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+ β†’ ((absβ€˜π΄) + 𝐴) β‰  0))
4330, 42mpd 15 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((absβ€˜π΄) + 𝐴) β‰  0)
4429, 43absne0d 15424 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴)) β‰  0)
459, 10cphdivcl 25126 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (((absβ€˜π΄) + 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴)) ∈ 𝐾 ∧ (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴)) β‰  0)) β†’ (((absβ€˜π΄) + 𝐴) / (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴))) ∈ 𝐾)
468, 26, 28, 44, 45syl13anc 1369 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (((absβ€˜π΄) + 𝐴) / (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴))) ∈ 𝐾)
47 cnfldmul 21289 . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
4847subrgmcl 20525 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ (βˆšβ€˜(absβ€˜π΄)) ∈ 𝐾 ∧ (((absβ€˜π΄) + 𝐴) / (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴))) ∈ 𝐾) β†’ ((βˆšβ€˜(absβ€˜π΄)) Β· (((absβ€˜π΄) + 𝐴) / (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴)))) ∈ 𝐾)
4912, 23, 46, 48syl3anc 1368 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((βˆšβ€˜(absβ€˜π΄)) Β· (((absβ€˜π΄) + 𝐴) / (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴)))) ∈ 𝐾)
5015, 49sseldd 3973 . . . 4 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((βˆšβ€˜(absβ€˜π΄)) Β· (((absβ€˜π΄) + 𝐴) / (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴)))) ∈ β„‚)
51 eqid 2725 . . . . . . 7 ((βˆšβ€˜(absβ€˜π΄)) Β· (((absβ€˜π΄) + 𝐴) / (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴)))) = ((βˆšβ€˜(absβ€˜π΄)) Β· (((absβ€˜π΄) + 𝐴) / (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴))))
5251sqreulem 15336 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ ((absβ€˜π΄) + 𝐴) β‰  0) β†’ ((((βˆšβ€˜(absβ€˜π΄)) Β· (((absβ€˜π΄) + 𝐴) / (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴))))↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜((βˆšβ€˜(absβ€˜π΄)) Β· (((absβ€˜π΄) + 𝐴) / (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴))))) ∧ (i Β· ((βˆšβ€˜(absβ€˜π΄)) Β· (((absβ€˜π΄) + 𝐴) / (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴))))) βˆ‰ ℝ+))
5319, 43, 52syl2anc 582 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((((βˆšβ€˜(absβ€˜π΄)) Β· (((absβ€˜π΄) + 𝐴) / (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴))))↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜((βˆšβ€˜(absβ€˜π΄)) Β· (((absβ€˜π΄) + 𝐴) / (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴))))) ∧ (i Β· ((βˆšβ€˜(absβ€˜π΄)) Β· (((absβ€˜π΄) + 𝐴) / (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴))))) βˆ‰ ℝ+))
5453simp1d 1139 . . . 4 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (((βˆšβ€˜(absβ€˜π΄)) Β· (((absβ€˜π΄) + 𝐴) / (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴))))↑2) = 𝐴)
5553simp2d 1140 . . . 4 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 0 ≀ (β„œβ€˜((βˆšβ€˜(absβ€˜π΄)) Β· (((absβ€˜π΄) + 𝐴) / (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴))))))
5653simp3d 1141 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (i Β· ((βˆšβ€˜(absβ€˜π΄)) Β· (((absβ€˜π΄) + 𝐴) / (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴))))) βˆ‰ ℝ+)
57 df-nel 3037 . . . . 5 ((i Β· ((βˆšβ€˜(absβ€˜π΄)) Β· (((absβ€˜π΄) + 𝐴) / (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴))))) βˆ‰ ℝ+ ↔ Β¬ (i Β· ((βˆšβ€˜(absβ€˜π΄)) Β· (((absβ€˜π΄) + 𝐴) / (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴))))) ∈ ℝ+)
5856, 57sylib 217 . . . 4 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ Β¬ (i Β· ((βˆšβ€˜(absβ€˜π΄)) Β· (((absβ€˜π΄) + 𝐴) / (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴))))) ∈ ℝ+)
5950, 19, 54, 55, 58eqsqrtd 15344 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((βˆšβ€˜(absβ€˜π΄)) Β· (((absβ€˜π΄) + 𝐴) / (absβ€˜((absβ€˜π΄) + 𝐴)))) = (βˆšβ€˜π΄))
6059, 49eqeltrrd 2826 . 2 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ 𝐾)
617, 60pm2.61dane 3019 1 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   βˆ‰ wnel 3036   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„‚cc 11134  β„cr 11135  0cc0 11136  ici 11138   + caddc 11139   Β· cmul 11141   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472  -cneg 11473   / cdiv 11899  2c2 12295  β„+crp 13004  β†‘cexp 14056  β„œcre 15074  βˆšcsqrt 15210  abscabs 15211  Basecbs 17177  Scalarcsca 17233  SubRingcsubrg 20508  β„‚fldccnfld 21281  β„‚PreHilccph 25110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215  ax-mulf 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-rp 13005  df-ico 13360  df-fz 13515  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-subg 19080  df-ghm 19170  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-rhm 20413  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-drng 20628  df-staf 20727  df-srng 20728  df-lvec 20990  df-cnfld 21282  df-phl 21560  df-cph 25112
This theorem is referenced by:  cphsqrtcl3  25131
  Copyright terms: Public domain W3C validator