Theorem estrchom 18069

Description: The morphisms between extensible structures are mappings between their base sets. (Contributed by AV, 7-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
estrcbas.c	⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
estrcbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
estrchomfval.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
estrchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
estrchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
estrchom.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑋)
estrchom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
estrchom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝐵 ↑m 𝐴))

Proof of Theorem estrchom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		estrcbas.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
2		estrcbas.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		estrchomfval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
4	1, 2, 3	estrchomfval 18068	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))))
5		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (Base‘𝑦) = (Base‘𝑌))
6		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (Base‘𝑥) = (Base‘𝑋))
7	5, 6	oveqan12rd 7389	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)) = ((Base‘𝑌) ↑m (Base‘𝑋)))
8		estrchom.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
9		estrchom.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑋)
10	8, 9	oveq12i 7381	. . . 4 ⊢ (𝐵 ↑m 𝐴) = ((Base‘𝑌) ↑m (Base‘𝑋))
11	7, 10	eqtr4di 2782	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)) = (𝐵 ↑m 𝐴))
12	11	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)) = (𝐵 ↑m 𝐴))
13		estrchom.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
14		estrchom.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
15		ovexd 7404	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m 𝐴) ∈ V)
16	4, 12, 13, 14, 15	ovmpod 7521	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝐵 ↑m 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↑_m cmap 8776  Basecbs 17156  Hom chom 17208  ExtStrCatcestrc 18064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-4 12229  df-5 12230  df-6 12231  df-7 12232  df-8 12233  df-9 12234  df-n0 12421  df-z 12508  df-dec 12628  df-uz 12772  df-fz 13447  df-struct 17094  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-hom 17221  df-cco 17222  df-estrc 18065

This theorem is referenced by:  elestrchom  18070  funcestrcsetclem8  18089  funcestrcsetclem9  18090  fthestrcsetc  18092  fullestrcsetc  18093  funcsetcestrclem8  18104