Theorem estrchom 17456

Description: The morphisms between extensible structures are mappings between their base sets. (Contributed by AV, 7-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
estrcbas.c	⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
estrcbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
estrchomfval.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
estrchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
estrchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
estrchom.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑋)
estrchom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
estrchom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝐵 ↑m 𝐴))

Proof of Theorem estrchom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		estrcbas.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
2		estrcbas.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		estrchomfval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
4	1, 2, 3	estrchomfval 17455	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))))
5		fveq2 6663	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (Base‘𝑦) = (Base‘𝑌))
6		fveq2 6663	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (Base‘𝑥) = (Base‘𝑋))
7	5, 6	oveqan12rd 7176	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)) = ((Base‘𝑌) ↑m (Base‘𝑋)))
8		estrchom.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
9		estrchom.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑋)
10	8, 9	oveq12i 7168	. . . 4 ⊢ (𝐵 ↑m 𝐴) = ((Base‘𝑌) ↑m (Base‘𝑋))
11	7, 10	eqtr4di 2811	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)) = (𝐵 ↑m 𝐴))
12	11	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)) = (𝐵 ↑m 𝐴))
13		estrchom.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
14		estrchom.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
15		ovexd 7191	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m 𝐴) ∈ V)
16	4, 12, 13, 14, 15	ovmpod 7303	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝐵 ↑m 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   ↑_m cmap 8422  Basecbs 16554  Hom chom 16647  ExtStrCatcestrc 17451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-hom 16660  df-cco 16661  df-estrc 17452

This theorem is referenced by:  elestrchom  17457  funcestrcsetclem8  17476  funcestrcsetclem9  17477  fthestrcsetc  17479  fullestrcsetc  17480  funcsetcestrclem8  17491