Theorem estrchom 18088

Description: The morphisms between extensible structures are mappings between their base sets. (Contributed by AV, 7-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
estrcbas.c	⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
estrcbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
estrchomfval.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
estrchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
estrchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
estrchom.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑋)
estrchom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
estrchom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝐵 ↑m 𝐴))

Proof of Theorem estrchom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		estrcbas.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
2		estrcbas.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		estrchomfval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
4	1, 2, 3	estrchomfval 18087	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))))
5		fveq2 6858	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (Base‘𝑦) = (Base‘𝑌))
6		fveq2 6858	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (Base‘𝑥) = (Base‘𝑋))
7	5, 6	oveqan12rd 7407	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)) = ((Base‘𝑌) ↑m (Base‘𝑋)))
8		estrchom.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
9		estrchom.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑋)
10	8, 9	oveq12i 7399	. . . 4 ⊢ (𝐵 ↑m 𝐴) = ((Base‘𝑌) ↑m (Base‘𝑋))
11	7, 10	eqtr4di 2782	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)) = (𝐵 ↑m 𝐴))
12	11	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)) = (𝐵 ↑m 𝐴))
13		estrchom.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
14		estrchom.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
15		ovexd 7422	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m 𝐴) ∈ V)
16	4, 12, 13, 14, 15	ovmpod 7541	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝐵 ↑m 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  Basecbs 17179  Hom chom 17231  ExtStrCatcestrc 18083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-hom 17244  df-cco 17245  df-estrc 18084

This theorem is referenced by:  elestrchom  18089  funcestrcsetclem8  18108  funcestrcsetclem9  18109  fthestrcsetc  18111  fullestrcsetc  18112  funcsetcestrclem8  18123