Theorem estrchom 18078

Description: The morphisms between extensible structures are mappings between their base sets. (Contributed by AV, 7-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
estrcbas.c	⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
estrcbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
estrchomfval.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
estrchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
estrchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
estrchom.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑋)
estrchom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
estrchom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝐵 ↑m 𝐴))

Proof of Theorem estrchom

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		estrcbas.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
2		estrcbas.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		estrchomfval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
4	1, 2, 3	estrchomfval 18077	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))))
5		fveq2 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (Base‘𝑦) = (Base‘𝑌))
6		fveq2 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (Base‘𝑥) = (Base‘𝑋))
7	5, 6	oveqan12rd 7429	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)) = ((Base‘𝑌) ↑m (Base‘𝑋)))
8		estrchom.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
9		estrchom.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝑋)
10	8, 9	oveq12i 7421	. . . 4 ⊢ (𝐵 ↑m 𝐴) = ((Base‘𝑌) ↑m (Base‘𝑋))
11	7, 10	eqtr4di 2791	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)) = (𝐵 ↑m 𝐴))
12	11	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)) = (𝐵 ↑m 𝐴))
13		estrchom.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
14		estrchom.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
15		ovexd 7444	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m 𝐴) ∈ V)
16	4, 12, 13, 14, 15	ovmpod 7560	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝐵 ↑m 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑_m cmap 8820  Basecbs 17144  Hom chom 17208  ExtStrCatcestrc 18073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-hom 17221  df-cco 17222  df-estrc 18074

This theorem is referenced by:  elestrchom  18079  funcestrcsetclem8  18099  funcestrcsetclem9  18100  fthestrcsetc  18102  fullestrcsetc  18103  funcsetcestrclem8  18114