Theorem gausslemma2dlem0e 27599

Description: Auxiliary lemma 5 for gausslemma2d 27613. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0e	⊢ (𝜑 → (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2))

Proof of Theorem gausslemma2dlem0e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2dlem0.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
2	1	oveq1i 7424	. 2 ⊢ (𝑀 · 2) = ((⌊‘(𝑃 / 4)) · 2)
3		gausslemma2dlem0.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
4		nnoddn2prm 16906	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
5		nnz 12639	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
6	5	anim1i 627	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
7		flodddiv4t2lthalf 16511	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) · 2) < (𝑃 / 2))
8	3, 4, 6, 7	4syl 20	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑃 / 4)) · 2) < (𝑃 / 2))
9	2, 8	eqbrtrid 5140	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 2) < (𝑃 / 2))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   · cmul 11132   < clt 11270   / cdiv 11898  ℕcn 12260  2c2 12322  4c4 12324  ℤcz 12618  ⌊cfl 13854   ∥ cdvds 16345  ℙcprime 16764

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-fl 13856  df-seq 14069  df-exp 14129  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-dvds 16346  df-prm 16765

This theorem is used by:  gausslemma2dlem2  27606