Theorem fzo0opth 33491

Description: Equality for a half open integer range starting at zero is the same as equality of its upper bound, analogous to fzopth 13735 and fzoopth 13937. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzo0opth.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
fzo0opth.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
fzo0opth	⊢ (𝜑 → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem fzo0opth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12744	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		fzo0opth.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12758	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
5		fzoopth 13937	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ (0 = 0 ∧ 𝑀 = 𝑁)))
6	1, 3, 4, 5	mp3an2ani 1498	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ (0 = 0 ∧ 𝑀 = 𝑁)))
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ 0 = 0
8	7	biantrur 540	. . 3 ⊢ (𝑀 = 𝑁 ↔ (0 = 0 ∧ 𝑀 = 𝑁))
9	6, 8	bitr4di 292	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
10		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → 0 = 𝑀)
11	10	oveq2d 7467	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (0..^0) = (0..^𝑀))
12		fzo0 13858	. . . . . 6 ⊢ (0..^0) = ∅
13	11, 12	eqtr3di 2813	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (0..^𝑀) = ∅)
14	13	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ ∅ = (0..^𝑁)))
15		eqcom 2770	. . . 4 ⊢ (∅ = (0..^𝑁) ↔ (0..^𝑁) = ∅)
16	14, 15	bitrdi 290	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ (0..^𝑁) = ∅))
17		0zd 12745	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → 0 ∈ ℤ)
18		fzo0opth.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
19	18	nn0zd 12758	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
20	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
21		fzon 13855	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 0 ↔ (0..^𝑁) = ∅))
22	17, 20, 21	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (𝑁 ≤ 0 ↔ (0..^𝑁) = ∅))
23		nn0le0eq0 12674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 = 0))
24	23	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 = 0)
25	18, 24	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 = 0)
26	25	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 = 0)
27		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
28		0le0 12484	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
29	27, 28	eqbrtrdi 5150	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 ≤ 0)
30	29	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≤ 0)
31	26, 30	impbida 813	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 = 0))
32		eqcom 2770	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁))
34	10	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (0 = 𝑁 ↔ 𝑀 = 𝑁))
35	31, 33, 34	3bitrd 308	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑀 = 𝑁))
36	16, 22, 35	3bitr2d 310	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
37	2	nn0ge0d 12710	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
38		0red 11350	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
39	2	nn0red 12708	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
40	38, 39	leloed 11492	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑀 ↔ (0 < 𝑀 ∨ 0 = 𝑀)))
41	37, 40	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑀 ∨ 0 = 𝑀))
42	9, 36, 41	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  0cc0 11239   < clt 11382   ≤ cle 11383  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ..^cfzo 13828

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829

This theorem is used by:  1arithidomlem2  34172  1arithidom  34173