Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzo0opth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzo0opth 32812
Description: Equality for a half open integer range starting at zero is the same as equality of its upper bound, analogous to fzopth 13597 and fzoopth 13797. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
fzo0opth.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
fzo0opth.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
fzo0opth (𝜑 → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem fzo0opth
StepHypRef Expression
1 0z 12621 . . . 4 0 ∈ ℤ
2 fzo0opth.1 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
32nn0zd 12636 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
5 fzoopth 13797 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ (0 = 0 ∧ 𝑀 = 𝑁)))
61, 3, 4, 5mp3an2ani 1467 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ (0 = 0 ∧ 𝑀 = 𝑁)))
7 eqid 2734 . . . 4 0 = 0
87biantrur 530 . . 3 (𝑀 = 𝑁 ↔ (0 = 0 ∧ 𝑀 = 𝑁))
96, 8bitr4di 289 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
10 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → 0 = 𝑀)
1110oveq2d 7446 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (0..^0) = (0..^𝑀))
12 fzo0 13719 . . . . . 6 (0..^0) = ∅
1311, 12eqtr3di 2789 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (0..^𝑀) = ∅)
1413eqeq1d 2736 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ ∅ = (0..^𝑁)))
15 eqcom 2741 . . . 4 (∅ = (0..^𝑁) ↔ (0..^𝑁) = ∅)
1614, 15bitrdi 287 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ (0..^𝑁) = ∅))
17 0zd 12622 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → 0 ∈ ℤ)
18 fzo0opth.2 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1918nn0zd 12636 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2019adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
21 fzon 13716 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 0 ↔ (0..^𝑁) = ∅))
2217, 20, 21syl2anc 584 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (𝑁 ≤ 0 ↔ (0..^𝑁) = ∅))
23 nn0le0eq0 12551 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 = 0))
2423biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≤ 0) → 𝑁 = 0)
2518, 24sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ≤ 0) → 𝑁 = 0)
2625adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 = 0)
27 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
28 0le0 12364 . . . . . . 7 0 ≤ 0
2927, 28eqbrtrdi 5186 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → 𝑁 ≤ 0)
3029adantl 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≤ 0)
3126, 30impbida 801 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 = 0))
32 eqcom 2741 . . . . 5 (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
3332a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁))
3410eqeq1d 2736 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (0 = 𝑁𝑀 = 𝑁))
3531, 33, 343bitrd 305 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑀 = 𝑁))
3616, 22, 353bitr2d 307 . 2 ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
372nn0ge0d 12587 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
38 0red 11261 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
392nn0red 12585 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4038, 39leloed 11401 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ 𝑀 ↔ (0 < 𝑀 ∨ 0 = 𝑀)))
4137, 40mpbid 232 . 2 (𝜑 → (0 < 𝑀 ∨ 0 = 𝑀))
429, 36, 41mpjaodan 960 1 (𝜑 → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  c0 4338   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  0cc0 11152   < clt 11292  cle 11293  0cn0 12523  cz 12610  ..^cfzo 13690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691
This theorem is referenced by:  1arithidomlem2  33543  1arithidom  33544
  Copyright terms: Public domain W3C validator