Theorem fzo0opth 32895

Description: Equality for a half open integer range starting at zero is the same as equality of its upper bound, analogous to fzopth 13506 and fzoopth 13708. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzo0opth.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
fzo0opth.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
fzo0opth	⊢ (𝜑 → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem fzo0opth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12526	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		fzo0opth.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12540	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
5		fzoopth 13708	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ (0 = 0 ∧ 𝑀 = 𝑁)))
6	1, 3, 4, 5	mp3an2ani 1476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ (0 = 0 ∧ 𝑀 = 𝑁)))
7		eqid 2739	. . . 4 ⊢ 0 = 0
8	7	biantrur 535	. . 3 ⊢ (𝑀 = 𝑁 ↔ (0 = 0 ∧ 𝑀 = 𝑁))
9	6, 8	bitr4di 290	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
10		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → 0 = 𝑀)
11	10	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (0..^0) = (0..^𝑀))
12		fzo0 13629	. . . . . 6 ⊢ (0..^0) = ∅
13	11, 12	eqtr3di 2789	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (0..^𝑀) = ∅)
14	13	eqeq1d 2741	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ ∅ = (0..^𝑁)))
15		eqcom 2746	. . . 4 ⊢ (∅ = (0..^𝑁) ↔ (0..^𝑁) = ∅)
16	14, 15	bitrdi 288	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ (0..^𝑁) = ∅))
17		0zd 12527	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → 0 ∈ ℤ)
18		fzo0opth.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
19	18	nn0zd 12540	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
20	19	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
21		fzon 13626	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 0 ↔ (0..^𝑁) = ∅))
22	17, 20, 21	syl2anc 590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (𝑁 ≤ 0 ↔ (0..^𝑁) = ∅))
23		nn0le0eq0 12456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 = 0))
24	23	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 = 0)
25	18, 24	sylan 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 = 0)
26	25	adantlr 721	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 = 0)
27		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
28		0le0 12273	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
29	27, 28	eqbrtrdi 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 ≤ 0)
30	29	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≤ 0)
31	26, 30	impbida 806	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 = 0))
32		eqcom 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁))
34	10	eqeq1d 2741	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (0 = 𝑁 ↔ 𝑀 = 𝑁))
35	31, 33, 34	3bitrd 306	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑀 = 𝑁))
36	16, 22, 35	3bitr2d 308	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
37	2	nn0ge0d 12492	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
38		0red 11138	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
39	2	nn0red 12490	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
40	38, 39	leloed 11280	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑀 ↔ (0 < 𝑀 ∨ 0 = 𝑀)))
41	37, 40	mpbid 233	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑀 ∨ 0 = 𝑀))
42	9, 36, 41	mpjaodan 966	1 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∅c0 4261   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356  0cc0 11029   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ..^cfzo 13599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600

This theorem is referenced by:  1arithidomlem2  33619  1arithidom  33620