Theorem fzo0opth 33088

Description: Equality for a half open integer range starting at zero is the same as equality of its upper bound, analogous to fzopth 13588 and fzoopth 13790. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzo0opth.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
fzo0opth.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
fzo0opth	⊢ (𝜑 → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem fzo0opth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12601	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		fzo0opth.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12615	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
5		fzoopth 13790	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ (0 = 0 ∧ 𝑀 = 𝑁)))
6	1, 3, 4, 5	mp3an2ani 1494	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ (0 = 0 ∧ 𝑀 = 𝑁)))
7		eqid 2769	. . . 4 ⊢ 0 = 0
8	7	biantrur 539	. . 3 ⊢ (𝑀 = 𝑁 ↔ (0 = 0 ∧ 𝑀 = 𝑁))
9	6, 8	bitr4di 292	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
10		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → 0 = 𝑀)
11	10	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (0..^0) = (0..^𝑀))
12		fzo0 13711	. . . . . 6 ⊢ (0..^0) = ∅
13	11, 12	eqtr3di 2819	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (0..^𝑀) = ∅)
14	13	eqeq1d 2771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ ∅ = (0..^𝑁)))
15		eqcom 2776	. . . 4 ⊢ (∅ = (0..^𝑁) ↔ (0..^𝑁) = ∅)
16	14, 15	bitrdi 290	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ (0..^𝑁) = ∅))
17		0zd 12602	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → 0 ∈ ℤ)
18		fzo0opth.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
19	18	nn0zd 12615	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
20	19	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
21		fzon 13708	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 0 ↔ (0..^𝑁) = ∅))
22	17, 20, 21	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (𝑁 ≤ 0 ↔ (0..^𝑁) = ∅))
23		nn0le0eq0 12531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 = 0))
24	23	biimpa 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 = 0)
25	18, 24	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 = 0)
26	25	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 = 0)
27		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
28		0le0 12341	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
29	27, 28	eqbrtrdi 5154	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 ≤ 0)
30	29	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≤ 0)
31	26, 30	impbida 812	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 = 0))
32		eqcom 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁))
34	10	eqeq1d 2771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (0 = 𝑁 ↔ 𝑀 = 𝑁))
35	31, 33, 34	3bitrd 308	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑀 = 𝑁))
36	16, 22, 35	3bitr2d 310	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
37	2	nn0ge0d 12567	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
38		0red 11210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
39	2	nn0red 12565	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
40	38, 39	leloed 11352	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑀 ↔ (0 < 𝑀 ∨ 0 = 𝑀)))
41	37, 40	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑀 ∨ 0 = 𝑀))
42	9, 36, 41	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∅c0 4294   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  0cc0 11099   < clt 11242   ≤ cle 11243  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ..^cfzo 13681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682

This theorem is referenced by:  1arithidomlem2  33770  1arithidom  33771