Theorem fzo0opth 32785

Description: Equality for a half open integer range starting at zero is the same as equality of its upper bound, analogous to fzopth 13461 and fzoopth 13662. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzo0opth.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
fzo0opth.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
fzo0opth	⊢ (𝜑 → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem fzo0opth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12479	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		fzo0opth.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
5		fzoopth 13662	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ (0 = 0 ∧ 𝑀 = 𝑁)))
6	1, 3, 4, 5	mp3an2ani 1470	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ (0 = 0 ∧ 𝑀 = 𝑁)))
7		eqid 2731	. . . 4 ⊢ 0 = 0
8	7	biantrur 530	. . 3 ⊢ (𝑀 = 𝑁 ↔ (0 = 0 ∧ 𝑀 = 𝑁))
9	6, 8	bitr4di 289	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → 0 = 𝑀)
11	10	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (0..^0) = (0..^𝑀))
12		fzo0 13583	. . . . . 6 ⊢ (0..^0) = ∅
13	11, 12	eqtr3di 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (0..^𝑀) = ∅)
14	13	eqeq1d 2733	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ ∅ = (0..^𝑁)))
15		eqcom 2738	. . . 4 ⊢ (∅ = (0..^𝑁) ↔ (0..^𝑁) = ∅)
16	14, 15	bitrdi 287	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ (0..^𝑁) = ∅))
17		0zd 12480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → 0 ∈ ℤ)
18		fzo0opth.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
19	18	nn0zd 12494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
21		fzon 13580	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 0 ↔ (0..^𝑁) = ∅))
22	17, 20, 21	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (𝑁 ≤ 0 ↔ (0..^𝑁) = ∅))
23		nn0le0eq0 12409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 = 0))
24	23	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 = 0)
25	18, 24	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 = 0)
26	25	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 = 0)
27		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
28		0le0 12226	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
29	27, 28	eqbrtrdi 5128	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 ≤ 0)
30	29	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≤ 0)
31	26, 30	impbida 800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 = 0))
32		eqcom 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁))
34	10	eqeq1d 2733	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (0 = 𝑁 ↔ 𝑀 = 𝑁))
35	31, 33, 34	3bitrd 305	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑀 = 𝑁))
36	16, 22, 35	3bitr2d 307	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
37	2	nn0ge0d 12445	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
38		0red 11115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
39	2	nn0red 12443	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
40	38, 39	leloed 11256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑀 ↔ (0 < 𝑀 ∨ 0 = 𝑀)))
41	37, 40	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑀 ∨ 0 = 𝑀))
42	9, 36, 41	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∅c0 4280   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  0cc0 11006   < clt 11146   ≤ cle 11147  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ..^cfzo 13554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555

This theorem is referenced by:  1arithidomlem2  33501  1arithidom  33502