Theorem fzo0opth 33218

Description: Equality for a half open integer range starting at zero is the same as equality of its upper bound, analogous to fzopth 13606 and fzoopth 13808. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzo0opth.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
fzo0opth.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
fzo0opth	⊢ (𝜑 → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem fzo0opth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12617	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		fzo0opth.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑀) → 0 < 𝑀)
5		fzoopth 13808	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ (0 = 0 ∧ 𝑀 = 𝑁)))
6	1, 3, 4, 5	mp3an2ani 1497	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ (0 = 0 ∧ 𝑀 = 𝑁)))
7		eqid 2765	. . . 4 ⊢ 0 = 0
8	7	biantrur 540	. . 3 ⊢ (𝑀 = 𝑁 ↔ (0 = 0 ∧ 𝑀 = 𝑁))
9	6, 8	bitr4di 292	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
10		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → 0 = 𝑀)
11	10	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (0..^0) = (0..^𝑀))
12		fzo0 13729	. . . . . 6 ⊢ (0..^0) = ∅
13	11, 12	eqtr3di 2815	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (0..^𝑀) = ∅)
14	13	eqeq1d 2767	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ ∅ = (0..^𝑁)))
15		eqcom 2772	. . . 4 ⊢ (∅ = (0..^𝑁) ↔ (0..^𝑁) = ∅)
16	14, 15	bitrdi 290	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ (0..^𝑁) = ∅))
17		0zd 12618	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → 0 ∈ ℤ)
18		fzo0opth.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
19	18	nn0zd 12631	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
20	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
21		fzon 13726	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 0 ↔ (0..^𝑁) = ∅))
22	17, 20, 21	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (𝑁 ≤ 0 ↔ (0..^𝑁) = ∅))
23		nn0le0eq0 12547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 = 0))
24	23	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 = 0)
25	18, 24	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 = 0)
26	25	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ 0) → 𝑁 = 0)
27		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
28		0le0 12357	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
29	27, 28	eqbrtrdi 5152	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 ≤ 0)
30	29	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≤ 0)
31	26, 30	impbida 813	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑁 = 0))
32		eqcom 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁))
34	10	eqeq1d 2767	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (0 = 𝑁 ↔ 𝑀 = 𝑁))
35	31, 33, 34	3bitrd 308	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → (𝑁 ≤ 0 ↔ 𝑀 = 𝑁))
36	16, 22, 35	3bitr2d 310	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝑀) → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
37	2	nn0ge0d 12583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
38		0red 11226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
39	2	nn0red 12581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
40	38, 39	leloed 11368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑀 ↔ (0 < 𝑀 ∨ 0 = 𝑀)))
41	37, 40	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝑀 ∨ 0 = 𝑀))
42	9, 36, 41	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑀) = (0..^𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  0cc0 11115   < clt 11258   ≤ cle 11259  ℕ₀cn0 12519  ℤcz 12606  ..^cfzo 13699

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700

This theorem is used by:  1arithidomlem2  33890  1arithidom  33891