Theorem gcdass 16700

Description: Associative law for gcd operator. Theorem 1.4(b) in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcdass	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)))

Proof of Theorem gcdass

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 474	. . 3 ⊢ (((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)))
2		anass 474	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
3	2	rabbii 3418	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}
4	3	supeq1i 9423	. . 3 ⊢ sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < ) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < )
5	1, 4	ifbieq2i 4508	. 2 ⊢ if(((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < ))
6		gcdcl 16656	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) ∈ ℕ0)
7	6	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12699	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) ∈ ℤ)
9		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
10		gcdval 16646	. . . 4 ⊢ (((𝑁 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = if(((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )))
11	8, 9, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = if(((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )))
12		gcdeq0 16669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0)))
13	12	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0)))
14	13	anbi1d 643	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0) ↔ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0)))
15	14	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0) ↔ ((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0)))
16		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
17		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
18		simpl2 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
19		dvdsgcdb 16698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ↔ 𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀)))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ↔ 𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀)))
21	20	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
22	21	rabbidva 3419	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)})
23	22	supeq1d 9422	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < ) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < ))
24	15, 23	ifbieq2d 4509	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → if(((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )) = if(((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )))
25	11, 24	eqtr4d 2799	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = if(((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )))
26		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
27		gcdcl 16656	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑃) ∈ ℕ0)
28	27	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑃) ∈ ℕ0)
29	28	nn0zd 12699	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑃) ∈ ℤ)
30		gcdval 16646	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑃) ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))}, ℝ, < )))
31	26, 29, 30	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))}, ℝ, < )))
32		gcdeq0 16669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑃) = 0 ↔ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)))
33	32	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑃) = 0 ↔ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)))
34	33	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0))))
35	34	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)) ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0)))
36		simpl3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
37		dvdsgcdb 16698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃)))
38	16, 18, 36, 37	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃)))
39	38	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ↔ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))))
40	39	rabbidva 3419	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))})
41	40	supeq1d 9422	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < ) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))}, ℝ, < ))
42	35, 41	ifbieq2d 4509	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < )) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))}, ℝ, < )))
43	31, 42	eqtr4d 2799	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < )))
44	5, 25, 43	3eqtr4a 2822	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413  ifcif 4482   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  supcsup 9416  ℝcr 11180  0cc0 11181   < clt 11324  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674   ∥ cdvds 16402   gcd cgcd 16644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-dvds 16403  df-gcd 16645

This theorem is used by:  rpmulgcd  16711  coprimeprodsq  16966  flt4lem7  27971  gcd32  36483  gcdabsorb  36484