Theorem gcdass 16458

Description: Associative law for gcd operator. Theorem 1.4(b) in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcdass	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)))

Proof of Theorem gcdass

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 468	. . 3 ⊢ (((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)))
2		anass 468	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
3	2	rabbii 3400	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}
4	3	supeq1i 9331	. . 3 ⊢ sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < ) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < )
5	1, 4	ifbieq2i 4501	. 2 ⊢ if(((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < ))
6		gcdcl 16417	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) ∈ ℕ0)
7	6	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12494	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd 𝑀) ∈ ℤ)
9		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
10		gcdval 16407	. . . 4 ⊢ (((𝑁 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = if(((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )))
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = if(((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )))
12		gcdeq0 16428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0)))
13	12	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0)))
14	13	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0) ↔ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0)))
15	14	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0) ↔ ((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0)))
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
17		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
18		simpl2 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
19		dvdsgcdb 16456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ↔ 𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀)))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ↔ 𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀)))
21	20	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)))
22	21	rabbidva 3401	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)})
23	22	supeq1d 9330	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < ) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < ))
24	15, 23	ifbieq2d 4502	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → if(((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )) = if(((𝑁 gcd 𝑀) = 0 ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ (𝑁 gcd 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )))
25	11, 24	eqtr4d 2769	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = if(((𝑁 = 0 ∧ 𝑀 = 0) ∧ 𝑃 = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ 𝑀) ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)}, ℝ, < )))
26		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
27		gcdcl 16417	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑃) ∈ ℕ0)
28	27	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑃) ∈ ℕ0)
29	28	nn0zd 12494	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑃) ∈ ℤ)
30		gcdval 16407	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑃) ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))}, ℝ, < )))
31	26, 29, 30	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))}, ℝ, < )))
32		gcdeq0 16428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑃) = 0 ↔ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)))
33	32	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑃) = 0 ↔ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)))
34	33	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0) ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0))))
35	34	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)) ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0)))
36		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
37		dvdsgcdb 16456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃)))
38	16, 18, 36, 37	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃) ↔ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃)))
39	38	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃)) ↔ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))))
40	39	rabbidva 3401	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))})
41	40	supeq1d 9330	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < ) = sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))}, ℝ, < ))
42	35, 41	ifbieq2d 4502	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < )) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 gcd 𝑃) = 0), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑥 ∥ (𝑀 gcd 𝑃))}, ℝ, < )))
43	31, 42	eqtr4d 2769	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)) = if((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑃 = 0)), 0, sup({𝑥 ∈ ℤ ∣ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ (𝑥 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∥ 𝑃))}, ℝ, < )))
44	5, 25, 43	3eqtr4a 2792	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd 𝑀) gcd 𝑃) = (𝑁 gcd (𝑀 gcd 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  ifcif 4475   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  supcsup 9324  ℝcr 11005  0cc0 11006   < clt 11146  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468   ∥ cdvds 16163   gcd cgcd 16405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-gcd 16406

This theorem is referenced by:  rpmulgcd  16468  coprimeprodsq  16720  gcd32  35791  gcdabsorb  35792  flt4lem7  42698