Theorem gcdn0gt0 15699

Description: The gcd of two integers is positive (nonzero) iff they are not both zero. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
gcdn0gt0	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ↔ 0 < (𝑀 gcd 𝑁)))

Proof of Theorem gcdn0gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcl 15688	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
2		0re 10492	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		nn0re 11756	. . . 4 ⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
4		nn0ge0 11772	. . . 4 ⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁))
5		leltne 10579	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)) → (0 < (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0))
6	2, 3, 4, 5	mp3an2i 1458	. . 3 ⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → (0 < (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0))
7	1, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0))
8		gcdeq0 15698	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) = 0 ↔ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
9	8	necon3abid 3019	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
10	7, 9	bitr2d 281	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ↔ 0 < (𝑀 gcd 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2080   ≠ wne 2983   class class class wbr 4964  (class class class)co 7019  ℝcr 10385  0cc0 10386   < clt 10524   ≤ cle 10525  ℕ₀cn0 11747  ℤcz 11831   gcd cgcd 15676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463  ax-pre-sup 10464

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-2nd 7549  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-sup 8755  df-inf 8756  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-div 11148  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094  df-rp 12240  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-gcd 15677

This theorem is referenced by: (None)