MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcdn0gt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcdn0gt0 16511
Description: The gcd of two integers is positive (nonzero) iff they are not both zero. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcdn0gt0 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ↔ 0 < (𝑀 gcd 𝑁)))

Proof of Theorem gcdn0gt0
StepHypRef Expression
1 gcdcl 16499 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
2 0re 11255 . . . 4 0 ∈ ℝ
3 nn0re 12525 . . . 4 ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
4 nn0ge0 12541 . . . 4 ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁))
5 leltne 11342 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)) → (0 < (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0))
62, 3, 4, 5mp3an2i 1463 . . 3 ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → (0 < (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0))
71, 6syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0))
8 gcdeq0 16510 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) = 0 ↔ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
98necon3abid 2967 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
107, 9bitr2d 279 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ↔ 0 < (𝑀 gcd 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930   class class class wbr 5144  (class class class)co 7414  cr 11146  0cc0 11147   < clt 11287  cle 11288  0cn0 12516  cz 12602   gcd cgcd 16487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9476  df-inf 9477  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-n0 12517  df-z 12603  df-uz 12867  df-rp 13021  df-seq 14014  df-exp 14074  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-sqrt 15233  df-abs 15234  df-dvds 16250  df-gcd 16488
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator