Theorem gpgiedgdmellem 48949

Description: Lemma for gpgiedgdmel 48952 and gpgedgel 48953. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgvtxel.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
gpgvtxel.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))

Assertion

Ref	Expression
gpgiedgdmellem	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑌

Proof of Theorem gpgiedgdmellem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5407	. . . . . 6 ⊢ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ V)
3		0elpr01 11228	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ {0, 1})
5		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
6	4, 5	opelxpd 5698	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨0, 𝑥⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼))
7		elfzoelz 13716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
8		gpgvtxel.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
9	7, 8	eleq2s 2880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝑥 ∈ ℤ)
10	9	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ ℤ)
11	10	peano2zd 12731	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
12		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑁 ∈ ℕ)
13		zmodfzo 13957	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
14	11, 12, 13	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
15	14, 8	eleqtrrdi 2873	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∈ 𝐼)
16	4, 15	opelxpd 5698	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼))
17	6, 16	prssd 4786	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ⊆ ({0, 1} × 𝐼))
18	2, 17	elpwd 4566	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼))
19		eleq1 2850	. . . 4 ⊢ (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} → (𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ↔ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
20	18, 19	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
21		prex 5407	. . . . . 6 ⊢ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∈ V)
23		1elpr01 11231	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 1 ∈ {0, 1})
25	24, 5	opelxpd 5698	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨1, 𝑥⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼))
26	6, 25	prssd 4786	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ⊆ ({0, 1} × 𝐼))
27	22, 26	elpwd 4566	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼))
28		eleq1 2850	. . . 4 ⊢ (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} → (𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ↔ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
29	27, 28	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
30		prex 5407	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ V)
32		elfzoelz 13716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℤ)
33		gpgvtxel.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
34	32, 33	eleq2s 2880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℤ)
35	34	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐾 ∈ ℤ)
36	10, 35	zaddcld 12732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ)
37		zmodfzo 13957	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
38	36, 12, 37	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
39	38, 8	eleqtrrdi 2873	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ 𝐼)
40	24, 39	opelxpd 5698	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼))
41	25, 40	prssd 4786	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ⊆ ({0, 1} × 𝐼))
42	31, 41	elpwd 4566	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼))
43		eleq1 2850	. . . 4 ⊢ (𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} → (𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ↔ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
44	42, 43	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
45	20, 29, 44	3jaod 1456	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
46	45	rexlimdva 3165	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  Vcvv 3453  𝒫 cpw 4560  {cpr 4589  ⟨cop 4593   × cxp 5657  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   / cdiv 11898  ℕcn 12260  2c2 12322  ℤcz 12618  ..^cfzo 13711  ⌈cceil 13854   mod cmo 13932

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-mod 13933

This theorem is used by:  gpgiedgdmel  48952  gpgedgel  48953