Theorem gpgiedgdmellem 49347

Description: Lemma for gpgiedgdmel 49350 and gpgedgel 49351. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgvtxel.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
gpgvtxel.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))

Assertion

Ref	Expression
gpgiedgdmellem	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑌

Proof of Theorem gpgiedgdmellem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5400	. . . . . 6 ⊢ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ V)
3		0elpr01 11325	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ {0, 1})
5		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
6	4, 5	opelxpd 5694	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨0, 𝑥⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼))
7		elfzoelz 13817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
8		gpgvtxel.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
9	7, 8	eleq2s 2882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝑥 ∈ ℤ)
10	9	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ ℤ)
11	10	peano2zd 12830	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
12		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑁 ∈ ℕ)
13		zmodfzo 14058	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
14	11, 12, 13	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
15	14, 8	eleqtrrdi 2875	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∈ 𝐼)
16	4, 15	opelxpd 5694	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼))
17	6, 16	prssd 4781	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ⊆ ({0, 1} × 𝐼))
18	2, 17	elpwd 4566	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼))
19		eleq1 2852	. . . 4 ⊢ (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} → (𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ↔ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
20	18, 19	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
21		prex 5400	. . . . . 6 ⊢ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∈ V)
23		1elpr01 11328	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 1 ∈ {0, 1})
25	24, 5	opelxpd 5694	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨1, 𝑥⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼))
26	6, 25	prssd 4781	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ⊆ ({0, 1} × 𝐼))
27	22, 26	elpwd 4566	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼))
28		eleq1 2852	. . . 4 ⊢ (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} → (𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ↔ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
29	27, 28	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
30		prex 5400	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ V)
32		elfzoelz 13817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℤ)
33		gpgvtxel.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
34	32, 33	eleq2s 2882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℤ)
35	34	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐾 ∈ ℤ)
36	10, 35	zaddcld 12831	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ)
37		zmodfzo 14058	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
38	36, 12, 37	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
39	38, 8	eleqtrrdi 2875	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ 𝐼)
40	24, 39	opelxpd 5694	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼))
41	25, 40	prssd 4781	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ⊆ ({0, 1} × 𝐼))
42	31, 41	elpwd 4566	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼))
43		eleq1 2852	. . . 4 ⊢ (𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} → (𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ↔ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
44	42, 43	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
45	20, 29, 44	3jaod 1457	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
46	45	rexlimdva 3167	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  Vcvv 3454  𝒫 cpw 4560  {cpr 4590  ⟨cop 4838   × cxp 5653  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227   / cdiv 11997  ℕcn 12359  2c2 12421  ℤcz 12717  ..^cfzo 13812  ⌈cceil 13955   mod cmo 14033

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-mod 14034

This theorem is used by:  gpgiedgdmel  49350  gpgedgel  49351