Theorem gpgiedgdmellem 48839

Description: Lemma for gpgiedgdmel 48842 and gpgedgel 48843. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgvtxel.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
gpgvtxel.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))

Assertion

Ref	Expression
gpgiedgdmellem	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑌

Proof of Theorem gpgiedgdmellem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5408	. . . . . 6 ⊢ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ V)
3		0elpr01 11207	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ {0, 1})
5		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
6	4, 5	opelxpd 5699	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨0, 𝑥⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼))
7		elfzoelz 13694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
8		gpgvtxel.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
9	7, 8	eleq2s 2880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝑥 ∈ ℤ)
10	9	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ ℤ)
11	10	peano2zd 12709	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
12		simpll 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑁 ∈ ℕ)
13		zmodfzo 13934	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
14	11, 12, 13	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
15	14, 8	eleqtrrdi 2873	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∈ 𝐼)
16	4, 15	opelxpd 5699	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼))
17	6, 16	prssd 4787	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ⊆ ({0, 1} × 𝐼))
18	2, 17	elpwd 4567	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼))
19		eleq1 2850	. . . 4 ⊢ (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} → (𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ↔ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
20	18, 19	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
21		prex 5408	. . . . . 6 ⊢ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∈ V)
23		1elpr01 11210	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 1 ∈ {0, 1})
25	24, 5	opelxpd 5699	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨1, 𝑥⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼))
26	6, 25	prssd 4787	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ⊆ ({0, 1} × 𝐼))
27	22, 26	elpwd 4567	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼))
28		eleq1 2850	. . . 4 ⊢ (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} → (𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ↔ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
29	27, 28	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
30		prex 5408	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ V)
32		elfzoelz 13694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℤ)
33		gpgvtxel.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
34	32, 33	eleq2s 2880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℤ)
35	34	ad2antlr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐾 ∈ ℤ)
36	10, 35	zaddcld 12710	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ)
37		zmodfzo 13934	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
38	36, 12, 37	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
39	38, 8	eleqtrrdi 2873	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ 𝐼)
40	24, 39	opelxpd 5699	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼))
41	25, 40	prssd 4787	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ⊆ ({0, 1} × 𝐼))
42	31, 41	elpwd 4567	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼))
43		eleq1 2850	. . . 4 ⊢ (𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} → (𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ↔ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
44	42, 43	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
45	20, 29, 44	3jaod 1455	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
46	45	rexlimdva 3165	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ w3o 1101   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3088  Vcvv 3454  𝒫 cpw 4561  {cpr 4590  ⟨cop 4594   × cxp 5658  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   / cdiv 11877  ℕcn 12239  2c2 12301  ℤcz 12597  ..^cfzo 13689  ⌈cceil 13831   mod cmo 13909

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910

This theorem is used by:  gpgiedgdmel  48842  gpgedgel  48843