Theorem gpgiedgdmellem 48145

Description: Lemma for gpgiedgdmel 48148 and gpgedgel 48149. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgvtxel.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
gpgvtxel.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))

Assertion

Ref	Expression
gpgiedgdmellem	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑌

Proof of Theorem gpgiedgdmellem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5373	. . . . . 6 ⊢ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ V)
3		c0ex 11106	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
4	3	prid1 4712	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ {0, 1})
6		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
7	5, 6	opelxpd 5653	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨0, 𝑥⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼))
8		elfzoelz 13559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
9		gpgvtxel.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
10	8, 9	eleq2s 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝑥 ∈ ℤ)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ ℤ)
12	11	peano2zd 12580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
13		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑁 ∈ ℕ)
14		zmodfzo 13798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
15	12, 13, 14	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
16	15, 9	eleqtrrdi 2842	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∈ 𝐼)
17	5, 16	opelxpd 5653	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼))
18	7, 17	prssd 4771	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ⊆ ({0, 1} × 𝐼))
19	2, 18	elpwd 4553	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼))
20		eleq1 2819	. . . 4 ⊢ (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} → (𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ↔ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
21	19, 20	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
22		prex 5373	. . . . . 6 ⊢ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∈ V)
24		1ex 11108	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
25	24	prid2 4713	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 1 ∈ {0, 1})
27	26, 6	opelxpd 5653	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨1, 𝑥⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼))
28	7, 27	prssd 4771	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ⊆ ({0, 1} × 𝐼))
29	23, 28	elpwd 4553	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼))
30		eleq1 2819	. . . 4 ⊢ (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} → (𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ↔ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
31	29, 30	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
32		prex 5373	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ V
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ V)
34		elfzoelz 13559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℤ)
35		gpgvtxel.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
36	34, 35	eleq2s 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℤ)
37	36	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐾 ∈ ℤ)
38	11, 37	zaddcld 12581	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ)
39		zmodfzo 13798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
40	38, 13, 39	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
41	40, 9	eleqtrrdi 2842	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ 𝐼)
42	26, 41	opelxpd 5653	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼))
43	27, 42	prssd 4771	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ⊆ ({0, 1} × 𝐼))
44	33, 43	elpwd 4553	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼))
45		eleq1 2819	. . . 4 ⊢ (𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} → (𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ↔ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
46	44, 45	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
47	21, 31, 46	3jaod 1431	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
48	47	rexlimdva 3133	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  Vcvv 3436  𝒫 cpw 4547  {cpr 4575  ⟨cop 4579   × cxp 5612  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   / cdiv 11774  ℕcn 12125  2c2 12180  ℤcz 12468  ..^cfzo 13554  ⌈cceil 13695   mod cmo 13773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774

This theorem is referenced by:  gpgiedgdmel  48148  gpgedgel  48149