Theorem gpgedg 47977

Description: The edges of the generalized Petersen graph GPG(N,K). (Contributed by AV, 26-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgov.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpgov.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

Assertion

Ref	Expression
gpgedg	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Edg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})})

Distinct variable groups:   𝑒,𝐼,𝑥   𝑒,𝐾,𝑥   𝑒,𝑁,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑒)

Proof of Theorem gpgedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgval 29056	. 2 ⊢ (Edg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ran (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))
2		gpgov.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
3		gpgov.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
4	2, 3	gpgiedg 47976	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}))
5	4	rneqd 5947	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ran (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ran ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}))
6		rnresi 6091	. . 3 ⊢ ran ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}) = {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}
7	5, 6	eqtrdi 2792	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ran (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})})
8	1, 7	eqtrid 2788	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Edg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3069  {crab 3435  𝒫 cpw 4598  {cpr 4626  ⟨cop 4630   I cid 5575   × cxp 5681  ran crn 5684   ↾ cres 5685  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429  0cc0 11151  1c1 11152   + caddc 11154   / cdiv 11916  ℕcn 12262  2c2 12317  ..^cfzo 13690  ⌈cceil 13827   mod cmo 13905  iEdgciedg 29004  Edgcedg 29054   gPetersenGr cgpg 47972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-oadd 8506  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-dju 9937  df-card 9975  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-9 12332  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13544  df-hash 14366  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-edgf 28994  df-iedg 29006  df-edg 29055  df-gpg 47973

This theorem is referenced by:  gpgedgel  47980