Theorem gpgedgel 47980

Description: An edge in a generalized Petersen graph 𝐺. (Contributed by AV, 29-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgvtxel.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
gpgvtxel.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpgvtxel.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpgedgel.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gpgedgel	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑌 ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem gpgedgel

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgedgel.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2		gpgvtxel.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
3	2	fveq2i 6889	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))
4	1, 3	eqtri 2757	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))
5	4	eleq2i 2825	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐸 ↔ 𝑌 ∈ (Edg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)))
6		eluzge3nn 12914	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
7		gpgvtxel.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
8		gpgvtxel.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
9	7, 8	gpgedg 47977	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Edg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})})
10	6, 9	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (Edg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})})
11	10	eleq2d 2819	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑌 ∈ (Edg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) ↔ 𝑌 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}))
12	5, 11	bitrid 283	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑌 ∈ 𝐸 ↔ 𝑌 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}))
13		eqeq1 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝑌 → (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ 𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩}))
14		eqeq1 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝑌 → (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ 𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}))
15		eqeq1 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝑌 → (𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ 𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
16	13, 14, 15	3orbi123d 1436	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝑌 → ((𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
17	16	rexbidv 3166	. . . 4 ⊢ (𝑒 = 𝑌 → (∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
18	17	elrab 3675	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} ↔ (𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
19		prex 5417	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ V)
21		c0ex 11237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
22	21	prid1 4742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ {0, 1})
24		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
25	23, 24	opelxpd 5704	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨0, 𝑥⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼))
26		elfzoelz 13681	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
27	26, 8	eleq2s 2851	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝑥 ∈ ℤ)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ ℤ)
29	28	peano2zd 12708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
30	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑁 ∈ ℕ)
32		zmodfzo 13916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
33	29, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
34	33, 8	eleqtrrdi 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ∈ 𝐼)
35	23, 34	opelxpd 5704	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼))
36	25, 35	prssd 4802	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ⊆ ({0, 1} × 𝐼))
37	20, 36	elpwd 4586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼))
38		eleq1 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} → (𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ↔ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
39	37, 38	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
40		prex 5417	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∈ V
41	40	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∈ V)
42		1ex 11239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
43	42	prid2 4743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 1 ∈ {0, 1})
45	44, 24	opelxpd 5704	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨1, 𝑥⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼))
46	25, 45	prssd 4802	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ⊆ ({0, 1} × 𝐼))
47	41, 46	elpwd 4586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼))
48		eleq1 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} → (𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ↔ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
49	47, 48	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
50		prex 5417	. . . . . . . . 9 ⊢ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ V
51	50	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ V)
52		elfzoelz 13681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℤ)
53	52, 7	eleq2s 2851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℤ)
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ ℤ)
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐾 ∈ ℤ)
56	28, 55	zaddcld 12709	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ)
57		zmodfzo 13916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
58	56, 31, 57	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
59	58, 8	eleqtrrdi 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ 𝐼)
60	44, 59	opelxpd 5704	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ ({0, 1} × 𝐼))
61	45, 60	prssd 4802	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ⊆ ({0, 1} × 𝐼))
62	51, 61	elpwd 4586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼))
63		eleq1 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} → (𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ↔ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
64	62, 63	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
65	39, 49, 64	3jaod 1430	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
66	65	rexlimdva 3142	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) → 𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)))
67	66	pm4.71rd 562	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (𝑌 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))))
68	18, 67	bitr4id 290	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑌 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
69	12, 68	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑌 ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑌 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑌 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059  {crab 3419  Vcvv 3463  𝒫 cpw 4580  {cpr 4608  ⟨cop 4612   × cxp 5663  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  0cc0 11137  1c1 11138   + caddc 11140   / cdiv 11902  ℕcn 12248  2c2 12303  3c3 12304  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860  ..^cfzo 13676  ⌈cceil 13813   mod cmo 13891  Edgcedg 28993   gPetersenGr cgpg 47972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-oadd 8492  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-sup 9464  df-inf 9465  df-dju 9923  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-rp 13017  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-hash 14353  df-struct 17167  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-edgf 28935  df-iedg 28945  df-edg 28994  df-gpg 47973

This theorem is referenced by:  gpgedgvtx0  47992  gpgedgvtx1  47993  gpgvtxedg0  47994  gpgvtxedg1  47995  gpg5nbgrvtx03starlem1  47997  gpg5nbgrvtx03starlem2  47998  gpg5nbgrvtx03starlem3  47999  gpg5nbgrvtx13starlem1  48000  gpg5nbgrvtx13starlem2  48001  gpg5nbgrvtx13starlem3  48002  gpg3kgrtriexlem6  48017