Theorem gpgprismgr4cycllem2 49397

Description: Lemma 2 for gpgprismgr4cycl0 49407: the cycle ⟨𝑃, 𝐹⟩ is proper, i.e., it has no overlapping edges. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpgprismgr4cycllem1.f	⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgr4cycllem2	⊢ Fun ◡𝐹

Proof of Theorem gpgprismgr4cycllem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5400	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V
2		prex 5400	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ V)
4		prex 5400	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V
5		prex 5400	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ V
6	4, 5	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ V)
7	3, 6	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ V) ∧ ({⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ V))
8		opex 5436	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 0⟩ ∈ V
9		opex 5436	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 1⟩ ∈ V
10	8, 9	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 1⟩ ∈ V)
11		opex 5436	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 1⟩ ∈ V
12	9, 11	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V)
13	10, 12	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V))
14		0ne1 12438	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 1
15	14	olci 880	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 0 ∨ 0 ≠ 1)
16		c0ex 11324	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
17	16, 16	opthne 5455	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 0⟩ ≠ ⟨0, 1⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 0 ≠ 1))
18	15, 17	mpbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨0, 1⟩
19	14	orci 879	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 0 ≠ 1)
20	16, 16	opthne 5455	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 0 ≠ 1))
21	19, 20	mpbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩
22	18, 21	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 0⟩ ≠ ⟨0, 1⟩ ∧ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩)
23	22	orci 879	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 0⟩ ≠ ⟨0, 1⟩ ∧ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩) ∨ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 1⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩))
24		prneimg 4812	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 0⟩ ≠ ⟨0, 1⟩ ∧ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩) ∨ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 1⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩)) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}))
25	13, 23, 24	mp2 9	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}
26		opex 5436	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 0⟩ ∈ V
27	11, 26	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 0⟩ ∈ V)
28	10, 27	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 0⟩ ∈ V))
29	14	orci 879	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 0 ≠ 0)
30	16, 16	opthne 5455	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 0 ≠ 0))
31	29, 30	mpbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩
32	21, 31	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩)
33	32	orci 879	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩) ∨ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩))
34		prneimg 4812	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 0⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩) ∨ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩)) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}))
35	28, 33, 34	mp2 9	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}
36	26, 8	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ V)
37	10, 36	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ V))
38		ax-1ne0 11293	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
39	38	olci 880	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 0)
40		1ex 11327	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
41	16, 40	opthne 5455	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 0))
42	39, 41	mpbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩
43	38	olci 880	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 0 ∨ 1 ≠ 0)
44	16, 40	opthne 5455	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 1 ≠ 0))
45	43, 44	mpbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩
46	42, 45	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩)
47	46	olci 880	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨0, 0⟩) ∨ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩))
48		prneimg 4812	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨0, 0⟩) ∨ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩)) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}))
49	37, 47, 48	mp2 9	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}
50	25, 35, 49	3pm3.2i 1358	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩})
51	12, 27	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 0⟩ ∈ V))
52	14	orci 879	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 1)
53	16, 40	opthne 5455	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 1))
54	52, 53	mpbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩
55	54, 42	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩)
56	55	orci 879	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩) ∨ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩))
57		prneimg 4812	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 0⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩) ∨ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩)) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}))
58	51, 56, 57	mp2 9	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}
59	12, 36	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ V))
60	38	olci 880	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 0)
61	40, 40	opthne 5455	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 0))
62	60, 61	mpbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩
63	38	olci 880	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ 1 ≠ 0)
64	40, 40	opthne 5455	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ 1 ≠ 0))
65	63, 64	mpbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩
66	62, 65	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩)
67	66	olci 880	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩) ∨ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩))
68		prneimg 4812	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩) ∨ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩)) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}))
69	59, 67, 68	mp2 9	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}
70	27, 36	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ ((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 0⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ V))
71	66	orci 879	. . . . . 6 ⊢ ((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩) ∨ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 0⟩))
72		prneimg 4812	. . . . . 6 ⊢ (((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 0⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ V)) → (((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩) ∨ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 0⟩)) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}))
73	70, 71, 72	mp2 9	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}
74	58, 69, 73	3pm3.2i 1358	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩})
75	50, 74	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}) ∧ ({⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}))
76	7, 75	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ V) ∧ ({⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ V)) ∧ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}) ∧ ({⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩})))
77		s4f1o 15095	. . 3 ⊢ ((({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ V) ∧ ({⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ V)) → ((({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}) ∧ ({⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩})) → (𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ → 𝐹:dom 𝐹⟶1-1onto({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}))))
78	77	imp 412	. 2 ⊢ (((({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ V) ∧ ({⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ V)) ∧ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}) ∧ ({⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}))) → (𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ → 𝐹:dom 𝐹⟶1-1onto({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}})))
79		gpgprismgr4cycllem1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
80		pm2.27 43	. . . 4 ⊢ (𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ → ((𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ → 𝐹:dom 𝐹⟶1-1onto({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}})) → 𝐹:dom 𝐹⟶1-1onto({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}})))
81	79, 80	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ → 𝐹:dom 𝐹⟶1-1onto({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}})) → 𝐹:dom 𝐹⟶1-1onto({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}))
82		df-f1o 6562	. . . 4 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶1-1onto({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶1-1({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}) ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶onto({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}})))
83		df-f1 6560	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶1-1({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}) ∧ Fun ◡𝐹))
84	83	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶1-1({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}) → Fun ◡𝐹)
85	84	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶1-1({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}) ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶onto({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}})) → Fun ◡𝐹)
86	82, 85	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶1-1onto({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}) → Fun ◡𝐹)
87	81, 86	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ → 𝐹:dom 𝐹⟶1-1onto({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}})) → Fun ◡𝐹)
88	76, 78, 87	mp2b 10	1 ⊢ Fun ◡𝐹

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ∪ cun 4152  {cpr 4590  ⟨cop 4838  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  Fun wfun 6549  ⟶wf 6551  ⟶1-1wf1 6552  ⟶ontowfo 6553  ⟶1-1ontowf1o 6554  0cc0 11224  1c1 11225  ⟨“cs4 15019

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-hash 14499  df-word 14683  df-concat 14740  df-s1 14767  df-s2 15024  df-s3 15025  df-s4 15026

This theorem is used by:  gpgprismgr4cycllem11  49406