Theorem gpgprismgr4cycllem2 48409

Description: Lemma 2 for gpgprismgr4cycl0 48419: the cycle ⟨𝑃, 𝐹⟩ is proper, i.e., it has no overlapping edges. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpgprismgr4cycllem1.f	⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgr4cycllem2	⊢ Fun ◡𝐹

Proof of Theorem gpgprismgr4cycllem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5383	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V
2		prex 5383	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ V)
4		prex 5383	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V
5		prex 5383	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ V
6	4, 5	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ V)
7	3, 6	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ V) ∧ ({⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ V))
8		opex 5413	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 0⟩ ∈ V
9		opex 5413	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 1⟩ ∈ V
10	8, 9	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 1⟩ ∈ V)
11		opex 5413	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 1⟩ ∈ V
12	9, 11	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V)
13	10, 12	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V))
14		0ne1 12220	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 1
15	14	olci 867	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 0 ∨ 0 ≠ 1)
16		c0ex 11130	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
17	16, 16	opthne 5431	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 0⟩ ≠ ⟨0, 1⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 0 ≠ 1))
18	15, 17	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨0, 1⟩
19	14	orci 866	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 0 ≠ 1)
20	16, 16	opthne 5431	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 0 ≠ 1))
21	19, 20	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩
22	18, 21	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 0⟩ ≠ ⟨0, 1⟩ ∧ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩)
23	22	orci 866	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 0⟩ ≠ ⟨0, 1⟩ ∧ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩) ∨ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 1⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩))
24		prneimg 4811	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 0⟩ ≠ ⟨0, 1⟩ ∧ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩) ∨ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 1⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩)) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}))
25	13, 23, 24	mp2 9	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}
26		opex 5413	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 0⟩ ∈ V
27	11, 26	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 0⟩ ∈ V)
28	10, 27	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 0⟩ ∈ V))
29	14	orci 866	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 0 ≠ 0)
30	16, 16	opthne 5431	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 0 ≠ 0))
31	29, 30	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩
32	21, 31	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩)
33	32	orci 866	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩) ∨ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩))
34		prneimg 4811	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 0⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩) ∨ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩)) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}))
35	28, 33, 34	mp2 9	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}
36	26, 8	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ V)
37	10, 36	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ V))
38		ax-1ne0 11099	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
39	38	olci 867	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 0)
40		1ex 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
41	16, 40	opthne 5431	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 0))
42	39, 41	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩
43	38	olci 867	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 0 ∨ 1 ≠ 0)
44	16, 40	opthne 5431	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 1 ≠ 0))
45	43, 44	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩
46	42, 45	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩)
47	46	olci 867	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨0, 0⟩) ∨ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩))
48		prneimg 4811	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨0, 0⟩) ∨ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩)) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}))
49	37, 47, 48	mp2 9	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}
50	25, 35, 49	3pm3.2i 1341	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩})
51	12, 27	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 0⟩ ∈ V))
52	14	orci 866	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 1)
53	16, 40	opthne 5431	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 1))
54	52, 53	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩
55	54, 42	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩)
56	55	orci 866	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩) ∨ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩))
57		prneimg 4811	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 0⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩) ∨ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩)) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}))
58	51, 56, 57	mp2 9	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}
59	12, 36	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ V))
60	38	olci 867	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 0)
61	40, 40	opthne 5431	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 0))
62	60, 61	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩
63	38	olci 867	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ 1 ≠ 0)
64	40, 40	opthne 5431	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ 1 ≠ 0))
65	63, 64	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩
66	62, 65	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩)
67	66	olci 867	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩) ∨ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩))
68		prneimg 4811	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩) ∨ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩)) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}))
69	59, 67, 68	mp2 9	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}
70	27, 36	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 0⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ V))
71	66	orci 866	. . . . . 6 ⊢ ((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩) ∨ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 0⟩))
72		prneimg 4811	. . . . . 6 ⊢ (((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 0⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ V)) → (((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩) ∨ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 0⟩)) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}))
73	70, 71, 72	mp2 9	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}
74	58, 69, 73	3pm3.2i 1341	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩})
75	50, 74	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}) ∧ ({⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}))
76	7, 75	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ V) ∧ ({⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ V)) ∧ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}) ∧ ({⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩})))
77		s4f1o 14845	. . 3 ⊢ ((({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ V) ∧ ({⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ V)) → ((({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}) ∧ ({⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩})) → (𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}))))
78	77	imp 406	. 2 ⊢ (((({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ V) ∧ ({⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ V)) ∧ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}) ∧ ({⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}))) → (𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}})))
79		gpgprismgr4cycllem1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
80		pm2.27 42	. . . 4 ⊢ (𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ → ((𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}})) → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}})))
81	79, 80	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}})) → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}))
82		df-f1o 6500	. . . 4 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}) ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}) ∧ 𝐹:dom 𝐹–onto→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}})))
83		df-f1 6498	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}) ∧ Fun ◡𝐹))
84	83	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}) → Fun ◡𝐹)
85	84	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹–1-1→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}) ∧ 𝐹:dom 𝐹–onto→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}})) → Fun ◡𝐹)
86	82, 85	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}) → Fun ◡𝐹)
87	81, 86	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}})) → Fun ◡𝐹)
88	76, 78, 87	mp2b 10	1 ⊢ Fun ◡𝐹

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3441   ∪ cun 3900  {cpr 4583  ⟨cop 4587  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625  Fun wfun 6487  ⟶wf 6489  –1-1→wf1 6490  –onto→wfo 6491  –1-1-onto→wf1o 6492  0cc0 11030  1c1 11031  ⟨“cs4 14770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-hash 14258  df-word 14441  df-concat 14498  df-s1 14524  df-s2 14775  df-s3 14776  df-s4 14777

This theorem is referenced by:  gpgprismgr4cycllem11  48418