Theorem gpgprismgr4cycllem2 48043

Description: Lemma 2 for gpgprismgr4cycl0 48053: the cycle ⟨𝑃, 𝐹⟩ is proper, i.e., it has no overlapping edges. (Contributed by AV, 2-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gpgprismgr4cycllem1.f	⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgr4cycllem2	⊢ Fun ◡𝐹

Proof of Theorem gpgprismgr4cycllem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5407	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V
2		prex 5407	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ V)
4		prex 5407	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V
5		prex 5407	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ V
6	4, 5	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ V)
7	3, 6	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ V) ∧ ({⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ V))
8		opex 5439	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 0⟩ ∈ V
9		opex 5439	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 1⟩ ∈ V
10	8, 9	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 1⟩ ∈ V)
11		opex 5439	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 1⟩ ∈ V
12	9, 11	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V)
13	10, 12	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V))
14		0ne1 12309	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 1
15	14	olci 866	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 0 ∨ 0 ≠ 1)
16		c0ex 11227	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
17	16, 16	opthne 5457	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 0⟩ ≠ ⟨0, 1⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 0 ≠ 1))
18	15, 17	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨0, 1⟩
19	14	orci 865	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 0 ≠ 1)
20	16, 16	opthne 5457	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 0 ≠ 1))
21	19, 20	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩
22	18, 21	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 0⟩ ≠ ⟨0, 1⟩ ∧ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩)
23	22	orci 865	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 0⟩ ≠ ⟨0, 1⟩ ∧ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩) ∨ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 1⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩))
24		prneimg 4830	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 0⟩ ≠ ⟨0, 1⟩ ∧ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩) ∨ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 1⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩)) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}))
25	13, 23, 24	mp2 9	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}
26		opex 5439	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 0⟩ ∈ V
27	11, 26	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 0⟩ ∈ V)
28	10, 27	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 0⟩ ∈ V))
29	14	orci 865	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 0 ≠ 0)
30	16, 16	opthne 5457	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 0 ≠ 0))
31	29, 30	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩
32	21, 31	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩)
33	32	orci 865	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩) ∨ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩))
34		prneimg 4830	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 0⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩) ∨ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩)) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}))
35	28, 33, 34	mp2 9	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}
36	26, 8	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ V)
37	10, 36	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ V))
38		ax-1ne0 11196	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
39	38	olci 866	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 0)
40		1ex 11229	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
41	16, 40	opthne 5457	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 0))
42	39, 41	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩
43	38	olci 866	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 0 ∨ 1 ≠ 0)
44	16, 40	opthne 5457	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 1 ≠ 0))
45	43, 44	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩
46	42, 45	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩)
47	46	olci 866	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨0, 0⟩) ∨ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩))
48		prneimg 4830	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨0, 0⟩ ≠ ⟨0, 0⟩) ∨ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩)) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}))
49	37, 47, 48	mp2 9	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}
50	25, 35, 49	3pm3.2i 1340	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩})
51	12, 27	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 0⟩ ∈ V))
52	14	orci 865	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 1)
53	16, 40	opthne 5457	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 1))
54	52, 53	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩
55	54, 42	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩)
56	55	orci 865	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩) ∨ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩))
57		prneimg 4830	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 0⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩) ∨ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩)) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}))
58	51, 56, 57	mp2 9	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}
59	12, 36	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ V))
60	38	olci 866	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 0)
61	40, 40	opthne 5457	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 0))
62	60, 61	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩
63	38	olci 866	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ 1 ≠ 0)
64	40, 40	opthne 5457	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ 1 ≠ 0))
65	63, 64	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩
66	62, 65	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩)
67	66	olci 866	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩) ∨ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩))
68		prneimg 4830	. . . . . 6 ⊢ (((⟨0, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ V)) → (((⟨0, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨0, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩) ∨ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩)) → {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}))
69	59, 67, 68	mp2 9	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}
70	27, 36	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 0⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ V))
71	66	orci 865	. . . . . 6 ⊢ ((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩) ∨ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 0⟩))
72		prneimg 4830	. . . . . 6 ⊢ (((⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 0⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ V)) → (((⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 0⟩) ∨ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 0⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 0⟩)) → {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}))
73	70, 71, 72	mp2 9	. . . . 5 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}
74	58, 69, 73	3pm3.2i 1340	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩})
75	50, 74	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}) ∧ ({⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}))
76	7, 75	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ V) ∧ ({⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ V)) ∧ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}) ∧ ({⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩})))
77		s4f1o 14935	. . 3 ⊢ ((({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ V) ∧ ({⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ V)) → ((({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}) ∧ ({⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩})) → (𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}))))
78	77	imp 406	. 2 ⊢ (((({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ∈ V ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ V) ∧ ({⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∈ V ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∈ V)) ∧ (({⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}) ∧ ({⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ∧ {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩} ∧ {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} ≠ {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}))) → (𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}})))
79		gpgprismgr4cycllem1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
80		pm2.27 42	. . . 4 ⊢ (𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ → ((𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}})) → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}})))
81	79, 80	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}})) → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}))
82		df-f1o 6537	. . . 4 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}) ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}) ∧ 𝐹:dom 𝐹–onto→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}})))
83		df-f1 6535	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}) ∧ Fun ◡𝐹))
84	83	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}) → Fun ◡𝐹)
85	84	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹–1-1→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}) ∧ 𝐹:dom 𝐹–onto→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}})) → Fun ◡𝐹)
86	82, 85	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}}) → Fun ◡𝐹)
87	81, 86	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩ → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→({{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩}, {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩}} ∪ {{⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩}, {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}})) → Fun ◡𝐹)
88	76, 78, 87	mp2b 10	1 ⊢ Fun ◡𝐹

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  Vcvv 3459   ∪ cun 3924  {cpr 4603  ⟨cop 4607  ^◡ccnv 5653  dom cdm 5654  Fun wfun 6524  ⟶wf 6526  –1-1→wf1 6527  –onto→wfo 6528  –1-1-onto→wf1o 6529  0cc0 11127  1c1 11128  ⟨“cs4 14860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-hash 14347  df-word 14530  df-concat 14587  df-s1 14612  df-s2 14865  df-s3 14866  df-s4 14867

This theorem is referenced by:  gpgprismgr4cycllem11  48052