Theorem gpgprismgr4cycl0 48948

Description: The generalized Petersen graphs G(N,1), which are the N-prisms, have a cycle of length 4 starting at the vertex ⟨0, 0⟩. (Contributed by AV, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgprismgr4cycl.p	⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
gpgprismgr4cycl.f	⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
gpgprismgr4cycl.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgr4cycl0	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 4))

Proof of Theorem gpgprismgr4cycl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgprismgr4cycl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
2		gpgprismgr4cycl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
3		gpgprismgr4cycl.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)
4	1, 2, 3	gpgprismgr4cycllem11 48947	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)
5	2	gpgprismgr4cycllem1 48937	. 2 ⊢ (♯‘𝐹) = 4
6	4, 5	jctir 530	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 4))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cpr 4593  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11119  1c1 11120  3c3 12315  4c4 12316  ℤ_≥cuz 12882  ♯chash 14388  ⟨“cs4 14908  ⟨“cs5 14909  Cyclesccycls 30203   gPetersenGr cgpg 48882

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-rp 13037  df-ico 13398  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-fl 13847  df-ceil 13848  df-mod 13925  df-hash 14389  df-word 14573  df-concat 14630  df-s1 14657  df-s2 14913  df-s3 14914  df-s4 14915  df-s5 14916  df-dvds 16337  df-struct 17233  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-edgf 29398  df-vtx 29407  df-iedg 29408  df-edg 29457  df-uhgr 29467  df-upgr 29491  df-uspgr 29562  df-usgr 29563  df-wlks 30011  df-trls 30106  df-pths 30130  df-cycls 30205  df-gpg 48883

This theorem is used by:  gpgprismgr4cyclex  48949