Theorem gpgprismgr4cycl0 48794

Description: The generalized Petersen graphs G(N,1), which are the N-prisms, have a cycle of length 4 starting at the vertex ⟨0, 0⟩. (Contributed by AV, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgprismgr4cycl.p	⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
gpgprismgr4cycl.f	⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
gpgprismgr4cycl.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgr4cycl0	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 4))

Proof of Theorem gpgprismgr4cycl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgprismgr4cycl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
2		gpgprismgr4cycl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
3		gpgprismgr4cycl.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)
4	1, 2, 3	gpgprismgr4cycllem11 48793	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)
5	2	gpgprismgr4cycllem1 48783	. 2 ⊢ (♯‘𝐹) = 4
6	4, 5	jctir 529	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 4))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cpr 4596  ⟨cop 4600   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11100  1c1 11101  3c3 12296  4c4 12297  ℤ_≥cuz 12862  ♯chash 14366  ⟨“cs4 14880  ⟨“cs5 14881  Cyclesccycls 30075   gPetersenGr cgpg 48728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-rp 13017  df-ico 13378  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-ceil 13826  df-mod 13903  df-hash 14367  df-word 14551  df-concat 14608  df-s1 14634  df-s2 14885  df-s3 14886  df-s4 14887  df-s5 14888  df-dvds 16311  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-edgf 29280  df-vtx 29289  df-iedg 29290  df-edg 29339  df-uhgr 29349  df-upgr 29373  df-uspgr 29441  df-usgr 29442  df-wlks 29890  df-trls 29981  df-pths 30004  df-cycls 30077  df-gpg 48729

This theorem is referenced by:  gpgprismgr4cyclex  48795