Theorem gpgprismgr4cycllem11 48052

Description: Lemma 11 for gpgprismgr4cycl0 48053. (Contributed by AV, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgprismgr4cycl.p	⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
gpgprismgr4cycl.f	⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
gpgprismgr4cycl.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgr4cycllem11	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem gpgprismgr4cycllem11

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgprismgr4cycl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
2	1	gpgprismgr4cycllem5 48046	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ Word V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ Word V)
4	1	gpgprismgr4cycllem4 48045	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝑃) = 5
5	4	oveq1i 7413	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) − 1) = (5 − 1)
6		5m1e4 12368	. . . . 5 ⊢ (5 − 1) = 4
7	5, 6	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) − 1) = 4
8	7	eqcomi 2744	. . 3 ⊢ 4 = ((♯‘𝑃) − 1)
9	1	gpgprismgr4cycllem7 48048	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^4)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑃‘𝑥) ≠ (𝑃‘𝑦)))
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^4))) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑃‘𝑥) ≠ (𝑃‘𝑦)))
11	10	ralrimivva 3187	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑦 ∈ (1..^4)(𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑃‘𝑥) ≠ (𝑃‘𝑦)))
12		gpgprismgr4cycl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
13	12	gpgprismgr4cycllem1 48042	. . 3 ⊢ (♯‘𝐹) = 4
14		gpgprismgr4cycl.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)
15	1, 12, 14	gpgprismgr4cycllem8 48049	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
16	1, 12, 14	gpgprismgr4cycllem9 48050	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
17	1, 12, 14	gpgprismgr4cycllem10 48051	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
18	17	ralrimiva 3132	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
19		gpgprismgrusgra 48010	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)
20	14	eleq1i 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)
21		usgrupgr 29110	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
22	20, 21	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
23		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
24		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
25	23, 24	upgriswlk 29567	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})))
26	19, 22, 25	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})))
27	15, 16, 18, 26	mpbir3and 1343	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
28	12	gpgprismgr4cycllem2 48043	. . . 4 ⊢ Fun ◡𝐹
29		istrl 29622	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹))
30	27, 28, 29	sylanblrc 590	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
31	3, 8, 11, 13, 30	pthd 29697	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
32	1	gpgprismgr4cycllem6 48047	. . 3 ⊢ (𝑃‘0) = (𝑃‘4)
33	13	eqcomi 2744	. . . 4 ⊢ 4 = (♯‘𝐹)
34	33	fveq2i 6878	. . 3 ⊢ (𝑃‘4) = (𝑃‘(♯‘𝐹))
35	32, 34	eqtri 2758	. 2 ⊢ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))
36		iscycl 29719	. 2 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
37	31, 35, 36	sylanblrc 590	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  Vcvv 3459  {cpr 4603  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119  ^◡ccnv 5653  dom cdm 5654  Fun wfun 6524  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   − cmin 11464  3c3 12294  4c4 12295  5c5 12296  ℤ_≥cuz 12850  ...cfz 13522  ..^cfzo 13669  ♯chash 14346  Word cword 14529  ⟨“cs4 14860  ⟨“cs5 14861  Vtxcvtx 28921  iEdgciedg 28922  UPGraphcupgr 29005  USGraphcusgr 29074  Walkscwlks 29522  Trailsctrls 29616  Pathscpths 29638  Cyclesccycls 29713   gPetersenGr cgpg 47992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9452  df-inf 9453  df-dju 9913  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-rp 13007  df-ico 13366  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13807  df-ceil 13808  df-mod 13885  df-hash 14347  df-word 14530  df-concat 14587  df-s1 14612  df-s2 14865  df-s3 14866  df-s4 14867  df-s5 14868  df-dvds 16271  df-struct 17164  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-edgf 28914  df-vtx 28923  df-iedg 28924  df-edg 28973  df-uhgr 28983  df-upgr 29007  df-uspgr 29075  df-usgr 29076  df-wlks 29525  df-trls 29618  df-pths 29642  df-cycls 29715  df-gpg 47993

This theorem is referenced by:  gpgprismgr4cycl0  48053