Theorem gpgprismgr4cycllem11 48732

Description: Lemma 11 for gpgprismgr4cycl0 48733. (Contributed by AV, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgprismgr4cycl.p	⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
gpgprismgr4cycl.f	⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
gpgprismgr4cycl.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgr4cycllem11	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem gpgprismgr4cycllem11

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgprismgr4cycl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
2	1	gpgprismgr4cycllem5 48726	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ Word V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ Word V)
4	1	gpgprismgr4cycllem4 48725	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝑃) = 5
5	4	oveq1i 7408	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) − 1) = (5 − 1)
6		5m1e4 12349	. . . . 5 ⊢ (5 − 1) = 4
7	5, 6	eqtri 2787	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) − 1) = 4
8	7	eqcomi 2773	. . 3 ⊢ 4 = ((♯‘𝑃) − 1)
9	1	gpgprismgr4cycllem7 48728	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^4)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑃‘𝑥) ≠ (𝑃‘𝑦)))
10	9	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^4))) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑃‘𝑥) ≠ (𝑃‘𝑦)))
11	10	ralrimivva 3207	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑦 ∈ (1..^4)(𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑃‘𝑥) ≠ (𝑃‘𝑦)))
12		gpgprismgr4cycl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
13	12	gpgprismgr4cycllem1 48722	. . 3 ⊢ (♯‘𝐹) = 4
14		gpgprismgr4cycl.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)
15	1, 12, 14	gpgprismgr4cycllem8 48729	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
16	1, 12, 14	gpgprismgr4cycllem9 48730	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
17	1, 12, 14	gpgprismgr4cycllem10 48731	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
18	17	ralrimiva 3156	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
19		gpgprismgrusgra 48685	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)
20	14	eleq1i 2855	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)
21		usgrupgr 29388	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
22	20, 21	sylbir 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
23		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
24		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
25	23, 24	upgriswlk 29843	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})))
26	19, 22, 25	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})))
27	15, 16, 18, 26	mpbir3and 1357	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
28	12	gpgprismgr4cycllem2 48723	. . . 4 ⊢ Fun ◡𝐹
29		istrl 29897	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹))
30	27, 28, 29	sylanblrc 599	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
31	3, 8, 11, 13, 30	pthd 29971	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
32	1	gpgprismgr4cycllem6 48727	. . 3 ⊢ (𝑃‘0) = (𝑃‘4)
33	13	eqcomi 2773	. . . 4 ⊢ 4 = (♯‘𝐹)
34	33	fveq2i 6872	. . 3 ⊢ (𝑃‘4) = (𝑃‘(♯‘𝐹))
35	32, 34	eqtri 2787	. 2 ⊢ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))
36		iscycl 29993	. 2 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
37	31, 35, 36	sylanblrc 599	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∀wral 3078  Vcvv 3456  {cpr 4586  ⟨cop 4590   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5648  dom cdm 5649  Fun wfun 6517  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   − cmin 11416  3c3 12275  4c4 12276  5c5 12277  ℤ_≥cuz 12841  ...cfz 13514  ..^cfzo 13661  ♯chash 14345  Word cword 14528  ⟨“cs4 14858  ⟨“cs5 14859  Vtxcvtx 29199  iEdgciedg 29200  UPGraphcupgr 29283  USGraphcusgr 29352  Walkscwlks 29799  Trailsctrls 29891  Pathscpths 29912  Cyclesccycls 29987   gPetersenGr cgpg 48667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-ifp 1075  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-oadd 8443  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-inf 9391  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-xnn0 12557  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-rp 12996  df-ico 13357  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13804  df-ceil 13805  df-mod 13882  df-hash 14346  df-word 14529  df-concat 14586  df-s1 14612  df-s2 14863  df-s3 14864  df-s4 14865  df-s5 14866  df-dvds 16289  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-edgf 29192  df-vtx 29201  df-iedg 29202  df-edg 29251  df-uhgr 29261  df-upgr 29285  df-uspgr 29353  df-usgr 29354  df-wlks 29802  df-trls 29893  df-pths 29916  df-cycls 29989  df-gpg 48668

This theorem is referenced by:  gpgprismgr4cycl0  48733