Theorem gpgprismgr4cycllem11 49119

Description: Lemma 11 for gpgprismgr4cycl0 49120. (Contributed by AV, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgprismgr4cycl.p	⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
gpgprismgr4cycl.f	⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
gpgprismgr4cycl.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgr4cycllem11	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem gpgprismgr4cycllem11

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgprismgr4cycl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
2	1	gpgprismgr4cycllem5 49113	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ Word V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ Word V)
4	1	gpgprismgr4cycllem4 49112	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝑃) = 5
5	4	oveq1i 7419	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) − 1) = (5 − 1)
6		5m1e4 12427	. . . . 5 ⊢ (5 − 1) = 4
7	5, 6	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) − 1) = 4
8	7	eqcomi 2769	. . 3 ⊢ 4 = ((♯‘𝑃) − 1)
9	1	gpgprismgr4cycllem7 49115	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^4)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑃‘𝑥) ≠ (𝑃‘𝑦)))
10	9	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^4))) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑃‘𝑥) ≠ (𝑃‘𝑦)))
11	10	ralrimivva 3205	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑦 ∈ (1..^4)(𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑃‘𝑥) ≠ (𝑃‘𝑦)))
12		gpgprismgr4cycl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
13	12	gpgprismgr4cycllem1 49109	. . 3 ⊢ (♯‘𝐹) = 4
14		gpgprismgr4cycl.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)
15	1, 12, 14	gpgprismgr4cycllem8 49116	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
16	1, 12, 14	gpgprismgr4cycllem9 49117	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
17	1, 12, 14	gpgprismgr4cycllem10 49118	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
18	17	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
19		gpgprismgrusgra 49072	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)
20	14	eleq1i 2851	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)
21		usgrupgr 29685	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
22	20, 21	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
23		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
24		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
25	23, 24	upgriswlk 30140	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})))
26	19, 22, 25	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})))
27	15, 16, 18, 26	mpbir3and 1361	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
28	12	gpgprismgr4cycllem2 49110	. . . 4 ⊢ Fun ◡𝐹
29		istrl 30198	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹))
30	27, 28, 29	sylanblrc 602	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
31	3, 8, 11, 13, 30	pthd 30274	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
32	1	gpgprismgr4cycllem6 49114	. . 3 ⊢ (𝑃‘0) = (𝑃‘4)
33	13	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ 4 = (♯‘𝐹)
34	33	fveq2i 6877	. . 3 ⊢ (𝑃‘4) = (𝑃‘(♯‘𝐹))
35	32, 34	eqtri 2783	. 2 ⊢ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))
36		iscycl 30297	. 2 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
37	31, 35, 36	sylanblrc 602	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450  {cpr 4586  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5647  dom cdm 5648  Fun wfun 6522  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  0cc0 11157  1c1 11158   + caddc 11160   − cmin 11498  3c3 12353  4c4 12354  5c5 12355  ℤ_≥cuz 12920  ...cfz 13594  ..^cfzo 13742  ♯chash 14427  Word cword 14611  ⟨“cs4 14947  ⟨“cs5 14948  Vtxcvtx 29493  iEdgciedg 29494  UPGraphcupgr 29577  USGraphcusgr 29649  Walkscwlks 30096  Trailsctrls 30192  Pathscpths 30214  Cyclesccycls 30291   gPetersenGr cgpg 49054

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-xnn0 12635  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-rp 13076  df-ico 13437  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-fl 13886  df-ceil 13887  df-mod 13964  df-hash 14428  df-word 14612  df-concat 14669  df-s1 14696  df-s2 14952  df-s3 14953  df-s4 14954  df-s5 14955  df-dvds 16376  df-struct 17272  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-edgf 29486  df-vtx 29495  df-iedg 29496  df-edg 29545  df-uhgr 29555  df-upgr 29579  df-uspgr 29650  df-usgr 29651  df-wlks 30099  df-trls 30194  df-pths 30218  df-cycls 30293  df-gpg 49055

This theorem is used by:  gpgprismgr4cycl0  49120