Theorem gpgprismgr4cycllem11 48610

Description: Lemma 11 for gpgprismgr4cycl0 48611. (Contributed by AV, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgprismgr4cycl.p	⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
gpgprismgr4cycl.f	⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
gpgprismgr4cycl.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgr4cycllem11	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem gpgprismgr4cycllem11

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgprismgr4cycl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
2	1	gpgprismgr4cycllem5 48604	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ Word V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ Word V)
4	1	gpgprismgr4cycllem4 48603	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝑃) = 5
5	4	oveq1i 7370	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) − 1) = (5 − 1)
6		5m1e4 12301	. . . . 5 ⊢ (5 − 1) = 4
7	5, 6	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) − 1) = 4
8	7	eqcomi 2750	. . 3 ⊢ 4 = ((♯‘𝑃) − 1)
9	1	gpgprismgr4cycllem7 48606	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^4)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑃‘𝑥) ≠ (𝑃‘𝑦)))
10	9	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^4))) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑃‘𝑥) ≠ (𝑃‘𝑦)))
11	10	ralrimivva 3184	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑦 ∈ (1..^4)(𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑃‘𝑥) ≠ (𝑃‘𝑦)))
12		gpgprismgr4cycl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
13	12	gpgprismgr4cycllem1 48600	. . 3 ⊢ (♯‘𝐹) = 4
14		gpgprismgr4cycl.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)
15	1, 12, 14	gpgprismgr4cycllem8 48607	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
16	1, 12, 14	gpgprismgr4cycllem9 48608	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
17	1, 12, 14	gpgprismgr4cycllem10 48609	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
18	17	ralrimiva 3133	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
19		gpgprismgrusgra 48563	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)
20	14	eleq1i 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)
21		usgrupgr 29276	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
22	20, 21	sylbir 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
23		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
24		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
25	23, 24	upgriswlk 29731	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})))
26	19, 22, 25	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})))
27	15, 16, 18, 26	mpbir3and 1350	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
28	12	gpgprismgr4cycllem2 48601	. . . 4 ⊢ Fun ◡𝐹
29		istrl 29785	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹))
30	27, 28, 29	sylanblrc 597	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
31	3, 8, 11, 13, 30	pthd 29859	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
32	1	gpgprismgr4cycllem6 48605	. . 3 ⊢ (𝑃‘0) = (𝑃‘4)
33	13	eqcomi 2750	. . . 4 ⊢ 4 = (♯‘𝐹)
34	33	fveq2i 6834	. . 3 ⊢ (𝑃‘4) = (𝑃‘(♯‘𝐹))
35	32, 34	eqtri 2764	. 2 ⊢ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))
36		iscycl 29881	. 2 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
37	31, 35, 36	sylanblrc 597	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  Vcvv 3433  {cpr 4560  ⟨cop 4564   class class class wbr 5075  ^◡ccnv 5620  dom cdm 5621  Fun wfun 6483  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   − cmin 11372  3c3 12232  4c4 12233  5c5 12234  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456  ..^cfzo 13603  ♯chash 14287  Word cword 14470  ⟨“cs4 14800  ⟨“cs5 14801  Vtxcvtx 29087  iEdgciedg 29088  UPGraphcupgr 29171  USGraphcusgr 29240  Walkscwlks 29687  Trailsctrls 29779  Pathscpths 29800  Cyclesccycls 29875   gPetersenGr cgpg 48545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-ifp 1070  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-rp 12938  df-ico 13299  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-ceil 13747  df-mod 13824  df-hash 14288  df-word 14471  df-concat 14528  df-s1 14554  df-s2 14805  df-s3 14806  df-s4 14807  df-s5 14808  df-dvds 16217  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-edgf 29080  df-vtx 29089  df-iedg 29090  df-edg 29139  df-uhgr 29149  df-upgr 29173  df-uspgr 29241  df-usgr 29242  df-wlks 29690  df-trls 29781  df-pths 29804  df-cycls 29877  df-gpg 48546

This theorem is referenced by:  gpgprismgr4cycl0  48611