Theorem gpgprismgr4cycllem11 48815

Description: Lemma 11 for gpgprismgr4cycl0 48816. (Contributed by AV, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgprismgr4cycl.p	⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
gpgprismgr4cycl.f	⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
gpgprismgr4cycl.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgr4cycllem11	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem gpgprismgr4cycllem11

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgprismgr4cycl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
2	1	gpgprismgr4cycllem5 48809	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ Word V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ Word V)
4	1	gpgprismgr4cycllem4 48808	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝑃) = 5
5	4	oveq1i 7420	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) − 1) = (5 − 1)
6		5m1e4 12369	. . . . 5 ⊢ (5 − 1) = 4
7	5, 6	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) − 1) = 4
8	7	eqcomi 2770	. . 3 ⊢ 4 = ((♯‘𝑃) − 1)
9	1	gpgprismgr4cycllem7 48811	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^4)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑃‘𝑥) ≠ (𝑃‘𝑦)))
10	9	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑃)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^4))) → (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑃‘𝑥) ≠ (𝑃‘𝑦)))
11	10	ralrimivva 3206	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑦 ∈ (1..^4)(𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑃‘𝑥) ≠ (𝑃‘𝑦)))
12		gpgprismgr4cycl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
13	12	gpgprismgr4cycllem1 48805	. . 3 ⊢ (♯‘𝐹) = 4
14		gpgprismgr4cycl.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)
15	1, 12, 14	gpgprismgr4cycllem8 48812	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
16	1, 12, 14	gpgprismgr4cycllem9 48813	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
17	1, 12, 14	gpgprismgr4cycllem10 48814	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
18	17	ralrimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})
19		gpgprismgrusgra 48768	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)
20	14	eleq1i 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph)
21		usgrupgr 29501	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
22	20, 21	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 gPetersenGr 1) ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
23		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
24		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
25	23, 24	upgriswlk 29956	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})))
26	19, 22, 25	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))((iEdg‘𝐺)‘(𝐹‘𝑥)) = {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})))
27	15, 16, 18, 26	mpbir3and 1359	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
28	12	gpgprismgr4cycllem2 48806	. . . 4 ⊢ Fun ◡𝐹
29		istrl 30010	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹))
30	27, 28, 29	sylanblrc 601	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
31	3, 8, 11, 13, 30	pthd 30084	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
32	1	gpgprismgr4cycllem6 48810	. . 3 ⊢ (𝑃‘0) = (𝑃‘4)
33	13	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ 4 = (♯‘𝐹)
34	33	fveq2i 6884	. . 3 ⊢ (𝑃‘4) = (𝑃‘(♯‘𝐹))
35	32, 34	eqtri 2784	. 2 ⊢ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))
36		iscycl 30106	. 2 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
37	31, 35, 36	sylanblrc 601	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  Vcvv 3453  {cpr 4590  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108  ^◡ccnv 5660  dom cdm 5661  Fun wfun 6530  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   − cmin 11440  3c3 12295  4c4 12296  5c5 12297  ℤ_≥cuz 12861  ...cfz 13534  ..^cfzo 13681  ♯chash 14365  Word cword 14549  ⟨“cs4 14879  ⟨“cs5 14880  Vtxcvtx 29312  iEdgciedg 29313  UPGraphcupgr 29396  USGraphcusgr 29465  Walkscwlks 29912  Trailsctrls 30004  Pathscpths 30025  Cyclesccycls 30100   gPetersenGr cgpg 48750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-rp 13016  df-ico 13377  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-ceil 13825  df-mod 13902  df-hash 14366  df-word 14550  df-concat 14607  df-s1 14633  df-s2 14884  df-s3 14885  df-s4 14886  df-s5 14887  df-dvds 16310  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-edgf 29305  df-vtx 29314  df-iedg 29315  df-edg 29364  df-uhgr 29374  df-upgr 29398  df-uspgr 29466  df-usgr 29467  df-wlks 29915  df-trls 30006  df-pths 30029  df-cycls 30102  df-gpg 48751

This theorem is referenced by:  gpgprismgr4cycl0  48816