Theorem grlimpredg 48804

Description: For two locally isomorphic graphs 𝐺 and 𝐻 and a vertex 𝐴 of 𝐺 there is a bijection 𝑓 mapping the closed neighborhood 𝑁 of 𝐴 onto the closed neighborhood 𝑀 of (𝐹‘𝐴), so that the mapped vertices of an edge {𝐴, 𝐵} containing the vertex 𝐴 is an edge in 𝐻. (Contributed by AV, 27-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
clnbgrvtxedg.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 ClNeighbVtx 𝐴)
clnbgrvtxedg.i	⊢ 𝐼 = (Edg‘𝐺)
clnbgrvtxedg.k	⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑁}
grlimedgclnbgr.m	⊢ 𝑀 = (𝐻 ClNeighbVtx (𝐹‘𝐴))
grlimedgclnbgr.j	⊢ 𝐽 = (Edg‘𝐻)
grlimedgclnbgr.l	⊢ 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑀}

Assertion

Ref	Expression
grlimpredg	⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐻 ∈ USPGraph) ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphLocIso 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐼)) → ∃𝑓(𝑓:𝑁–1-1-onto→𝑀 ∧ {(𝑓‘𝐴), (𝑓‘𝐵)} ∈ 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁   𝑥,𝐴,𝑓   𝑓,𝐹,𝑥   𝑓,𝐺,𝑥   𝑓,𝐻,𝑥   𝑓,𝐼   𝑥,𝐽   𝐵,𝑓,𝑥   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊   𝑥,𝑀   𝑥,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑓)   𝐾(𝑥, 𝑓)   𝐿(𝑥, 𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem grlimpredg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clnbgrvtxedg.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐺 ClNeighbVtx 𝐴)
2		clnbgrvtxedg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Edg‘𝐺)
3		clnbgrvtxedg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑁}
4		grlimedgclnbgr.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝐻 ClNeighbVtx (𝐹‘𝐴))
5		grlimedgclnbgr.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Edg‘𝐻)
6		grlimedgclnbgr.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝐽 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑀}
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	grlimprclnbgredg 48803	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐻 ∈ USPGraph) ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphLocIso 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐼)) → ∃𝑓(𝑓:𝑁–1-1-onto→𝑀 ∧ {(𝑓‘𝐴), (𝑓‘𝐵)} ∈ 𝐿))
8		sseq1 3965	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {(𝑓‘𝐴), (𝑓‘𝐵)} → (𝑥 ⊆ 𝑀 ↔ {(𝑓‘𝐴), (𝑓‘𝐵)} ⊆ 𝑀))
9	8, 6	elrab2 3657	. . . . 5 ⊢ ({(𝑓‘𝐴), (𝑓‘𝐵)} ∈ 𝐿 ↔ ({(𝑓‘𝐴), (𝑓‘𝐵)} ∈ 𝐽 ∧ {(𝑓‘𝐴), (𝑓‘𝐵)} ⊆ 𝑀))
10		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ (({(𝑓‘𝐴), (𝑓‘𝐵)} ∈ 𝐽 ∧ {(𝑓‘𝐴), (𝑓‘𝐵)} ⊆ 𝑀) → {(𝑓‘𝐴), (𝑓‘𝐵)} ∈ 𝐽)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐻 ∈ USPGraph) ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphLocIso 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐼)) ∧ 𝑓:𝑁–1-1-onto→𝑀) → (({(𝑓‘𝐴), (𝑓‘𝐵)} ∈ 𝐽 ∧ {(𝑓‘𝐴), (𝑓‘𝐵)} ⊆ 𝑀) → {(𝑓‘𝐴), (𝑓‘𝐵)} ∈ 𝐽))
12	9, 11	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐻 ∈ USPGraph) ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphLocIso 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐼)) ∧ 𝑓:𝑁–1-1-onto→𝑀) → ({(𝑓‘𝐴), (𝑓‘𝐵)} ∈ 𝐿 → {(𝑓‘𝐴), (𝑓‘𝐵)} ∈ 𝐽))
13	12	imdistanda 582	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐻 ∈ USPGraph) ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphLocIso 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐼)) → ((𝑓:𝑁–1-1-onto→𝑀 ∧ {(𝑓‘𝐴), (𝑓‘𝐵)} ∈ 𝐿) → (𝑓:𝑁–1-1-onto→𝑀 ∧ {(𝑓‘𝐴), (𝑓‘𝐵)} ∈ 𝐽)))
14	13	eximdv 1950	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐻 ∈ USPGraph) ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphLocIso 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐼)) → (∃𝑓(𝑓:𝑁–1-1-onto→𝑀 ∧ {(𝑓‘𝐴), (𝑓‘𝐵)} ∈ 𝐿) → ∃𝑓(𝑓:𝑁–1-1-onto→𝑀 ∧ {(𝑓‘𝐴), (𝑓‘𝐵)} ∈ 𝐽)))
15	7, 14	mpd 16	1 ⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐻 ∈ USPGraph) ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphLocIso 𝐻) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐼)) → ∃𝑓(𝑓:𝑁–1-1-onto→𝑀 ∧ {(𝑓‘𝐴), (𝑓‘𝐵)} ∈ 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  {crab 3419   ⊆ wss 3908  {cpr 4596  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Edgcedg 29434  USPGraphcuspgr 29535   ClNeighbVtx cclnbgr 48624   GraphLocIso cgrlim 48782

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-hash 14387  df-vtx 29385  df-iedg 29386  df-edg 29435  df-uhgr 29445  df-upgr 29469  df-uspgr 29537  df-nbgr 29720  df-clnbgr 48625  df-isubgr 48667  df-grim 48684  df-gric 48687  df-grlim 48784

This theorem is used by: (None)