Theorem grpcanonhfstruct 46228

Description: A group defined on a hereditarily finite set is an HFStruct. (Contributed by Eric Schmidt, 24-Oct-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcanonhfstruct.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcanonhfstruct.2	⊢ ⨣ = (+𝑓‘𝐺)
grpcanonhfstruct.3	⊢ 𝐻 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
grpcanonhfstruct.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpcanonhfstruct.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ HF )

Assertion

Ref	Expression
grpcanonhfstruct	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ HFStruct)

Proof of Theorem grpcanonhfstruct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpcanonhfstruct.3	. . 3 ⊢ 𝐻 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
2	1	grpstr 17485	. 2 ⊢ 𝐻 Struct ⟨(Base‘ndx), (+g‘ndx)⟩
3		grpcanonhfstruct.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ HF )
4		grpcanonhfstruct.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
5		grpcanonhfstruct.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		grpcanonhfstruct.2	. . . . . . 7 ⊢ ⨣ = (+𝑓‘𝐺)
7	5, 6	grpplusf 19185	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ⨣ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
8		fssxp 6756	. . . . . 6 ⊢ ( ⨣ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 → ⨣ ⊆ ((𝐵 × 𝐵) × 𝐵))
9	4, 7, 8	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⨣ ⊆ ((𝐵 × 𝐵) × 𝐵))
10		hfxp 46210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) → (𝐵 × 𝐵) ∈ HF )
11	3, 3, 10	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐵) ∈ HF )
12		hfxp 46210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 × 𝐵) ∈ HF ∧ 𝐵 ∈ HF ) → ((𝐵 × 𝐵) × 𝐵) ∈ HF )
13	11, 3, 12	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐵) × 𝐵) ∈ HF )
14		hfsshf 9939	. . . . 5 ⊢ (( ⨣ ⊆ ((𝐵 × 𝐵) × 𝐵) ∧ ((𝐵 × 𝐵) × 𝐵) ∈ HF ) → ⨣ ∈ HF )
15	9, 13, 14	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⨣ ∈ HF )
16		fvex 6918	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ∈ V
17		fvex 6918	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
18		relpropg 46111	. . . . . 6 ⊢ ((((Base‘ndx) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ HF ) ∧ ((+g‘ndx) ∈ V ∧ ⨣ ∈ HF )) → Rel {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩})
19	17, 18	mpanl1 713	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ HF ∧ ((+g‘ndx) ∈ V ∧ ⨣ ∈ HF )) → Rel {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩})
20	16, 19	mpanr1 716	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ HF ∧ ⨣ ∈ HF ) → Rel {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩})
21	3, 15, 20	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩})
22	1	releqi 5759	. . 3 ⊢ (Rel 𝐻 ↔ Rel {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩})
23	21, 22	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐻)
24	1	rneqi 5925	. . . 4 ⊢ ran 𝐻 = ran {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
25		rnpropg 6235	. . . . 5 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ V ∧ (+g‘ndx) ∈ V) → ran {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩} = {𝐵, ⨣ })
26	17, 16, 25	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ran {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩} = {𝐵, ⨣ }
27	24, 26	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ran 𝐻 = {𝐵, ⨣ }
28	3, 15	prssd 4781	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐵, ⨣ } ⊆ HF )
29	27, 28	eqsstrid 3951	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ HF )
30		ishfstruct 46224	. 2 ⊢ ((𝐻 Struct ⟨(Base‘ndx), (+g‘ndx)⟩ ∧ Rel 𝐻 ∧ ran 𝐻 ⊆ HF ) → 𝐻 ∈ HFStruct)
31	2, 23, 29, 30	mp3an2i 1496	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ HFStruct)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {cpr 4590  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106   × cxp 5653  ran crn 5656  Rel wrel 5660  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555   HF chf 9928   Struct cstr 17350  ndxcnx 17397  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454  +_𝑓cplusf 18839  Grpcgrp 19170  HFStructchfstruct 46219

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-r1 9792  df-rank 9793  df-hf 9929  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-struct 17351  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-plusf 18841  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-hfstruct 46220

This theorem is used by:  fingrphf  46229