Theorem grtrimap 47798

Description: Conditions for mapping triangles onto triangles. Lemma for grimgrtri 47799 and grlimgrtri 47821. (Contributed by AV, 23-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
grtrimap	⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3)))

Proof of Theorem grtrimap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 6799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → 𝐹:𝑉⟶𝑊)
2	1	ffvelcdmda 7098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊)
3	2	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (𝑎 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊))
4	1	ffvelcdmda 7098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊)
5	4	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (𝑏 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊))
6	1	ffvelcdmda 7098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊)
7	6	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (𝑐 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊))
8	3, 5, 7	3anim123d 1441	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊)))
9	8	adantrd 491	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊)))
10	9	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊))
11		imaeq2 6070	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝐹 “ 𝑇) = (𝐹 “ {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
12	11	ad2antrl 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (𝐹 “ 𝑇) = (𝐹 “ {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (𝐹 “ 𝑇) = (𝐹 “ {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
14		f1fn 6800	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → 𝐹 Fn 𝑉)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝐹 Fn 𝑉)
16		simprl1 1216	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑎 ∈ 𝑉)
17		simprl2 1217	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑏 ∈ 𝑉)
18		simprl3 1218	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑐 ∈ 𝑉)
19	15, 16, 17, 18	fnimatpd 6987	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (𝐹 “ {𝑎, 𝑏, 𝑐}) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)})
20	13, 19	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)})
21		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝐹:𝑉–1-1→𝑊)
22		tpssi 4845	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑉)
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑉)
24		sseq1 4021	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝑇 ⊆ 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑉))
25	24	ad2antrl 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (𝑇 ⊆ 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑉))
26	23, 25	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
27	26	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
28		tpex 7758	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∈ V
29		eleq1 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝑇 ∈ V ↔ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∈ V))
30	28, 29	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → 𝑇 ∈ V)
31	30	ad2antrl 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → 𝑇 ∈ V)
32	31	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑇 ∈ V)
33		f1imaeng 9047	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ V) → (𝐹 “ 𝑇) ≈ 𝑇)
34		hasheni 14373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 “ 𝑇) ≈ 𝑇 → (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = (♯‘𝑇))
35	33, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ V) → (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = (♯‘𝑇))
36	35	eqcomd 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ V) → (♯‘𝑇) = (♯‘(𝐹 “ 𝑇)))
37	21, 27, 32, 36	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (♯‘𝑇) = (♯‘(𝐹 “ 𝑇)))
38		simprrr 781	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (♯‘𝑇) = 3)
39	37, 38	eqtr3d 2775	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3)
40	10, 20, 39	3jca 1126	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3))
41	40	ex 412	1 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1535   ∈ wcel 2104  Vcvv 3477   ⊆ wss 3963  {ctp 4634   class class class wbr 5149   “ cima 5686   Fn wfn 6553  –1-1→wf1 6555  ‘cfv 6558   ≈ cen 8975  3c3 12313  ♯chash 14355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4915  df-int 4954  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-om 7881  df-2nd 8008  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8499  df-er 8738  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12258  df-n0 12518  df-z 12605  df-uz 12870  df-hash 14356

This theorem is referenced by:  grimgrtri  47799  grlimgrtri  47821