Theorem grtrimap 47937

Description: Conditions for mapping triangles onto triangles. Lemma for grimgrtri 47938 and grlimgrtri 47985. (Contributed by AV, 23-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
grtrimap	⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3)))

Proof of Theorem grtrimap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 6758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → 𝐹:𝑉⟶𝑊)
2	1	ffvelcdmda 7058	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊)
3	2	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (𝑎 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊))
4	1	ffvelcdmda 7058	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊)
5	4	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (𝑏 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊))
6	1	ffvelcdmda 7058	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊)
7	6	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (𝑐 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊))
8	3, 5, 7	3anim123d 1445	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊)))
9	8	adantrd 491	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊)))
10	9	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊))
11		imaeq2 6029	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝐹 “ 𝑇) = (𝐹 “ {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
12	11	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (𝐹 “ 𝑇) = (𝐹 “ {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (𝐹 “ 𝑇) = (𝐹 “ {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
14		f1fn 6759	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → 𝐹 Fn 𝑉)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝐹 Fn 𝑉)
16		simprl1 1219	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑎 ∈ 𝑉)
17		simprl2 1220	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑏 ∈ 𝑉)
18		simprl3 1221	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑐 ∈ 𝑉)
19	15, 16, 17, 18	fnimatpd 6947	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (𝐹 “ {𝑎, 𝑏, 𝑐}) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)})
20	13, 19	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)})
21		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝐹:𝑉–1-1→𝑊)
22		tpssi 4804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑉)
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑉)
24		sseq1 3974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝑇 ⊆ 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑉))
25	24	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (𝑇 ⊆ 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑉))
26	23, 25	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
27	26	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
28		tpex 7724	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∈ V
29		eleq1 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝑇 ∈ V ↔ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∈ V))
30	28, 29	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → 𝑇 ∈ V)
31	30	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → 𝑇 ∈ V)
32	31	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑇 ∈ V)
33		f1imaeng 8987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ V) → (𝐹 “ 𝑇) ≈ 𝑇)
34		hasheni 14319	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 “ 𝑇) ≈ 𝑇 → (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = (♯‘𝑇))
35	33, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ V) → (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = (♯‘𝑇))
36	35	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ V) → (♯‘𝑇) = (♯‘(𝐹 “ 𝑇)))
37	21, 27, 32, 36	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (♯‘𝑇) = (♯‘(𝐹 “ 𝑇)))
38		simprrr 781	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (♯‘𝑇) = 3)
39	37, 38	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3)
40	10, 20, 39	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3))
41	40	ex 412	1 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3916  {ctp 4595   class class class wbr 5109   “ cima 5643   Fn wfn 6508  –1-1→wf1 6510  ‘cfv 6513   ≈ cen 8917  3c3 12243  ♯chash 14301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-hash 14302

This theorem is referenced by:  grimgrtri  47938  grlimgrtri  47985