Theorem grtrimap 48771

Description: Conditions for mapping triangles onto triangles. Lemma for grimgrtri 48772 and grlimgrtri 48826. (Contributed by AV, 23-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
grtrimap	⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3)))

Proof of Theorem grtrimap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 6778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → 𝐹:𝑉⟶𝑊)
2	1	ffvelcdmda 7083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊)
3	2	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (𝑎 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊))
4	1	ffvelcdmda 7083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊)
5	4	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (𝑏 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊))
6	1	ffvelcdmda 7083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊)
7	6	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (𝑐 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊))
8	3, 5, 7	3anim123d 1471	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊)))
9	8	adantrd 497	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊)))
10	9	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊))
11		imaeq2 6060	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝐹 “ 𝑇) = (𝐹 “ {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
12	11	ad2antrl 741	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (𝐹 “ 𝑇) = (𝐹 “ {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
13	12	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (𝐹 “ 𝑇) = (𝐹 “ {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
14		f1fn 6779	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → 𝐹 Fn 𝑉)
15	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝐹 Fn 𝑉)
16		simprl1 1237	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑎 ∈ 𝑉)
17		simprl2 1238	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑏 ∈ 𝑉)
18		simprl3 1239	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑐 ∈ 𝑉)
19	15, 16, 17, 18	fnimatpd 6969	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (𝐹 “ {𝑎, 𝑏, 𝑐}) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)})
20	13, 19	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)})
21		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝐹:𝑉–1-1→𝑊)
22		tpssi 4805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑉)
23	22	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑉)
24		sseq1 3963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝑇 ⊆ 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑉))
25	24	ad2antrl 741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (𝑇 ⊆ 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑉))
26	23, 25	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
27	26	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
28		tpex 7753	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∈ V
29		eleq1 2853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝑇 ∈ V ↔ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∈ V))
30	28, 29	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → 𝑇 ∈ V)
31	30	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → 𝑇 ∈ V)
32	31	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑇 ∈ V)
33		f1imaeng 9017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ V) → (𝐹 “ 𝑇) ≈ 𝑇)
34		hasheni 14402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 “ 𝑇) ≈ 𝑇 → (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = (♯‘𝑇))
35	33, 34	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ V) → (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = (♯‘𝑇))
36	35	eqcomd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ V) → (♯‘𝑇) = (♯‘(𝐹 “ 𝑇)))
37	21, 27, 32, 36	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (♯‘𝑇) = (♯‘(𝐹 “ 𝑇)))
38		simprrr 794	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (♯‘𝑇) = 3)
39	37, 38	eqtr3d 2802	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3)
40	10, 20, 39	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3))
41	40	ex 418	1 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  {ctp 4595   class class class wbr 5111   “ cima 5666   Fn wfn 6535  –1-1→wf1 6537  ‘cfv 6540   ≈ cen 8946  3c3 12311  ♯chash 14384

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-hash 14385

This theorem is used by:  grimgrtri  48772  grlimgrtri  48826