Theorem grtrimap 49015

Description: Conditions for mapping triangles onto triangles. Lemma for grimgrtri 49016 and grlimgrtri 49070. (Contributed by AV, 23-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
grtrimap	⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3)))

Proof of Theorem grtrimap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 6776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → 𝐹:𝑉⟶𝑊)
2	1	ffvelcdmda 7082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊)
3	2	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (𝑎 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊))
4	1	ffvelcdmda 7082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊)
5	4	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (𝑏 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊))
6	1	ffvelcdmda 7082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊)
7	6	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (𝑐 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊))
8	3, 5, 7	3anim123d 1471	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊)))
9	8	adantrd 497	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊)))
10	9	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊))
11		imaeq2 6048	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝐹 “ 𝑇) = (𝐹 “ {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
12	11	ad2antrl 741	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (𝐹 “ 𝑇) = (𝐹 “ {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
13	12	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (𝐹 “ 𝑇) = (𝐹 “ {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
14		f1fn 6777	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → 𝐹 Fn 𝑉)
15	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝐹 Fn 𝑉)
16		simprl1 1237	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑎 ∈ 𝑉)
17		simprl2 1238	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑏 ∈ 𝑉)
18		simprl3 1239	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑐 ∈ 𝑉)
19	15, 16, 17, 18	fnimatpd 6967	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (𝐹 “ {𝑎, 𝑏, 𝑐}) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)})
20	13, 19	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)})
21		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝐹:𝑉–1-1→𝑊)
22		tpssi 4798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑉)
23	22	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑉)
24		sseq1 3956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝑇 ⊆ 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑉))
25	24	ad2antrl 741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (𝑇 ⊆ 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑉))
26	23, 25	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
27	26	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
28		tpex 7760	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∈ V
29		eleq1 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝑇 ∈ V ↔ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∈ V))
30	28, 29	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → 𝑇 ∈ V)
31	30	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → 𝑇 ∈ V)
32	31	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑇 ∈ V)
33		f1imaeng 9034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ V) → (𝐹 “ 𝑇) ≈ 𝑇)
34		hasheni 14485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 “ 𝑇) ≈ 𝑇 → (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = (♯‘𝑇))
35	33, 34	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ V) → (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = (♯‘𝑇))
36	35	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ V) → (♯‘𝑇) = (♯‘(𝐹 “ 𝑇)))
37	21, 27, 32, 36	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (♯‘𝑇) = (♯‘(𝐹 “ 𝑇)))
38		simprrr 794	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (♯‘𝑇) = 3)
39	37, 38	eqtr3d 2798	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3)
40	10, 20, 39	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3))
41	40	ex 418	1 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  {ctp 4588   class class class wbr 5103   “ cima 5654   Fn wfn 6532  –1-1→wf1 6534  ‘cfv 6537   ≈ cen 8963  3c3 12391  ♯chash 14467

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-hash 14468

This theorem is used by:  grimgrtri  49016  grlimgrtri  49070