Theorem grtrimap 48308

Description: Conditions for mapping triangles onto triangles. Lemma for grimgrtri 48309 and grlimgrtri 48363. (Contributed by AV, 23-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
grtrimap	⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3)))

Proof of Theorem grtrimap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 6738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → 𝐹:𝑉⟶𝑊)
2	1	ffvelcdmda 7038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊)
3	2	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (𝑎 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊))
4	1	ffvelcdmda 7038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊)
5	4	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (𝑏 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊))
6	1	ffvelcdmda 7038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊)
7	6	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (𝑐 ∈ 𝑉 → (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊))
8	3, 5, 7	3anim123d 1446	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊)))
9	8	adantrd 491	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊)))
10	9	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → ((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊))
11		imaeq2 6023	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝐹 “ 𝑇) = (𝐹 “ {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
12	11	ad2antrl 729	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (𝐹 “ 𝑇) = (𝐹 “ {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (𝐹 “ 𝑇) = (𝐹 “ {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
14		f1fn 6739	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → 𝐹 Fn 𝑉)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝐹 Fn 𝑉)
16		simprl1 1220	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑎 ∈ 𝑉)
17		simprl2 1221	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑏 ∈ 𝑉)
18		simprl3 1222	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑐 ∈ 𝑉)
19	15, 16, 17, 18	fnimatpd 6926	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (𝐹 “ {𝑎, 𝑏, 𝑐}) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)})
20	13, 19	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)})
21		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝐹:𝑉–1-1→𝑊)
22		tpssi 4796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑉)
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑉)
24		sseq1 3961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝑇 ⊆ 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑉))
25	24	ad2antrl 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (𝑇 ⊆ 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑉))
26	23, 25	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
27	26	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
28		tpex 7701	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∈ V
29		eleq1 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝑇 ∈ V ↔ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∈ V))
30	28, 29	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → 𝑇 ∈ V)
31	30	ad2antrl 729	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → 𝑇 ∈ V)
32	31	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑇 ∈ V)
33		f1imaeng 8963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ V) → (𝐹 “ 𝑇) ≈ 𝑇)
34		hasheni 14283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 “ 𝑇) ≈ 𝑇 → (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = (♯‘𝑇))
35	33, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ V) → (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = (♯‘𝑇))
36	35	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ V) → (♯‘𝑇) = (♯‘(𝐹 “ 𝑇)))
37	21, 27, 32, 36	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (♯‘𝑇) = (♯‘(𝐹 “ 𝑇)))
38		simprrr 782	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (♯‘𝑇) = 3)
39	37, 38	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3)
40	10, 20, 39	3jca 1129	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝑊 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3))
41	40	ex 412	1 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝑊 → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (((𝐹‘𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑊) ∧ (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  {ctp 4586   class class class wbr 5100   “ cima 5635   Fn wfn 6495  –1-1→wf1 6497  ‘cfv 6500   ≈ cen 8892  3c3 12213  ♯chash 14265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-hash 14266

This theorem is referenced by:  grimgrtri  48309  grlimgrtri  48363