Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grtrimap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grtrimap 47888
Description: Conditions for mapping triangles onto triangles. Lemma for grimgrtri 47889 and grlimgrtri 47936. (Contributed by AV, 23-Aug-2025.)
Assertion
Ref Expression
grtrimap (𝐹:𝑉1-1𝑊 → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (((𝐹𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹𝑐) ∈ 𝑊) ∧ (𝐹𝑇) = {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏), (𝐹𝑐)} ∧ (♯‘(𝐹𝑇)) = 3)))

Proof of Theorem grtrimap
StepHypRef Expression
1 f1f 6802 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑉1-1𝑊𝐹:𝑉𝑊)
21ffvelcdmda 7102 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑉1-1𝑊𝑎𝑉) → (𝐹𝑎) ∈ 𝑊)
32ex 412 . . . . . 6 (𝐹:𝑉1-1𝑊 → (𝑎𝑉 → (𝐹𝑎) ∈ 𝑊))
41ffvelcdmda 7102 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑉1-1𝑊𝑏𝑉) → (𝐹𝑏) ∈ 𝑊)
54ex 412 . . . . . 6 (𝐹:𝑉1-1𝑊 → (𝑏𝑉 → (𝐹𝑏) ∈ 𝑊))
61ffvelcdmda 7102 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑉1-1𝑊𝑐𝑉) → (𝐹𝑐) ∈ 𝑊)
76ex 412 . . . . . 6 (𝐹:𝑉1-1𝑊 → (𝑐𝑉 → (𝐹𝑐) ∈ 𝑊))
83, 5, 73anim123d 1445 . . . . 5 (𝐹:𝑉1-1𝑊 → ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) → ((𝐹𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹𝑐) ∈ 𝑊)))
98adantrd 491 . . . 4 (𝐹:𝑉1-1𝑊 → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → ((𝐹𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹𝑐) ∈ 𝑊)))
109imp 406 . . 3 ((𝐹:𝑉1-1𝑊 ∧ ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → ((𝐹𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹𝑐) ∈ 𝑊))
11 imaeq2 6072 . . . . . 6 (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝐹𝑇) = (𝐹 “ {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
1211ad2antrl 728 . . . . 5 (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (𝐹𝑇) = (𝐹 “ {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
1312adantl 481 . . . 4 ((𝐹:𝑉1-1𝑊 ∧ ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (𝐹𝑇) = (𝐹 “ {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
14 f1fn 6803 . . . . . 6 (𝐹:𝑉1-1𝑊𝐹 Fn 𝑉)
1514adantr 480 . . . . 5 ((𝐹:𝑉1-1𝑊 ∧ ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝐹 Fn 𝑉)
16 simprl1 1219 . . . . 5 ((𝐹:𝑉1-1𝑊 ∧ ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑎𝑉)
17 simprl2 1220 . . . . 5 ((𝐹:𝑉1-1𝑊 ∧ ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑏𝑉)
18 simprl3 1221 . . . . 5 ((𝐹:𝑉1-1𝑊 ∧ ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑐𝑉)
1915, 16, 17, 18fnimatpd 6991 . . . 4 ((𝐹:𝑉1-1𝑊 ∧ ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (𝐹 “ {𝑎, 𝑏, 𝑐}) = {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏), (𝐹𝑐)})
2013, 19eqtrd 2776 . . 3 ((𝐹:𝑉1-1𝑊 ∧ ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (𝐹𝑇) = {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏), (𝐹𝑐)})
21 simpl 482 . . . . 5 ((𝐹:𝑉1-1𝑊 ∧ ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝐹:𝑉1-1𝑊)
22 tpssi 4836 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) → {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑉)
2322adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑉)
24 sseq1 4008 . . . . . . . 8 (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝑇𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑉))
2524ad2antrl 728 . . . . . . 7 (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (𝑇𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝑉))
2623, 25mpbird 257 . . . . . 6 (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → 𝑇𝑉)
2726adantl 481 . . . . 5 ((𝐹:𝑉1-1𝑊 ∧ ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑇𝑉)
28 tpex 7762 . . . . . . . 8 {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∈ V
29 eleq1 2828 . . . . . . . 8 (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝑇 ∈ V ↔ {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∈ V))
3028, 29mpbiri 258 . . . . . . 7 (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → 𝑇 ∈ V)
3130ad2antrl 728 . . . . . 6 (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → 𝑇 ∈ V)
3231adantl 481 . . . . 5 ((𝐹:𝑉1-1𝑊 ∧ ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → 𝑇 ∈ V)
33 f1imaeng 9050 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑉1-1𝑊𝑇𝑉𝑇 ∈ V) → (𝐹𝑇) ≈ 𝑇)
34 hasheni 14383 . . . . . . 7 ((𝐹𝑇) ≈ 𝑇 → (♯‘(𝐹𝑇)) = (♯‘𝑇))
3533, 34syl 17 . . . . . 6 ((𝐹:𝑉1-1𝑊𝑇𝑉𝑇 ∈ V) → (♯‘(𝐹𝑇)) = (♯‘𝑇))
3635eqcomd 2742 . . . . 5 ((𝐹:𝑉1-1𝑊𝑇𝑉𝑇 ∈ V) → (♯‘𝑇) = (♯‘(𝐹𝑇)))
3721, 27, 32, 36syl3anc 1373 . . . 4 ((𝐹:𝑉1-1𝑊 ∧ ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (♯‘𝑇) = (♯‘(𝐹𝑇)))
38 simprrr 782 . . . 4 ((𝐹:𝑉1-1𝑊 ∧ ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (♯‘𝑇) = 3)
3937, 38eqtr3d 2778 . . 3 ((𝐹:𝑉1-1𝑊 ∧ ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (♯‘(𝐹𝑇)) = 3)
4010, 20, 393jca 1129 . 2 ((𝐹:𝑉1-1𝑊 ∧ ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (((𝐹𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹𝑐) ∈ 𝑊) ∧ (𝐹𝑇) = {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏), (𝐹𝑐)} ∧ (♯‘(𝐹𝑇)) = 3))
4140ex 412 1 (𝐹:𝑉1-1𝑊 → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (((𝐹𝑎) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹𝑏) ∈ 𝑊 ∧ (𝐹𝑐) ∈ 𝑊) ∧ (𝐹𝑇) = {(𝐹𝑎), (𝐹𝑏), (𝐹𝑐)} ∧ (♯‘(𝐹𝑇)) = 3)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3479  wss 3950  {ctp 4628   class class class wbr 5141  cima 5686   Fn wfn 6554  1-1wf1 6556  cfv 6559  cen 8978  3c3 12318  chash 14365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-card 9975  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12875  df-hash 14366
This theorem is referenced by:  grimgrtri  47889  grlimgrtri  47936
  Copyright terms: Public domain W3C validator