Theorem grimgrtri 48969

Description: Graph isomorphisms map triangles onto triangles. (Contributed by AV, 27-Jul-2025.) (Proof shortened by AV, 24-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grimgrtri.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
grimgrtri.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UHGraph)
grimgrtri.n	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
grimgrtri.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
grimgrtri	⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝑇) ∈ (GrTriangles‘𝐻))

Proof of Theorem grimgrtri

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grimgrtri.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺))
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	grtriprop 48961	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (GrTriangles‘𝐺) → ∃𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
5	1, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
6		grimgrtri.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
7		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
8	2, 7	grimf1o 48904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝐹:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻))
9		f1of1 6811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) → 𝐹:(Vtx‘𝐺)–1-1→(Vtx‘𝐻))
10	6, 8, 9	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Vtx‘𝐺)–1-1→(Vtx‘𝐻))
11	10	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))) → 𝐹:(Vtx‘𝐺)–1-1→(Vtx‘𝐻))
12		simplrl 789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺))
13	12	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))) → 𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺))
14		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺))
15	14	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺))
16	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))) → 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺))
17		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))) → 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺))
18	13, 16, 17	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))) → (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)))
19		3simpa 1166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))
20	19	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))) → (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))
21		grtrimap 48968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(Vtx‘𝐺)–1-1→(Vtx‘𝐻) → (((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3)) → (((𝐹‘𝑎) ∈ (Vtx‘𝐻) ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ (Vtx‘𝐻) ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ (Vtx‘𝐻)) ∧ (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3)))
22	21	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:(Vtx‘𝐺)–1-1→(Vtx‘𝐻) ∧ ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3))) → (((𝐹‘𝑎) ∈ (Vtx‘𝐻) ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ (Vtx‘𝐻) ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ (Vtx‘𝐻)) ∧ (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3))
23	11, 18, 20, 22	syl12anc 850	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))) → (((𝐹‘𝑎) ∈ (Vtx‘𝐻) ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ (Vtx‘𝐻) ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ (Vtx‘𝐻)) ∧ (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3))
24		grimgrtri.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
25		grimgrtri.h	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UHGraph)
26		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Edg‘𝐻) = (Edg‘𝐻)
27	2, 3, 26	grimedg 48955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ((𝐹 “ {𝑎, 𝑏}) ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺))))
28	2, 3, 26	grimedg 48955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → ({𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ((𝐹 “ {𝑎, 𝑐}) ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑎, 𝑐} ⊆ (Vtx‘𝐺))))
29	2, 3, 26	grimedg 48955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → ({𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ((𝐹 “ {𝑏, 𝑐}) ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑏, 𝑐} ⊆ (Vtx‘𝐺))))
30	27, 28, 29	3anbi123d 1464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (((𝐹 “ {𝑎, 𝑏}) ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐹 “ {𝑎, 𝑐}) ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑎, 𝑐} ⊆ (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐹 “ {𝑏, 𝑐}) ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑏, 𝑐} ⊆ (Vtx‘𝐺)))))
31		f1ofn 6813	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹:(Vtx‘𝐺)–1-1-onto→(Vtx‘𝐻) → 𝐹 Fn (Vtx‘𝐺))
32		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 𝐹 Fn (Vtx‘𝐺))
33		simprll 791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺))
34		simprlr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺))
35		fnimapr 6956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐹 “ {𝑎, 𝑏}) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)})
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝐹 “ {𝑎, 𝑏}) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)})
37	36	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝐹 “ {𝑎, 𝑏}) ∈ (Edg‘𝐻) ↔ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻)))
38	37	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝐹 “ {𝑎, 𝑏}) ∈ (Edg‘𝐻) → {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻)))
39	38	adantrd 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (((𝐹 “ {𝑎, 𝑏}) ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺)) → {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻)))
40		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺))
41		fnimapr 6956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐹 “ {𝑎, 𝑐}) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑐)})
42	32, 33, 40, 41	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝐹 “ {𝑎, 𝑐}) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑐)})
43	42	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝐹 “ {𝑎, 𝑐}) ∈ (Edg‘𝐻) ↔ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻)))
44	43	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝐹 “ {𝑎, 𝑐}) ∈ (Edg‘𝐻) → {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻)))
45	44	adantrd 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (((𝐹 “ {𝑎, 𝑐}) ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑎, 𝑐} ⊆ (Vtx‘𝐺)) → {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻)))
46		fnimapr 6956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐹 “ {𝑏, 𝑐}) = {(𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)})
47	32, 34, 40, 46	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝐹 “ {𝑏, 𝑐}) = {(𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)})
48	47	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝐹 “ {𝑏, 𝑐}) ∈ (Edg‘𝐻) ↔ {(𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻)))
49	48	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝐹 “ {𝑏, 𝑐}) ∈ (Edg‘𝐻) → {(𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻)))
50	49	adantrd 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (((𝐹 “ {𝑏, 𝑐}) ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑏, 𝑐} ⊆ (Vtx‘𝐺)) → {(𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻)))
51	39, 45, 50	3anim123d 1471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 Fn (Vtx‘𝐺) ∧ ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((((𝐹 “ {𝑎, 𝑏}) ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐹 “ {𝑎, 𝑐}) ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑎, 𝑐} ⊆ (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐹 “ {𝑏, 𝑐}) ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑏, 𝑐} ⊆ (Vtx‘𝐺))) → ({(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻))))
52	51	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 Fn (Vtx‘𝐺) → (((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((((𝐹 “ {𝑎, 𝑏}) ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐹 “ {𝑎, 𝑐}) ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑎, 𝑐} ⊆ (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐹 “ {𝑏, 𝑐}) ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑏, 𝑐} ⊆ (Vtx‘𝐺))) → ({(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻)))))
53	52	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 Fn (Vtx‘𝐺) → ((((𝐹 “ {𝑎, 𝑏}) ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐹 “ {𝑎, 𝑐}) ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑎, 𝑐} ⊆ (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐹 “ {𝑏, 𝑐}) ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑏, 𝑐} ⊆ (Vtx‘𝐺))) → (((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻)))))
54	8, 31, 53	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → ((((𝐹 “ {𝑎, 𝑏}) ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐹 “ {𝑎, 𝑐}) ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑎, 𝑐} ⊆ (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐹 “ {𝑏, 𝑐}) ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑏, 𝑐} ⊆ (Vtx‘𝐺))) → (((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻)))))
55	54	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → ((((𝐹 “ {𝑎, 𝑏}) ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐹 “ {𝑎, 𝑐}) ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑎, 𝑐} ⊆ (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐹 “ {𝑏, 𝑐}) ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑏, 𝑐} ⊆ (Vtx‘𝐺))) → (((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻)))))
56	30, 55	sylbid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻)))))
57	56	2a1d 27	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ((♯‘𝑇) = 3 → (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻)))))))
58	57	3impd 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → ((𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))) → (((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻)))))
59	58	com23 87	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ UHGraph ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻)) → (((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))) → ({(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻)))))
60	24, 25, 6, 59	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))) → ({(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻)))))
61	60	impl 461	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))) → ({(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻))))
62	61	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))) → ({(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻)))
63		tpeq1 4702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → {𝑥, 𝑦, 𝑧} = {(𝐹‘𝑎), 𝑦, 𝑧})
64	63	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → ((𝐹 “ 𝑇) = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ↔ (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), 𝑦, 𝑧}))
65		preq1 4693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → {𝑥, 𝑦} = {(𝐹‘𝑎), 𝑦})
66	65	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → ({𝑥, 𝑦} ∈ (Edg‘𝐻) ↔ {(𝐹‘𝑎), 𝑦} ∈ (Edg‘𝐻)))
67		preq1 4693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → {𝑥, 𝑧} = {(𝐹‘𝑎), 𝑧})
68	67	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → ({𝑥, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻) ↔ {(𝐹‘𝑎), 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻)))
69	66, 68	3anbi12d 1465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → (({𝑥, 𝑦} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻)) ↔ ({(𝐹‘𝑎), 𝑦} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻))))
70	64, 69	3anbi13d 1466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑎) → (((𝐹 “ 𝑇) = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻))) ↔ ((𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3 ∧ ({(𝐹‘𝑎), 𝑦} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻)))))
71		tpeq2 4703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑏) → {(𝐹‘𝑎), 𝑦, 𝑧} = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), 𝑧})
72	71	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑏) → ((𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), 𝑦, 𝑧} ↔ (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), 𝑧}))
73		preq2 4694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑏) → {(𝐹‘𝑎), 𝑦} = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)})
74	73	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑏) → ({(𝐹‘𝑎), 𝑦} ∈ (Edg‘𝐻) ↔ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻)))
75		preq1 4693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑏) → {𝑦, 𝑧} = {(𝐹‘𝑏), 𝑧})
76	75	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑏) → ({𝑦, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻) ↔ {(𝐹‘𝑏), 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻)))
77	74, 76	3anbi13d 1466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑏) → (({(𝐹‘𝑎), 𝑦} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻)) ↔ ({(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑏), 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻))))
78	72, 77	3anbi13d 1466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑏) → (((𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3 ∧ ({(𝐹‘𝑎), 𝑦} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻))) ↔ ((𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), 𝑧} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3 ∧ ({(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑏), 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻)))))
79		tpeq3 4704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑐) → {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), 𝑧} = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)})
80	79	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑐) → ((𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), 𝑧} ↔ (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)}))
81		preq2 4694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑐) → {(𝐹‘𝑎), 𝑧} = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑐)})
82	81	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑐) → ({(𝐹‘𝑎), 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻) ↔ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻)))
83		preq2 4694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑐) → {(𝐹‘𝑏), 𝑧} = {(𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)})
84	83	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑐) → ({(𝐹‘𝑏), 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻) ↔ {(𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻)))
85	82, 84	3anbi23d 1467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑐) → (({(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑏), 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻)) ↔ ({(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻))))
86	80, 85	3anbi13d 1466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑐) → (((𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), 𝑧} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3 ∧ ({(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑏), 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻))) ↔ ((𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3 ∧ ({(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻)))))
87	70, 78, 86	rspc3ev 3592	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹‘𝑎) ∈ (Vtx‘𝐻) ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ (Vtx‘𝐻) ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ (Vtx‘𝐻)) ∧ ((𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3 ∧ ({(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻)))) → ∃𝑥 ∈ (Vtx‘𝐻)∃𝑦 ∈ (Vtx‘𝐻)∃𝑧 ∈ (Vtx‘𝐻)((𝐹 “ 𝑇) = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻))))
88	87	3exp2 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑎) ∈ (Vtx‘𝐻) ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ (Vtx‘𝐻) ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ (Vtx‘𝐻)) → ((𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} → ((♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3 → (({(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻)) → ∃𝑥 ∈ (Vtx‘𝐻)∃𝑦 ∈ (Vtx‘𝐻)∃𝑧 ∈ (Vtx‘𝐻)((𝐹 “ 𝑇) = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻)))))))
89	88	3imp 1128	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝑎) ∈ (Vtx‘𝐻) ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ (Vtx‘𝐻) ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ (Vtx‘𝐻)) ∧ (𝐹 “ 𝑇) = {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3) → (({(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑏)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑎), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {(𝐹‘𝑏), (𝐹‘𝑐)} ∈ (Edg‘𝐻)) → ∃𝑥 ∈ (Vtx‘𝐻)∃𝑦 ∈ (Vtx‘𝐻)∃𝑧 ∈ (Vtx‘𝐻)((𝐹 “ 𝑇) = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻)))))
90	23, 62, 89	sylc 66	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))) → ∃𝑥 ∈ (Vtx‘𝐻)∃𝑦 ∈ (Vtx‘𝐻)∃𝑧 ∈ (Vtx‘𝐻)((𝐹 “ 𝑇) = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻))))
91	90	rexlimdva2 3165	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (∃𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑥 ∈ (Vtx‘𝐻)∃𝑦 ∈ (Vtx‘𝐻)∃𝑧 ∈ (Vtx‘𝐻)((𝐹 “ 𝑇) = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻)))))
92	91	rexlimdvva 3219	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝑇 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} ∧ (♯‘𝑇) = 3 ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑥 ∈ (Vtx‘𝐻)∃𝑦 ∈ (Vtx‘𝐻)∃𝑧 ∈ (Vtx‘𝐻)((𝐹 “ 𝑇) = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻)))))
93	5, 92	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Vtx‘𝐻)∃𝑦 ∈ (Vtx‘𝐻)∃𝑧 ∈ (Vtx‘𝐻)((𝐹 “ 𝑇) = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻))))
94	7, 26	isgrtri 48963	. 2 ⊢ ((𝐹 “ 𝑇) ∈ (GrTriangles‘𝐻) ↔ ∃𝑥 ∈ (Vtx‘𝐻)∃𝑦 ∈ (Vtx‘𝐻)∃𝑧 ∈ (Vtx‘𝐻)((𝐹 “ 𝑇) = {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ (♯‘(𝐹 “ 𝑇)) = 3 ∧ ({𝑥, 𝑦} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻) ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ (Edg‘𝐻))))
95	93, 94	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝑇) ∈ (GrTriangles‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3898  {cpr 4585  {ctp 4587   “ cima 5650   Fn wfn 6522  –1-1→wf1 6524  –1-1-onto→wf1o 6526  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  3c3 12367  ♯chash 14441  Vtxcvtx 29507  Edgcedg 29558  UHGraphcuhgr 29567   GraphIso cgrim 48895  GrTrianglescgrtri 48957

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-3o 8456  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-hash 14442  df-edg 29559  df-uhgr 29569  df-grim 48898  df-grtri 48958

This theorem is used by:  usgrexmpl12ngric  49058