Theorem gsummptnn0fzfv 19914

Description: A final group sum over a function over the nonnegative integers (given as mapping to its function values) is equal to a final group sum over a finite interval of nonnegative integers. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptnn0fzfv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptnn0fzfv.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptnn0fzfv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptnn0fzfv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
gsummptnn0fzfv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
gsummptnn0fzfv.u	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ))

Assertion

Ref	Expression
gsummptnn0fzfv	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   0 ,𝑘,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem gsummptnn0fzfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptnn0fzfv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptnn0fzfv.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummptnn0fzfv.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsummptnn0fzfv.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
5		elmapi 8784	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) → 𝐹:ℕ0⟶𝐵)
6		ffvelcdm 7024	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ0⟶𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
7	6	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ0⟶𝐵 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
8	4, 5, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
9	8	ralrimiv 3125	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
10		gsummptnn0fzfv.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
11		gsummptnn0fzfv.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ))
12		breq2 5100	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑆 < 𝑥 ↔ 𝑆 < 𝑘))
13		fveqeq2 6841	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ (𝐹‘𝑘) = 0 ))
14	12, 13	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑘 → (𝐹‘𝑘) = 0 )))
15	14	cbvralvw 3212	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → (𝐹‘𝑘) = 0 ))
16	11, 15	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → (𝐹‘𝑘) = 0 ))
17	1, 2, 3, 9, 10, 16	gsummptnn0fz 19913	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐹‘𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8761  0cc0 11024   < clt 11164  ℕ₀cn0 12399  ...cfz 13421  Basecbs 17134  0_gc0g 17357   Σ_g cgsu 17358  CMndccmn 19707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-cntz 19244  df-cmn 19709

This theorem is referenced by: (None)