Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptnn0fzfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptnn0fzfv 19103
 Description: A final group sum over a function over the nonnegative integers (given as mapping to its function values) is equal to a final group sum over a finite interval of nonnegative integers. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptnn0fzfv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptnn0fzfv.0 0 = (0g𝐺)
gsummptnn0fzfv.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptnn0fzfv.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐵m0))
gsummptnn0fzfv.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
gsummptnn0fzfv.u (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ))
Assertion
Ref Expression
gsummptnn0fzfv (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐹𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   0 ,𝑘,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem gsummptnn0fzfv
StepHypRef Expression
1 gsummptnn0fzfv.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsummptnn0fzfv.0 . 2 0 = (0g𝐺)
3 gsummptnn0fzfv.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsummptnn0fzfv.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐵m0))
5 elmapi 8415 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐵m0) → 𝐹:ℕ0𝐵)
6 ffvelrn 6830 . . . . 5 ((𝐹:ℕ0𝐵𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
76ex 416 . . . 4 (𝐹:ℕ0𝐵 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵))
84, 5, 73syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵))
98ralrimiv 3151 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
10 gsummptnn0fzfv.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
11 gsummptnn0fzfv.u . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ))
12 breq2 5037 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (𝑆 < 𝑥𝑆 < 𝑘))
13 fveqeq2 6658 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹𝑥) = 0 ↔ (𝐹𝑘) = 0 ))
1412, 13imbi12d 348 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑘 → (𝐹𝑘) = 0 )))
1514cbvralvw 3399 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → (𝐹𝑘) = 0 ))
1611, 15sylib 221 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → (𝐹𝑘) = 0 ))
171, 2, 3, 9, 10, 16gsummptnn0fz 19102 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐹𝑘))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ↑m cmap 8393  0cc0 10530   < clt 10668  ℕ0cn0 11889  ...cfz 12889  Basecbs 16478  0gc0g 16708   Σg cgsu 16709  CMndccmn 18901 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-cntz 18442  df-cmn 18903 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator