Theorem gsummptnn0fzfv 19917

Description: A final group sum over a function over the nonnegative integers (given as mapping to its function values) is equal to a final group sum over a finite interval of nonnegative integers. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptnn0fzfv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptnn0fzfv.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptnn0fzfv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptnn0fzfv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
gsummptnn0fzfv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
gsummptnn0fzfv.u	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ))

Assertion

Ref	Expression
gsummptnn0fzfv	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   0 ,𝑘,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem gsummptnn0fzfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptnn0fzfv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptnn0fzfv.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummptnn0fzfv.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsummptnn0fzfv.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
5		elmapi 8822	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) → 𝐹:ℕ0⟶𝐵)
6		ffvelcdm 7053	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ0⟶𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
7	6	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ0⟶𝐵 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
8	4, 5, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
9	8	ralrimiv 3124	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
10		gsummptnn0fzfv.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
11		gsummptnn0fzfv.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ))
12		breq2 5111	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑆 < 𝑥 ↔ 𝑆 < 𝑘))
13		fveqeq2 6867	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ (𝐹‘𝑘) = 0 ))
14	12, 13	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑘 → (𝐹‘𝑘) = 0 )))
15	14	cbvralvw 3215	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → (𝐹‘𝑘) = 0 ))
16	11, 15	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → (𝐹‘𝑘) = 0 ))
17	1, 2, 3, 9, 10, 16	gsummptnn0fz 19916	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐹‘𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  0cc0 11068   < clt 11208  ℕ₀cn0 12442  ...cfz 13468  Basecbs 17179  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  CMndccmn 19710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-cntz 19249  df-cmn 19712

This theorem is referenced by: (None)