Theorem gsummptnn0fzfv 20061

Description: A final group sum over a function over the nonnegative integers (given as mapping to its function values) is equal to a final group sum over a finite interval of nonnegative integers. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptnn0fzfv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptnn0fzfv.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptnn0fzfv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptnn0fzfv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
gsummptnn0fzfv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
gsummptnn0fzfv.u	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ))

Assertion

Ref	Expression
gsummptnn0fzfv	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   0 ,𝑘,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥, 𝑘)

Proof of Theorem gsummptnn0fzfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptnn0fzfv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptnn0fzfv.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummptnn0fzfv.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsummptnn0fzfv.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
5		elmapi 8842	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) → 𝐹:ℕ0⟶𝐵)
6		ffvelcdm 7076	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ0⟶𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
7	6	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ0⟶𝐵 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
8	4, 5, 7	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
9	8	ralrimiv 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
10		gsummptnn0fzfv.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
11		gsummptnn0fzfv.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ))
12		breq2 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑆 < 𝑥 ↔ 𝑆 < 𝑘))
13		fveqeq2 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ (𝐹‘𝑘) = 0 ))
14	12, 13	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑘 → (𝐹‘𝑘) = 0 )))
15	14	cbvralvw 3243	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → (𝐹‘𝑘) = 0 ))
16	11, 15	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → (𝐹‘𝑘) = 0 ))
17	1, 2, 3, 9, 10, 16	gsummptnn0fz 20060	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐹‘𝑘))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820  0cc0 11104   < clt 11247  ℕ₀cn0 12508  ...cfz 13539  Basecbs 17273  0_gc0g 17496   Σ_g cgsu 17497  CMndccmn 19854

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-oi 9468  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-seq 14043  df-hash 14372  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-cntz 19391  df-cmn 19856

This theorem is used by: (None)