Theorem gsummptnn0fzfv 19954

Description: A final group sum over a function over the nonnegative integers (given as mapping to its function values) is equal to a final group sum over a finite interval of nonnegative integers. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptnn0fzfv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptnn0fzfv.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptnn0fzfv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptnn0fzfv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
gsummptnn0fzfv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
gsummptnn0fzfv.u	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ))

Assertion

Ref	Expression
gsummptnn0fzfv	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   0 ,𝑘,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem gsummptnn0fzfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptnn0fzfv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptnn0fzfv.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsummptnn0fzfv.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsummptnn0fzfv.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
5		elmapi 8787	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) → 𝐹:ℕ0⟶𝐵)
6		ffvelcdm 7023	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℕ0⟶𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
7	6	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ0⟶𝐵 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
8	4, 5, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵))
9	8	ralrimiv 3130	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
10		gsummptnn0fzfv.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
11		gsummptnn0fzfv.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ))
12		breq2 5077	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑆 < 𝑥 ↔ 𝑆 < 𝑘))
13		fveqeq2 6837	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ (𝐹‘𝑘) = 0 ))
14	12, 13	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑘 → (𝐹‘𝑘) = 0 )))
15	14	cbvralvw 3217	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → (𝐹‘𝑘) = 0 ))
16	11, 15	sylib 219	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → (𝐹‘𝑘) = 0 ))
17	1, 2, 3, 9, 10, 16	gsummptnn0fz 19953	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ (𝐹‘𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   class class class wbr 5073   ↦ cmpt 5154  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357   ↑_m cmap 8764  0cc0 11030   < clt 11171  ℕ₀cn0 12429  ...cfz 13453  Basecbs 17171  0_gc0g 17394   Σ_g cgsu 17395  CMndccmn 19747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-seq 13956  df-hash 14285  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-cntz 19284  df-cmn 19749

This theorem is referenced by: (None)