Theorem ioo2blex 24750

Description: An open interval of reals in terms of a ball. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
remet.1	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
ioo2blex	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (ball‘𝐷))

Proof of Theorem ioo2blex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remet.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2	1	ioo2bl 24749	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵 − 𝐴) / 2)))
3	1	rexmet 24747	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
4		readdcl 11121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	rehalfcld 12400	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
6		resubcl 11457	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
7	6	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
8	7	rehalfcld 12400	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11194	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ*)
10		blelrn 24373	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ*) → (((𝐴 + 𝐵) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ran (ball‘𝐷))
11	3, 5, 9, 10	mp3an2i 1469	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ran (ball‘𝐷))
12	2, 11	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (ball‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   × cxp 5630  ran crn 5633   ↾ cres 5634   ∘ ccom 5636  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037   + caddc 11041  ℝ^*cxr 11177   − cmin 11376   / cdiv 11806  2c2 12212  (,)cioo 13273  abscabs 15169  ∞Metcxmet 21306  ballcbl 21308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-xadd 13039  df-ioo 13277  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316

This theorem is referenced by:  tgioo  24752