Theorem ipolub0 49690

Description: The LUB of the empty set is the intersection of the base. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipoglb0.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
ipolub0.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
ipolub0.f	⊢ (𝜑 → ∩ 𝐹 ∈ 𝐹)
ipolub0.v	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ipolub0	⊢ (𝜑 → (𝑈‘∅) = ∩ 𝐹)

Proof of Theorem ipolub0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipoglb0.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐹)
2		ipolub0.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		0ss 4362	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐹
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ⊆ 𝐹)
5		ipolub0.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (lub‘𝐼))
6		uni0 4903	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ ∅ = ∅
7		0ss 4362	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ⊆ 𝑥
8	6, 7	eqsstri 3989	. . . . . . 7 ⊢ ∪ ∅ ⊆ 𝑥
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → ∪ ∅ ⊆ 𝑥)
10	9	rabeqc 3434	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ ∅ ⊆ 𝑥} = 𝐹
11	10	eqcomi 2778	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ ∅ ⊆ 𝑥}
12	11	inteqi 4918	. . 3 ⊢ ∩ 𝐹 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ ∅ ⊆ 𝑥}
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝐹 = ∩ {𝑥 ∈ 𝐹 ∣ ∪ ∅ ⊆ 𝑥})
14		ipolub0.f	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝐹 ∈ 𝐹)
15	1, 2, 4, 5, 13, 14	ipolub 49686	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘∅) = ∩ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3422   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ∪ cuni 4874  ∩ cint 4914  ‘cfv 6537  lubclub 18365  toInccipo 18583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ocomp 17331  df-proset 18350  df-poset 18369  df-lub 18400  df-ipo 18584

This theorem is referenced by:  ipolub00  49691