Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isomuspgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isomuspgr 42552
 Description: The isomorphy relation for two simple pseudographs. This corresponds to the definition in [Bollobas] p. 3. (Contributed by AV, 1-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isomushgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomushgr.w 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomushgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐴)
isomushgr.k 𝐾 = (Edg‘𝐵)
Assertion
Ref Expression
isomuspgr ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑎,𝑏,𝑓   𝐸,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem isomuspgr
Dummy variables 𝑒 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uspgrushgr 26474 . . 3 (𝐴 ∈ USPGraph → 𝐴 ∈ USHGraph)
2 uspgrushgr 26474 . . 3 (𝐵 ∈ USPGraph → 𝐵 ∈ USHGraph)
3 isomushgr.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
4 isomushgr.w . . . 4 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
5 isomushgr.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐴)
6 isomushgr.k . . . 4 𝐾 = (Edg‘𝐵)
73, 4, 5, 6isomushgr 42544 . . 3 ((𝐴 ∈ USHGraph ∧ 𝐵 ∈ USHGraph) → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)))))
81, 2, 7syl2an 591 . 2 ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)))))
9 imaeq2 5703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → (𝑓𝑒) = (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}))
10 fveq2 6433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → (𝑔𝑒) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}))
119, 10eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑓𝑒) = (𝑔𝑒) ↔ (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏})))
1211rspccv 3523 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏})))
1312adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏})))
1413imp 397 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}))
15 f1ofn 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓:𝑉1-1-onto𝑊𝑓 Fn 𝑉)
1615ad3antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑓 Fn 𝑉)
17 simprl 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑎𝑉)
18 simprr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑏𝑉)
19 fnimapr 6509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 Fn 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)})
2016, 17, 18, 19syl3anc 1496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)})
2120eqeq1d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} = (𝑔‘{𝑎, 𝑏})))
2221adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) → ((𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} = (𝑔‘{𝑎, 𝑏})))
2322adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → ((𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} = (𝑔‘{𝑎, 𝑏})))
24 f1of 6378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾𝑔:𝐸𝐾)
2524ad3antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) → 𝑔:𝐸𝐾)
2625ffvelrnda 6608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) ∈ 𝐾)
27 eleq1 2894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) → ({(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾 ↔ (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) ∈ 𝐾))
2826, 27syl5ibrcom 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → ({(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))
2923, 28sylbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → ((𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))
3014, 29mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)
3130exp41 427 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))))
3231com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) → (∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))))
3332impr 448 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)))
3433imp 397 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))
353, 4, 5, 6isomuspgrlem1 42545 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ({(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾 → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
3634, 35impbid 204 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))
3736ralrimivva 3180 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))
3837ex 403 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) → ((𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)))
3938exlimdv 2034 . . . . 5 (((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) → (∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)))
403, 4, 5, 6isomuspgrlem2 42551 . . . . 5 (((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾) → ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))))
4139, 40impbid 204 . . . 4 (((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) → (∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ↔ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)))
4241pm5.32da 576 . . 3 ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → ((𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) ↔ (𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))))
4342exbidv 2022 . 2 ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))))
448, 43bitrd 271 1 ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658  ∃wex 1880   ∈ wcel 2166  ∀wral 3117  {cpr 4399   class class class wbr 4873   “ cima 5345   Fn wfn 6118  ⟶wf 6119  –1-1-onto→wf1o 6122  ‘cfv 6123  Vtxcvtx 26294  Edgcedg 26345  USHGraphcushgr 26355  USPGraphcuspgr 26447   IsomGr cisomgr 42537 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-xnn0 11691  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-hash 13411  df-edg 26346  df-uhgr 26356  df-ushgr 26357  df-upgr 26380  df-uspgr 26449  df-isomgr 42539 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator