Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isomuspgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isomuspgr 43876
Description: The isomorphy relation for two simple pseudographs. This corresponds to the definition in [Bollobas] p. 3. (Contributed by AV, 1-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isomushgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomushgr.w 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomushgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐴)
isomushgr.k 𝐾 = (Edg‘𝐵)
Assertion
Ref Expression
isomuspgr ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑎,𝑏,𝑓   𝐸,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem isomuspgr
Dummy variables 𝑒 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uspgrushgr 26887 . . 3 (𝐴 ∈ USPGraph → 𝐴 ∈ USHGraph)
2 uspgrushgr 26887 . . 3 (𝐵 ∈ USPGraph → 𝐵 ∈ USHGraph)
3 isomushgr.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
4 isomushgr.w . . . 4 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
5 isomushgr.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐴)
6 isomushgr.k . . . 4 𝐾 = (Edg‘𝐵)
73, 4, 5, 6isomushgr 43868 . . 3 ((𝐴 ∈ USHGraph ∧ 𝐵 ∈ USHGraph) → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)))))
81, 2, 7syl2an 595 . 2 ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)))))
9 imaeq2 5918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → (𝑓𝑒) = (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}))
10 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → (𝑔𝑒) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}))
119, 10eqeq12d 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑓𝑒) = (𝑔𝑒) ↔ (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏})))
1211rspccv 3617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏})))
1312adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏})))
1413imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}))
15 f1ofn 6609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓:𝑉1-1-onto𝑊𝑓 Fn 𝑉)
1615ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑓 Fn 𝑉)
17 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑎𝑉)
18 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑏𝑉)
19 fnimapr 6740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 Fn 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)})
2016, 17, 18, 19syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)})
2120eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} = (𝑔‘{𝑎, 𝑏})))
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) → ((𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} = (𝑔‘{𝑎, 𝑏})))
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → ((𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} = (𝑔‘{𝑎, 𝑏})))
24 f1of 6608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾𝑔:𝐸𝐾)
2524ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) → 𝑔:𝐸𝐾)
2625ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) ∈ 𝐾)
27 eleq1 2897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) → ({(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾 ↔ (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) ∈ 𝐾))
2826, 27syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → ({(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))
2923, 28sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → ((𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))
3014, 29mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)
3130exp41 435 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))))
3231com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) → (∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))))
3332impr 455 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)))
3433imp 407 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))
353, 4, 5, 6isomuspgrlem1 43869 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ({(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾 → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
3634, 35impbid 213 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))
3736ralrimivva 3188 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))
3837ex 413 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) → ((𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)))
3938exlimdv 1925 . . . . 5 (((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) → (∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)))
403, 4, 5, 6isomuspgrlem2 43875 . . . . 5 (((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾) → ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))))
4139, 40impbid 213 . . . 4 (((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) → (∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ↔ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)))
4241pm5.32da 579 . . 3 ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → ((𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) ↔ (𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))))
4342exbidv 1913 . 2 ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))))
448, 43bitrd 280 1 ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wral 3135  {cpr 4559   class class class wbr 5057  cima 5551   Fn wfn 6343  wf 6344  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  Vtxcvtx 26708  Edgcedg 26759  USHGraphcushgr 26769  USPGraphcuspgr 26860   IsomGr cisomgr 43861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-hash 13679  df-edg 26760  df-uhgr 26770  df-ushgr 26771  df-upgr 26794  df-uspgr 26862  df-isomgr 43863
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator