Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isomuspgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isomuspgr 46502
Description: The isomorphy relation for two simple pseudographs. This corresponds to the definition in [Bollobas] p. 3. (Contributed by AV, 1-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isomushgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomushgr.w 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomushgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐴)
isomushgr.k 𝐾 = (Edg‘𝐵)
Assertion
Ref Expression
isomuspgr ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑎,𝑏,𝑓   𝐸,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem isomuspgr
Dummy variables 𝑒 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uspgrushgr 28435 . . 3 (𝐴 ∈ USPGraph → 𝐴 ∈ USHGraph)
2 uspgrushgr 28435 . . 3 (𝐵 ∈ USPGraph → 𝐵 ∈ USHGraph)
3 isomushgr.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
4 isomushgr.w . . . 4 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
5 isomushgr.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐴)
6 isomushgr.k . . . 4 𝐾 = (Edg‘𝐵)
73, 4, 5, 6isomushgr 46494 . . 3 ((𝐴 ∈ USHGraph ∧ 𝐵 ∈ USHGraph) → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)))))
81, 2, 7syl2an 597 . 2 ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)))))
9 imaeq2 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → (𝑓𝑒) = (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}))
10 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → (𝑔𝑒) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}))
119, 10eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑓𝑒) = (𝑔𝑒) ↔ (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏})))
1211rspccv 3610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏})))
1312adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏})))
1413imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}))
15 f1ofn 6835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓:𝑉1-1-onto𝑊𝑓 Fn 𝑉)
1615ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑓 Fn 𝑉)
17 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑎𝑉)
18 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑏𝑉)
19 fnimapr 6976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 Fn 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)})
2016, 17, 18, 19syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)})
2120eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} = (𝑔‘{𝑎, 𝑏})))
2221adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) → ((𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} = (𝑔‘{𝑎, 𝑏})))
2322adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → ((𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} = (𝑔‘{𝑎, 𝑏})))
24 f1of 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾𝑔:𝐸𝐾)
2524ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) → 𝑔:𝐸𝐾)
2625ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) ∈ 𝐾)
27 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) → ({(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾 ↔ (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) ∈ 𝐾))
2826, 27syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → ({(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))
2923, 28sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → ((𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))
3014, 29mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)
3130exp41 436 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))))
3231com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) → (∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))))
3332impr 456 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)))
3433imp 408 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))
353, 4, 5, 6isomuspgrlem1 46495 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ({(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾 → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
3634, 35impbid 211 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))
3736ralrimivva 3201 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))
3837ex 414 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) → ((𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)))
3938exlimdv 1937 . . . . 5 (((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) → (∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)))
403, 4, 5, 6isomuspgrlem2 46501 . . . . 5 (((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾) → ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))))
4139, 40impbid 211 . . . 4 (((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) → (∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ↔ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)))
4241pm5.32da 580 . . 3 ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → ((𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) ↔ (𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))))
4342exbidv 1925 . 2 ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))))
448, 43bitrd 279 1 ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3062  {cpr 4631   class class class wbr 5149  cima 5680   Fn wfn 6539  wf 6540  1-1-ontowf1o 6543  cfv 6544  Vtxcvtx 28256  Edgcedg 28307  USHGraphcushgr 28317  USPGraphcuspgr 28408   IsomGr cisomgr 46487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-hash 14291  df-edg 28308  df-uhgr 28318  df-ushgr 28319  df-upgr 28342  df-uspgr 28410  df-isomgr 46489
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator