Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isomuspgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isomuspgr 44278
Description: The isomorphy relation for two simple pseudographs. This corresponds to the definition in [Bollobas] p. 3. (Contributed by AV, 1-Dec-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
isomushgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
isomushgr.w 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
isomushgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐴)
isomushgr.k 𝐾 = (Edg‘𝐵)
Assertion
Ref Expression
isomuspgr ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑎,𝑏,𝑓   𝐸,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem isomuspgr
Dummy variables 𝑒 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uspgrushgr 26971 . . 3 (𝐴 ∈ USPGraph → 𝐴 ∈ USHGraph)
2 uspgrushgr 26971 . . 3 (𝐵 ∈ USPGraph → 𝐵 ∈ USHGraph)
3 isomushgr.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐴)
4 isomushgr.w . . . 4 𝑊 = (Vtx‘𝐵)
5 isomushgr.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐴)
6 isomushgr.k . . . 4 𝐾 = (Edg‘𝐵)
73, 4, 5, 6isomushgr 44270 . . 3 ((𝐴 ∈ USHGraph ∧ 𝐵 ∈ USHGraph) → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)))))
81, 2, 7syl2an 598 . 2 ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)))))
9 imaeq2 5912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → (𝑓𝑒) = (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}))
10 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → (𝑔𝑒) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}))
119, 10eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑓𝑒) = (𝑔𝑒) ↔ (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏})))
1211rspccv 3606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏})))
1312adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏})))
1413imp 410 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}))
15 f1ofn 6607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓:𝑉1-1-onto𝑊𝑓 Fn 𝑉)
1615ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑓 Fn 𝑉)
17 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑎𝑉)
18 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑏𝑉)
19 fnimapr 6738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 Fn 𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)})
2016, 17, 18, 19syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)})
2120eqeq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} = (𝑔‘{𝑎, 𝑏})))
2221adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) → ((𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} = (𝑔‘{𝑎, 𝑏})))
2322adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → ((𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} = (𝑔‘{𝑎, 𝑏})))
24 f1of 6606 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾𝑔:𝐸𝐾)
2524ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) → 𝑔:𝐸𝐾)
2625ffvelrnda 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) ∈ 𝐾)
27 eleq1 2903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) → ({(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾 ↔ (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) ∈ 𝐾))
2826, 27syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → ({(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))
2923, 28sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → ((𝑓 “ {𝑎, 𝑏}) = (𝑔‘{𝑎, 𝑏}) → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))
3014, 29mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)
3130exp41 438 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))))
3231com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ 𝑔:𝐸1-1-onto𝐾) → (∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))))
3332impr 458 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)))
3433imp 410 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))
353, 4, 5, 6isomuspgrlem1 44271 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ({(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾 → {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸))
3634, 35impbid 215 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))
3736ralrimivva 3186 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) ∧ (𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))
3837ex 416 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) → ((𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)))
3938exlimdv 1935 . . . . 5 (((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) → (∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)))
403, 4, 5, 6isomuspgrlem2 44277 . . . . 5 (((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾) → ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))))
4139, 40impbid 215 . . . 4 (((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) ∧ 𝑓:𝑉1-1-onto𝑊) → (∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒)) ↔ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾)))
4241pm5.32da 582 . . 3 ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → ((𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) ↔ (𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))))
4342exbidv 1923 . 2 ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝐸1-1-onto𝐾 ∧ ∀𝑒𝐸 (𝑓𝑒) = (𝑔𝑒))) ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))))
448, 43bitrd 282 1 ((𝐴 ∈ USPGraph ∧ 𝐵 ∈ USPGraph) → (𝐴 IsomGr 𝐵 ↔ ∃𝑓(𝑓:𝑉1-1-onto𝑊 ∧ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑓𝑎), (𝑓𝑏)} ∈ 𝐾))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  wral 3133  {cpr 4552   class class class wbr 5052  cima 5545   Fn wfn 6338  wf 6339  1-1-ontowf1o 6342  cfv 6343  Vtxcvtx 26792  Edgcedg 26843  USHGraphcushgr 26853  USPGraphcuspgr 26944   IsomGr cisomgr 44263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-hash 13696  df-edg 26844  df-uhgr 26854  df-ushgr 26855  df-upgr 26878  df-uspgr 26946  df-isomgr 44265
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator