Theorem iunrelexpuztr 44546

Description: The indexed union of relation exponentiation over upper integers is a transive relation. Generalized from rtrclreclem3 15135. (Contributed by RP, 4-Jun-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptiunrelexp.def	⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))

Assertion

Ref	Expression
iunrelexpuztr	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁   𝑛,𝑀   𝑅,𝑛,𝑟   𝑛,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑟)   𝑉(𝑟)

Proof of Theorem iunrelexpuztr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 𝑖) ∈ V)
2		simprlr 792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑗 ∈ 𝑁)
3		simpll2 1232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀))
4	2, 3	eleqtrd 2864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		simpll3 1233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
6		simprll 791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑖 ∈ 𝑁)
7	6, 3	eleqtrd 2864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		eluznn0 12969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
9	5, 7, 8	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
10		uzaddcl 12956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 𝑖) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11	4, 9, 10	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → (𝑗 + 𝑖) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
12		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑛 = (𝑗 + 𝑖))
13	11, 12, 3	3eltr4d 2877	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑛 ∈ 𝑁)
14		vex 3457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
15		vex 3457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑧 ∈ V
16		vex 3457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑦 ∈ V
17		brcogw 5852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)) → 𝑥((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖))𝑧)
18	17	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ((𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → 𝑥((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖))𝑧))
19	14, 15, 16, 18	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → 𝑥((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖))𝑧)
20		simpll3 1233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
21		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
22		simpll2 1232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀))
23	21, 22	eleqtrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
24		eluznn0 12969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
25	20, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
26		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
27	26, 22	eleqtrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
28	20, 27, 8	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
29		simpll1 1231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ 𝑉)
30		relexpaddss 44545	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖)) ⊆ (𝑅↑𝑟(𝑗 + 𝑖)))
31	25, 28, 29, 30	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖)) ⊆ (𝑅↑𝑟(𝑗 + 𝑖)))
32		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑛 = (𝑗 + 𝑖))
33	32	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟(𝑗 + 𝑖)))
34	31, 33	sseqtrrd 3971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖)) ⊆ (𝑅↑𝑟𝑛))
35	34	ssbrd 5152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑥((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖))𝑧 → 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
36	19, 35	syl5 35	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
37	36	impr 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)
38	13, 37	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → (𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
39	38	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) → (((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)) → (𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
40	1, 39	spcimedv 3552	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)) → ∃𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
41	40	exlimdvv 1967	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (∃𝑖∃𝑗((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)) → ∃𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
42		reeanv 3236	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑁 ∃𝑗 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) ↔ (∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))
43		r2ex 3201	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑁 ∃𝑗 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) ↔ ∃𝑖∃𝑗((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)))
44	42, 43	bitr3i 280	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) ↔ ∃𝑖∃𝑗((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)))
45		df-rex 3089	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧 ↔ ∃𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
46	41, 44, 45	3imtr4g 299	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
47	46	alrimiv 1960	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
48	47	alrimiv 1960	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
49	48	alrimiv 1960	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
50		cotr 6110	. . . . 5 ⊢ (((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧))
51		mptiunrelexp.def	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
52	51	briunov2uz 44525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑦))
53		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑖))
54	53	breqd 5118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑦 ↔ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦))
55	54	cbvrexvw 3243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦)
56	52, 55	bitrdi 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦))
57	51	briunov2uz 44525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
58		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑗))
59	58	breqd 5118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑦(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧 ↔ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))
60	59	cbvrexvw 3243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)
61	57, 60	bitrdi 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))
62	56, 61	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ (∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)))
63	51	briunov2uz 44525	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
64	62, 63	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ ((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
65	64	albidv 1953	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (∀𝑧((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ ∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
66	65	albidv 1953	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (∀𝑦∀𝑧((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ ∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
67	66	albidv 1953	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
68	50, 67	bitrid 286	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
69	68	biimprd 251	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧) → ((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅)))
70	69	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧) → ((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅)))
71	49, 70	mpd 16	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ∪ ciun 4954   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   + caddc 11130  ℕ₀cn0 12531  ℤ_≥cuz 12890  ↑_𝑟crelexp 15094

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-seq 14068  df-relexp 15095

This theorem is used by:  dftrcl3  44547  dfrtrcl3  44560