Theorem iunrelexpuztr 43997

Description: The indexed union of relation exponentiation over upper integers is a transive relation. Generalized from rtrclreclem3 14985. (Contributed by RP, 4-Jun-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptiunrelexp.def	⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))

Assertion

Ref	Expression
iunrelexpuztr	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁   𝑛,𝑀   𝑅,𝑛,𝑟   𝑛,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑟)   𝑉(𝑟)

Proof of Theorem iunrelexpuztr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7393	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 𝑖) ∈ V)
2		simprlr 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑗 ∈ 𝑁)
3		simpll2 1215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀))
4	2, 3	eleqtrd 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		simpll3 1216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
6		simprll 779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑖 ∈ 𝑁)
7	6, 3	eleqtrd 2837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		eluznn0 12832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
9	5, 7, 8	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
10		uzaddcl 12819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 𝑖) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11	4, 9, 10	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → (𝑗 + 𝑖) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
12		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑛 = (𝑗 + 𝑖))
13	11, 12, 3	3eltr4d 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑛 ∈ 𝑁)
14		vex 3443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
15		vex 3443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑧 ∈ V
16		vex 3443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑦 ∈ V
17		brcogw 5816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)) → 𝑥((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖))𝑧)
18	17	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ((𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → 𝑥((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖))𝑧))
19	14, 15, 16, 18	mp3an 1464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → 𝑥((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖))𝑧)
20		simpll3 1216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
21		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
22		simpll2 1215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀))
23	21, 22	eleqtrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
24		eluznn0 12832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
25	20, 23, 24	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
26		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
27	26, 22	eleqtrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
28	20, 27, 8	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
29		simpll1 1214	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ 𝑉)
30		relexpaddss 43996	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖)) ⊆ (𝑅↑𝑟(𝑗 + 𝑖)))
31	25, 28, 29, 30	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖)) ⊆ (𝑅↑𝑟(𝑗 + 𝑖)))
32		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑛 = (𝑗 + 𝑖))
33	32	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟(𝑗 + 𝑖)))
34	31, 33	sseqtrrd 3970	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖)) ⊆ (𝑅↑𝑟𝑛))
35	34	ssbrd 5140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑥((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖))𝑧 → 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
36	19, 35	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
37	36	impr 454	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)
38	13, 37	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → (𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
39	38	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) → (((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)) → (𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
40	1, 39	spcimedv 3548	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)) → ∃𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
41	40	exlimdvv 1936	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (∃𝑖∃𝑗((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)) → ∃𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
42		reeanv 3207	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑁 ∃𝑗 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) ↔ (∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))
43		r2ex 3172	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑁 ∃𝑗 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) ↔ ∃𝑖∃𝑗((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)))
44	42, 43	bitr3i 277	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) ↔ ∃𝑖∃𝑗((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)))
45		df-rex 3060	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧 ↔ ∃𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
46	41, 44, 45	3imtr4g 296	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
47	46	alrimiv 1929	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
48	47	alrimiv 1929	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
49	48	alrimiv 1929	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
50		cotr 6068	. . . . 5 ⊢ (((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧))
51		mptiunrelexp.def	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
52	51	briunov2uz 43976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑦))
53		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑖))
54	53	breqd 5108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑦 ↔ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦))
55	54	cbvrexvw 3214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦)
56	52, 55	bitrdi 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦))
57	51	briunov2uz 43976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
58		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑗))
59	58	breqd 5108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑦(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧 ↔ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))
60	59	cbvrexvw 3214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)
61	57, 60	bitrdi 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))
62	56, 61	anbi12d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ (∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)))
63	51	briunov2uz 43976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
64	62, 63	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ ((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
65	64	albidv 1922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (∀𝑧((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ ∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
66	65	albidv 1922	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (∀𝑦∀𝑧((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ ∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
67	66	albidv 1922	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
68	50, 67	bitrid 283	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
69	68	biimprd 248	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧) → ((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅)))
70	69	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧) → ((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅)))
71	49, 70	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1540   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3059  Vcvv 3439   ⊆ wss 3900  ∪ ciun 4945   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178   ∘ ccom 5627  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   + caddc 11031  ℕ₀cn0 12403  ℤ_≥cuz 12753  ↑_𝑟crelexp 14944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-seq 13927  df-relexp 14945

This theorem is referenced by:  dftrcl3  43998  dfrtrcl3  44011