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Theorem iunrelexpuztr 40407
 Description: The indexed union of relation exponentiation over upper integers is a transive relation. Generalized from rtrclreclem3 14414. (Contributed by RP, 4-Jun-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
mptiunrelexp.def 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛))
Assertion
Ref Expression
iunrelexpuztr ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑅) ∘ (𝐶𝑅)) ⊆ (𝐶𝑅))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁   𝑛,𝑀   𝑅,𝑛,𝑟   𝑛,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑟)   𝑉(𝑟)

Proof of Theorem iunrelexpuztr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovexd 7174 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 𝑖) ∈ V)
2 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑗𝑁)
3 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑁 = (ℤ𝑀))
42, 3eleqtrd 2895 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
5 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
6 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑖𝑁)
76, 3eleqtrd 2895 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
8 eluznn0 12309 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
95, 7, 8syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
10 uzaddcl 12296 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 𝑖) ∈ (ℤ𝑀))
114, 9, 10syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → (𝑗 + 𝑖) ∈ (ℤ𝑀))
12 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑛 = (𝑗 + 𝑖))
1311, 12, 33eltr4d 2908 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑛𝑁)
14 vex 3447 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
15 vex 3447 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
16 vex 3447 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
17 brcogw 5707 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧)) → 𝑥((𝑅𝑟𝑗) ∘ (𝑅𝑟𝑖))𝑧)
1817ex 416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ((𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → 𝑥((𝑅𝑟𝑗) ∘ (𝑅𝑟𝑖))𝑧))
1914, 15, 16, 18mp3an 1458 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → 𝑥((𝑅𝑟𝑗) ∘ (𝑅𝑟𝑖))𝑧)
20 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
21 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
22 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑁 = (ℤ𝑀))
2321, 22eleqtrd 2895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
24 eluznn0 12309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
2520, 23, 24syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
26 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
2726, 22eleqtrd 2895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
2820, 27, 8syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
29 simpll1 1209 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅𝑉)
30 relexpaddss 40406 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑅𝑉) → ((𝑅𝑟𝑗) ∘ (𝑅𝑟𝑖)) ⊆ (𝑅𝑟(𝑗 + 𝑖)))
3125, 28, 29, 30syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑅𝑟𝑗) ∘ (𝑅𝑟𝑖)) ⊆ (𝑅𝑟(𝑗 + 𝑖)))
32 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑛 = (𝑗 + 𝑖))
3332oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟(𝑗 + 𝑖)))
3431, 33sseqtrrd 3959 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑅𝑟𝑗) ∘ (𝑅𝑟𝑖)) ⊆ (𝑅𝑟𝑛))
3534ssbrd 5076 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑥((𝑅𝑟𝑗) ∘ (𝑅𝑟𝑖))𝑧𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
3619, 35syl5 34 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
3736impr 458 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)
3813, 37jca 515 . . . . . . . . 9 ((((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))) → (𝑛𝑁𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
3938ex 416 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) → (((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧)) → (𝑛𝑁𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)))
401, 39spcimedv 3545 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧)) → ∃𝑛(𝑛𝑁𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)))
4140exlimdvv 1935 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (∃𝑖𝑗((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧)) → ∃𝑛(𝑛𝑁𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)))
42 reeanv 3323 . . . . . . 7 (∃𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) ↔ (∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))
43 r2ex 3265 . . . . . . 7 (∃𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) ↔ ∃𝑖𝑗((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧)))
4442, 43bitr3i 280 . . . . . 6 ((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) ↔ ∃𝑖𝑗((𝑖𝑁𝑗𝑁) ∧ (𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧)))
45 df-rex 3115 . . . . . 6 (∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧 ↔ ∃𝑛(𝑛𝑁𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
4641, 44, 453imtr4g 299 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
4746alrimiv 1928 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
4847alrimiv 1928 . . 3 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑦𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
4948alrimiv 1928 . 2 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑥𝑦𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
50 cotr 5943 . . . . 5 (((𝐶𝑅) ∘ (𝐶𝑅)) ⊆ (𝐶𝑅) ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝐶𝑅)𝑦𝑦(𝐶𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶𝑅)𝑧))
51 mptiunrelexp.def . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛𝑁 (𝑟𝑟𝑛))
5251briunov2uz 40386 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (𝑥(𝐶𝑅)𝑦 ↔ ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑦))
53 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑖 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑖))
5453breqd 5044 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑖 → (𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑦𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦))
5554cbvrexvw 3400 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑦 ↔ ∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦)
5652, 55syl6bb 290 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (𝑥(𝐶𝑅)𝑦 ↔ ∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦))
5751briunov2uz 40386 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (𝑦(𝐶𝑅)𝑧 ↔ ∃𝑛𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
58 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑗 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑗))
5958breqd 5044 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑗 → (𝑦(𝑅𝑟𝑛)𝑧𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))
6059cbvrexvw 3400 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑛𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑛)𝑧 ↔ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧)
6157, 60syl6bb 290 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (𝑦(𝐶𝑅)𝑧 ↔ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧))
6256, 61anbi12d 633 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → ((𝑥(𝐶𝑅)𝑦𝑦(𝐶𝑅)𝑧) ↔ (∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧)))
6351briunov2uz 40386 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (𝑥(𝐶𝑅)𝑧 ↔ ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧))
6462, 63imbi12d 348 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (((𝑥(𝐶𝑅)𝑦𝑦(𝐶𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶𝑅)𝑧) ↔ ((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)))
6564albidv 1921 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (∀𝑧((𝑥(𝐶𝑅)𝑦𝑦(𝐶𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶𝑅)𝑧) ↔ ∀𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)))
6665albidv 1921 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (∀𝑦𝑧((𝑥(𝐶𝑅)𝑦𝑦(𝐶𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶𝑅)𝑧) ↔ ∀𝑦𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)))
6766albidv 1921 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (∀𝑥𝑦𝑧((𝑥(𝐶𝑅)𝑦𝑦(𝐶𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶𝑅)𝑧) ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)))
6850, 67syl5bb 286 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (((𝐶𝑅) ∘ (𝐶𝑅)) ⊆ (𝐶𝑅) ↔ ∀𝑥𝑦𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧)))
6968biimprd 251 . . 3 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀)) → (∀𝑥𝑦𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧) → ((𝐶𝑅) ∘ (𝐶𝑅)) ⊆ (𝐶𝑅)))
70693adant3 1129 . 2 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (∀𝑥𝑦𝑧((∃𝑖𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗𝑁 𝑦(𝑅𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛𝑁 𝑥(𝑅𝑟𝑛)𝑧) → ((𝐶𝑅) ∘ (𝐶𝑅)) ⊆ (𝐶𝑅)))
7149, 70mpd 15 1 ((𝑅𝑉𝑁 = (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑅) ∘ (𝐶𝑅)) ⊆ (𝐶𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084  ∀wal 1536   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3110  Vcvv 3444   ⊆ wss 3884  ∪ ciun 4884   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   ∘ ccom 5527  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   + caddc 10533  ℕ0cn0 11889  ℤ≥cuz 12235  ↑𝑟crelexp 14374 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-seq 13369  df-relexp 14375 This theorem is referenced by:  dftrcl3  40408  dfrtrcl3  40421
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