Theorem iunrelexpuztr 44178

Description: The indexed union of relation exponentiation over upper integers is a transive relation. Generalized from rtrclreclem3 15017. (Contributed by RP, 4-Jun-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptiunrelexp.def	⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))

Assertion

Ref	Expression
iunrelexpuztr	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁   𝑛,𝑀   𝑅,𝑛,𝑟   𝑛,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑟)   𝑉(𝑟)

Proof of Theorem iunrelexpuztr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7395	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 𝑖) ∈ V)
2		simprlr 786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑗 ∈ 𝑁)
3		simpll2 1221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀))
4	2, 3	eleqtrd 2843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		simpll3 1222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
6		simprll 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑖 ∈ 𝑁)
7	6, 3	eleqtrd 2843	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		eluznn0 12862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
9	5, 7, 8	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
10		uzaddcl 12849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 𝑖) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11	4, 9, 10	syl2anc 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → (𝑗 + 𝑖) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
12		simplr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑛 = (𝑗 + 𝑖))
13	11, 12, 3	3eltr4d 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑛 ∈ 𝑁)
14		vex 3437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
15		vex 3437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑧 ∈ V
16		vex 3437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑦 ∈ V
17		brcogw 5813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)) → 𝑥((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖))𝑧)
18	17	ex 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ((𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → 𝑥((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖))𝑧))
19	14, 15, 16, 18	mp3an 1470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → 𝑥((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖))𝑧)
20		simpll3 1222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
21		simprr 779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
22		simpll2 1221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀))
23	21, 22	eleqtrd 2843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
24		eluznn0 12862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
25	20, 23, 24	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
26		simprl 777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
27	26, 22	eleqtrd 2843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
28	20, 27, 8	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
29		simpll1 1220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ 𝑉)
30		relexpaddss 44177	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖)) ⊆ (𝑅↑𝑟(𝑗 + 𝑖)))
31	25, 28, 29, 30	syl3anc 1380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖)) ⊆ (𝑅↑𝑟(𝑗 + 𝑖)))
32		simplr 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑛 = (𝑗 + 𝑖))
33	32	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟(𝑗 + 𝑖)))
34	31, 33	sseqtrrd 3954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖)) ⊆ (𝑅↑𝑟𝑛))
35	34	ssbrd 5118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑥((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖))𝑧 → 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
36	19, 35	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
37	36	impr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)
38	13, 37	jca 517	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → (𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
39	38	ex 414	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) → (((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)) → (𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
40	1, 39	spcimedv 3535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)) → ∃𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
41	40	exlimdvv 1942	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (∃𝑖∃𝑗((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)) → ∃𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
42		reeanv 3213	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑁 ∃𝑗 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) ↔ (∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))
43		r2ex 3178	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑁 ∃𝑗 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) ↔ ∃𝑖∃𝑗((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)))
44	42, 43	bitr3i 279	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) ↔ ∃𝑖∃𝑗((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)))
45		df-rex 3066	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧 ↔ ∃𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
46	41, 44, 45	3imtr4g 298	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
47	46	alrimiv 1935	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
48	47	alrimiv 1935	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
49	48	alrimiv 1935	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
50		cotr 6069	. . . . 5 ⊢ (((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧))
51		mptiunrelexp.def	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
52	51	briunov2uz 44157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑦))
53		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑖))
54	53	breqd 5086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑦 ↔ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦))
55	54	cbvrexvw 3220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦)
56	52, 55	bitrdi 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦))
57	51	briunov2uz 44157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
58		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑗))
59	58	breqd 5086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑦(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧 ↔ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))
60	59	cbvrexvw 3220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)
61	57, 60	bitrdi 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))
62	56, 61	anbi12d 639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ (∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)))
63	51	briunov2uz 44157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
64	62, 63	imbi12d 346	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ ((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
65	64	albidv 1928	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (∀𝑧((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ ∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
66	65	albidv 1928	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (∀𝑦∀𝑧((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ ∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
67	66	albidv 1928	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
68	50, 67	bitrid 285	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
69	68	biimprd 250	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧) → ((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅)))
70	69	3adant3 1139	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧) → ((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅)))
71	49, 70	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093  ∀wal 1546   = wceq 1548  ∃wex 1787   ∈ wcel 2121  ∃wrex 3065  Vcvv 3433   ⊆ wss 3885  ∪ ciun 4924   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156   ∘ ccom 5625  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   + caddc 11036  ℕ₀cn0 12432  ℤ_≥cuz 12783  ↑_𝑟crelexp 14976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-seq 13959  df-relexp 14977

This theorem is referenced by:  dftrcl3  44179  dfrtrcl3  44192