Theorem iunrelexpuztr 43709

Description: The indexed union of relation exponentiation over upper integers is a transive relation. Generalized from rtrclreclem3 15096. (Contributed by RP, 4-Jun-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptiunrelexp.def	⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))

Assertion

Ref	Expression
iunrelexpuztr	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁   𝑛,𝑀   𝑅,𝑛,𝑟   𝑛,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑟)   𝑉(𝑟)

Proof of Theorem iunrelexpuztr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 𝑖) ∈ V)
2		simprlr 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑗 ∈ 𝑁)
3		simpll2 1212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀))
4	2, 3	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		simpll3 1213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
6		simprll 779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑖 ∈ 𝑁)
7	6, 3	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		eluznn0 12957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
9	5, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
10		uzaddcl 12944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑗 + 𝑖) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11	4, 9, 10	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → (𝑗 + 𝑖) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
12		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑛 = (𝑗 + 𝑖))
13	11, 12, 3	3eltr4d 2854	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑛 ∈ 𝑁)
14		vex 3482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑥 ∈ V
15		vex 3482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑧 ∈ V
16		vex 3482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑦 ∈ V
17		brcogw 5882	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)) → 𝑥((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖))𝑧)
18	17	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → ((𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → 𝑥((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖))𝑧))
19	14, 15, 16, 18	mp3an 1460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → 𝑥((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖))𝑧)
20		simpll3 1213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
21		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
22		simpll2 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀))
23	21, 22	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
24		eluznn0 12957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
25	20, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
26		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
27	26, 22	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
28	20, 27, 8	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
29		simpll1 1211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ 𝑉)
30		relexpaddss 43708	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖)) ⊆ (𝑅↑𝑟(𝑗 + 𝑖)))
31	25, 28, 29, 30	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖)) ⊆ (𝑅↑𝑟(𝑗 + 𝑖)))
32		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑛 = (𝑗 + 𝑖))
33	32	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟(𝑗 + 𝑖)))
34	31, 33	sseqtrrd 4037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖)) ⊆ (𝑅↑𝑟𝑛))
35	34	ssbrd 5191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑥((𝑅↑𝑟𝑗) ∘ (𝑅↑𝑟𝑖))𝑧 → 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
36	19, 35	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
37	36	impr 454	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)
38	13, 37	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))) → (𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
39	38	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = (𝑗 + 𝑖)) → (((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)) → (𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
40	1, 39	spcimedv 3595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)) → ∃𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
41	40	exlimdvv 1932	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (∃𝑖∃𝑗((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)) → ∃𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
42		reeanv 3227	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑁 ∃𝑗 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) ↔ (∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))
43		r2ex 3194	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑁 ∃𝑗 ∈ 𝑁 (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) ↔ ∃𝑖∃𝑗((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)))
44	42, 43	bitr3i 277	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) ↔ ∃𝑖∃𝑗((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ (𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)))
45		df-rex 3069	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧 ↔ ∃𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
46	41, 44, 45	3imtr4g 296	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
47	46	alrimiv 1925	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
48	47	alrimiv 1925	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
49	48	alrimiv 1925	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
50		cotr 6133	. . . . 5 ⊢ (((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧))
51		mptiunrelexp.def	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
52	51	briunov2uz 43688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑦))
53		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑖))
54	53	breqd 5159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑦 ↔ 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦))
55	54	cbvrexvw 3236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦)
56	52, 55	bitrdi 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦))
57	51	briunov2uz 43688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
58		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑗))
59	58	breqd 5159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑦(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧 ↔ 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))
60	59	cbvrexvw 3236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)
61	57, 60	bitrdi 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧))
62	56, 61	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ (∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧)))
63	51	briunov2uz 43688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧))
64	62, 63	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ ((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
65	64	albidv 1918	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (∀𝑧((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ ∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
66	65	albidv 1918	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (∀𝑦∀𝑧((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ ∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
67	66	albidv 1918	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥(𝐶‘𝑅)𝑦 ∧ 𝑦(𝐶‘𝑅)𝑧) → 𝑥(𝐶‘𝑅)𝑧) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
68	50, 67	bitrid 283	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧)))
69	68	biimprd 248	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀)) → (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧) → ((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅)))
70	69	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑖)𝑦 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑁 𝑦(𝑅↑𝑟𝑗)𝑧) → ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝑥(𝑅↑𝑟𝑛)𝑧) → ((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅)))
71	49, 70	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘𝑅) ∘ (𝐶‘𝑅)) ⊆ (𝐶‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1535   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ∪ ciun 4996   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5693  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   + caddc 11156  ℕ₀cn0 12524  ℤ_≥cuz 12876  ↑_𝑟crelexp 15055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-relexp 15056

This theorem is referenced by:  dftrcl3  43710  dfrtrcl3  43723