Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem5 34248
 Description: Lemma for knoppcn 34255. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem5.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem5.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem5.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem5.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑥,𝑚,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑚)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑚,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem5
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem5.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 knoppcnlem5.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3 knoppcnlem5.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ)
5 knoppcnlem5.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
7 simpr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
8 simplr 768 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑚 ∈ ℕ0)
91, 2, 4, 6, 7, 8knoppcnlem3 34246 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧)‘𝑚) ∈ ℝ)
109recnd 10707 . . . 4 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧)‘𝑚) ∈ ℂ)
1110fmpttd 6870 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)):ℝ⟶ℂ)
12 cnex 10656 . . . . 5 ℂ ∈ V
13 reex 10666 . . . . 5 ℝ ∈ V
1412, 13pm3.2i 474 . . . 4 (ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V)
15 elmapg 8429 . . . 4 ((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑m ℝ) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)):ℝ⟶ℂ))
1614, 15ax-mp 5 . . 3 ((𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑m ℝ) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)):ℝ⟶ℂ)
1711, 16sylibr 237 . 2 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑m ℝ))
1817fmpttd 6870 1 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ↦ cmpt 5112  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ↑m cmap 8416  ℂcc 10573  ℝcr 10574  1c1 10576   + caddc 10578   · cmul 10580   − cmin 10908   / cdiv 11335  ℕcn 11674  2c2 11729  ℕ0cn0 11934  ⌊cfl 13209  ↑cexp 13479  abscabs 14641 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fl 13211  df-seq 13419  df-exp 13480  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643 This theorem is referenced by:  knoppcnlem6  34249
 Copyright terms: Public domain W3C validator