Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem5 32995
Description: Lemma for knoppcn 33002. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem5.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem5.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem5.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem5.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 ℝ))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑥,𝑚,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑚)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑚,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem5
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem5.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 knoppcnlem5.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3 knoppcnlem5.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43ad2antrr 718 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ)
5 knoppcnlem5.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65ad2antrr 718 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
7 simpr 478 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
8 simplr 786 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑚 ∈ ℕ0)
91, 2, 4, 6, 7, 8knoppcnlem3 32993 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧)‘𝑚) ∈ ℝ)
109recnd 10357 . . . 4 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧)‘𝑚) ∈ ℂ)
1110fmpttd 6611 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)):ℝ⟶ℂ)
12 cnex 10305 . . . . 5 ℂ ∈ V
13 reex 10315 . . . . 5 ℝ ∈ V
1412, 13pm3.2i 463 . . . 4 (ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V)
15 elmapg 8108 . . . 4 ((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℝ) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)):ℝ⟶ℂ))
1614, 15ax-mp 5 . . 3 ((𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℝ) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)):ℝ⟶ℂ)
1711, 16sylibr 226 . 2 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℝ))
1817fmpttd 6611 1 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3385  cmpt 4922  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  𝑚 cmap 8095  cc 10222  cr 10223  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229  cmin 10556   / cdiv 10976  cn 11312  2c2 11368  0cn0 11580  cfl 12846  cexp 13114  abscabs 14315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-fl 12848  df-seq 13056  df-exp 13115  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317
This theorem is referenced by:  knoppcnlem6  32996
  Copyright terms: Public domain W3C validator