Theorem lssincl 21240

Description: The intersection of two subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 7-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lssintcl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssincl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lssincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intprg 4941	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∩ {𝑇, 𝑈} = (𝑇 ∩ 𝑈))
2	1	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∩ {𝑇, 𝑈} = (𝑇 ∩ 𝑈))
3		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
4		prssi 4782	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → {𝑇, 𝑈} ⊆ 𝑆)
5	4	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → {𝑇, 𝑈} ⊆ 𝑆)
6		prnzg 4739	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑆 → {𝑇, 𝑈} ≠ ∅)
7	6	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → {𝑇, 𝑈} ≠ ∅)
8		lssintcl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9	8	lssintcl 21239	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑇, 𝑈} ⊆ 𝑆 ∧ {𝑇, 𝑈} ≠ ∅) → ∩ {𝑇, 𝑈} ∈ 𝑆)
10	3, 5, 7, 9	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∩ {𝑇, 𝑈} ∈ 𝑆)
11	2, 10	eqeltrrd 2862	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {cpr 4586  ∩ cint 4907  ‘cfv 6538  LModclmod 21135  LSubSpclss 21206

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-ring 20461  df-lmod 21137  df-lss 21207

This theorem is used by:  ocvin  21980  lshpdisj  40044  lcvexchlem2  40092  lcvexchlem4  40094  lcvexchlem5  40095  lcvp  40097  lsatcvat3  40109  dihmeetlem13N  42376  dochnoncon  42448  dochexmidlem5  42521  lclkrlem2f  42569  lcfrlem25  42624  mapdincl  42718  mapdin  42719  lmhmlnmsplit  44088