Theorem lcvexchlem3 40285

Description: Lemma for lcvexch 40288. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvexch.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvexch.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvexch.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcvexch.q	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
lcvexch.d	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑅)
lcvexch.e	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Assertion

Ref	Expression
lcvexchlem3	⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇) = 𝑅)

Proof of Theorem lcvexchlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvexch.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lcvexch.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	2	lsssssubg 21263	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
4	1, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5		lcvexch.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3914	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7		lcvexch.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	4, 7	sseldd 3914	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		lcvexch.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
10	4, 9	sseldd 3914	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
11		lcvexch.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑅)
12		lcvexch.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
13	12	lsmmod2 19920	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑅) → (𝑅 ∩ (𝑈 ⊕ 𝑇)) = ((𝑅 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇))
14	6, 8, 10, 11, 13	syl31anc 1401	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∩ (𝑈 ⊕ 𝑇)) = ((𝑅 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇))
15		lcvexch.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
16		lmodabl 21214	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
17	1, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
18	12	lsmcom 20102	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑈 ⊕ 𝑇))
19	17, 10, 8, 18	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑈 ⊕ 𝑇))
20	15, 19	sseqtrd 3949	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑇))
21		dfss2 4097	. . 3 ⊢ (𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑇) ↔ (𝑅 ∩ (𝑈 ⊕ 𝑇)) = 𝑅)
22	20, 21	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∩ (𝑈 ⊕ 𝑇)) = 𝑅)
23	14, 22	eqtr3d 2800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇) = 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  SubGrpcsubg 19359  LSSumclsm 19878  Abelcabl 20025  LModclmod 21165  LSubSpclss 21236   ⋖_L clcv 40267

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-0g 17641  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-oppg 19590  df-lsm 19880  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-ur 20438  df-ring 20491  df-lmod 21167  df-lss 21237

This theorem is used by:  lcvexchlem5  40287