Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcvexchlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcvexchlem3 36304
Description: Lemma for lcvexch 36307. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcvexch.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lcvexch.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t (𝜑𝑇𝑆)
lcvexch.u (𝜑𝑈𝑆)
lcvexch.q (𝜑𝑅𝑆)
lcvexch.d (𝜑𝑇𝑅)
lcvexch.e (𝜑𝑅 ⊆ (𝑇 𝑈))
Assertion
Ref Expression
lcvexchlem3 (𝜑 → ((𝑅𝑈) 𝑇) = 𝑅)

Proof of Theorem lcvexchlem3
StepHypRef Expression
1 lcvexch.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lcvexch.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
32lsssssubg 19732 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5 lcvexch.q . . . 4 (𝜑𝑅𝑆)
64, 5sseldd 3954 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7 lcvexch.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
84, 7sseldd 3954 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9 lcvexch.t . . . 4 (𝜑𝑇𝑆)
104, 9sseldd 3954 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
11 lcvexch.d . . 3 (𝜑𝑇𝑅)
12 lcvexch.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
1312lsmmod2 18804 . . 3 (((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ 𝑇𝑅) → (𝑅 ∩ (𝑈 𝑇)) = ((𝑅𝑈) 𝑇))
146, 8, 10, 11, 13syl31anc 1370 . 2 (𝜑 → (𝑅 ∩ (𝑈 𝑇)) = ((𝑅𝑈) 𝑇))
15 lcvexch.e . . . 4 (𝜑𝑅 ⊆ (𝑇 𝑈))
16 lmodabl 19683 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
171, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
1812lsmcom 18980 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑇 𝑈) = (𝑈 𝑇))
1917, 10, 8, 18syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 𝑈) = (𝑈 𝑇))
2015, 19sseqtrd 3993 . . 3 (𝜑𝑅 ⊆ (𝑈 𝑇))
21 df-ss 3936 . . 3 (𝑅 ⊆ (𝑈 𝑇) ↔ (𝑅 ∩ (𝑈 𝑇)) = 𝑅)
2220, 21sylib 221 . 2 (𝜑 → (𝑅 ∩ (𝑈 𝑇)) = 𝑅)
2314, 22eqtr3d 2861 1 (𝜑 → ((𝑅𝑈) 𝑇) = 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  cin 3918  wss 3919  cfv 6345  (class class class)co 7151  SubGrpcsubg 18275  LSSumclsm 18761  Abelcabl 18909  LModclmod 19636  LSubSpclss 19705  L clcv 36286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-tpos 7890  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-oppg 18476  df-lsm 18763  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-lmod 19638  df-lss 19706
This theorem is referenced by:  lcvexchlem5  36306
  Copyright terms: Public domain W3C validator