Theorem lcvexchlem3 37050

Description: Lemma for lcvexch 37053. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvexch.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvexch.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvexch.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcvexch.q	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
lcvexch.d	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑅)
lcvexch.e	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Assertion

Ref	Expression
lcvexchlem3	⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇) = 𝑅)

Proof of Theorem lcvexchlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvexch.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lcvexch.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	2	lsssssubg 20220	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5		lcvexch.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3922	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7		lcvexch.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	4, 7	sseldd 3922	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		lcvexch.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
10	4, 9	sseldd 3922	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
11		lcvexch.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑅)
12		lcvexch.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
13	12	lsmmod2 19282	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑅) → (𝑅 ∩ (𝑈 ⊕ 𝑇)) = ((𝑅 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇))
14	6, 8, 10, 11, 13	syl31anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∩ (𝑈 ⊕ 𝑇)) = ((𝑅 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇))
15		lcvexch.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
16		lmodabl 20170	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
17	1, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
18	12	lsmcom 19459	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑈 ⊕ 𝑇))
19	17, 10, 8, 18	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑈 ⊕ 𝑇))
20	15, 19	sseqtrd 3961	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑇))
21		df-ss 3904	. . 3 ⊢ (𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑇) ↔ (𝑅 ∩ (𝑈 ⊕ 𝑇)) = 𝑅)
22	20, 21	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∩ (𝑈 ⊕ 𝑇)) = 𝑅)
23	14, 22	eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇) = 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  SubGrpcsubg 18749  LSSumclsm 19239  Abelcabl 19387  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193   ⋖_L clcv 37032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-oppg 18950  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-lmod 20125  df-lss 20194

This theorem is referenced by:  lcvexchlem5  37052