Theorem lcvexchlem3 39598

Description: Lemma for lcvexch 39601. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvexch.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvexch.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvexch.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcvexch.q	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
lcvexch.d	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑅)
lcvexch.e	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Assertion

Ref	Expression
lcvexchlem3	⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇) = 𝑅)

Proof of Theorem lcvexchlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvexch.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lcvexch.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	2	lsssssubg 20994	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5		lcvexch.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3928	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7		lcvexch.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	4, 7	sseldd 3928	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		lcvexch.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
10	4, 9	sseldd 3928	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
11		lcvexch.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑅)
12		lcvexch.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
13	12	lsmmod2 19688	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑅) → (𝑅 ∩ (𝑈 ⊕ 𝑇)) = ((𝑅 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇))
14	6, 8, 10, 11, 13	syl31anc 1384	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∩ (𝑈 ⊕ 𝑇)) = ((𝑅 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇))
15		lcvexch.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
16		lmodabl 20945	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
17	1, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
18	12	lsmcom 19870	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑈 ⊕ 𝑇))
19	17, 10, 8, 18	syl3anc 1382	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑈 ⊕ 𝑇))
20	15, 19	sseqtrd 3963	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑇))
21		dfss2 3913	. . 3 ⊢ (𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑇) ↔ (𝑅 ∩ (𝑈 ⊕ 𝑇)) = 𝑅)
22	20, 21	sylib 220	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∩ (𝑈 ⊕ 𝑇)) = 𝑅)
23	14, 22	eqtr3d 2789	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇) = 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ∩ cin 3894   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  SubGrpcsubg 19134  LSSumclsm 19646  Abelcabl 19793  LModclmod 20896  LSubSpclss 20967   ⋖_L clcv 39580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-tpos 8190  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-0g 17442  df-mre 17586  df-mrc 17587  df-acs 17589  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-submnd 18790  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-subg 19137  df-oppg 19358  df-lsm 19648  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20898  df-lss 20968

This theorem is referenced by:  lcvexchlem5  39600