Theorem lcvexchlem3 39838

Description: Lemma for lcvexch 39841. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvexch.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvexch.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvexch.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcvexch.q	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
lcvexch.d	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑅)
lcvexch.e	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Assertion

Ref	Expression
lcvexchlem3	⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇) = 𝑅)

Proof of Theorem lcvexchlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvexch.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lcvexch.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	2	lsssssubg 21090	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
4	1, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5		lcvexch.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3937	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7		lcvexch.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	4, 7	sseldd 3937	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		lcvexch.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
10	4, 9	sseldd 3937	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
11		lcvexch.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑅)
12		lcvexch.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
13	12	lsmmod2 19752	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑅) → (𝑅 ∩ (𝑈 ⊕ 𝑇)) = ((𝑅 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇))
14	6, 8, 10, 11, 13	syl31anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∩ (𝑈 ⊕ 𝑇)) = ((𝑅 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇))
15		lcvexch.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
16		lmodabl 21041	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
17	1, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
18	12	lsmcom 19934	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑈 ⊕ 𝑇))
19	17, 10, 8, 18	syl3anc 1397	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑈 ⊕ 𝑇))
20	15, 19	sseqtrd 3972	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑇))
21		dfss2 3922	. . 3 ⊢ (𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑇) ↔ (𝑅 ∩ (𝑈 ⊕ 𝑇)) = 𝑅)
22	20, 21	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∩ (𝑈 ⊕ 𝑇)) = 𝑅)
23	14, 22	eqtr3d 2799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇) = 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  SubGrpcsubg 19192  LSSumclsm 19710  Abelcabl 19857  LModclmod 20992  LSubSpclss 21063   ⋖_L clcv 39820

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-0g 17500  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-subg 19195  df-oppg 19422  df-lsm 19712  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-ur 20270  df-ring 20323  df-lmod 20994  df-lss 21064

This theorem is used by:  lcvexchlem5  39840