Theorem lcvexchlem3 38560

Description: Lemma for lcvexch 38563. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcvexch.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcvexch.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcvexch.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcvexch.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcvexch.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
lcvexch.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcvexch.q	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
lcvexch.d	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑅)
lcvexch.e	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))

Assertion

Ref	Expression
lcvexchlem3	⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇) = 𝑅)

Proof of Theorem lcvexchlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcvexch.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lcvexch.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	2	lsssssubg 20841	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5		lcvexch.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3974	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
7		lcvexch.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
8	4, 7	sseldd 3974	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		lcvexch.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
10	4, 9	sseldd 3974	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
11		lcvexch.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑅)
12		lcvexch.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
13	12	lsmmod2 19630	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑅) → (𝑅 ∩ (𝑈 ⊕ 𝑇)) = ((𝑅 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇))
14	6, 8, 10, 11, 13	syl31anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∩ (𝑈 ⊕ 𝑇)) = ((𝑅 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇))
15		lcvexch.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
16		lmodabl 20791	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
17	1, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
18	12	lsmcom 19812	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑈 ⊕ 𝑇))
19	17, 10, 8, 18	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ⊕ 𝑈) = (𝑈 ⊕ 𝑇))
20	15, 19	sseqtrd 4014	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑇))
21		dfss2 3959	. . 3 ⊢ (𝑅 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑇) ↔ (𝑅 ∩ (𝑈 ⊕ 𝑇)) = 𝑅)
22	20, 21	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∩ (𝑈 ⊕ 𝑇)) = 𝑅)
23	14, 22	eqtr3d 2767	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∩ 𝑈) ⊕ 𝑇) = 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3940   ⊆ wss 3941  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  SubGrpcsubg 19074  LSSumclsm 19588  Abelcabl 19735  LModclmod 20742  LSubSpclss 20814   ⋖_L clcv 38542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-0g 17417  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-oppg 19296  df-lsm 19590  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-ur 20121  df-ring 20174  df-lmod 20744  df-lss 20815

This theorem is referenced by:  lcvexchlem5  38562