Theorem ldualvaddcl 35204

Description: The value of vector addition in the dual of a vector space is a functional. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvaddcl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvaddcl.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvaddcl.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
ldualvaddcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvaddcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvaddcl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvaddcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem ldualvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvaddcl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		eqid 2824	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2824	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
4		ldualvaddcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5		ldualvaddcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐷)
6		ldualvaddcl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		ldualvaddcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
8		ldualvaddcl.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ldualvadd 35203	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) = (𝐺 ∘𝑓 (+g‘(Scalar‘𝑊))𝐻))
10	2, 3, 1, 6, 7, 8	lfladdcl 35145	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 (+g‘(Scalar‘𝑊))𝐻) ∈ 𝐹)
11	9, 10	eqeltrd 2905	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904   ∘_𝑓 cof 7154  +_gcplusg 16304  Scalarcsca 16307  LModclmod 19218  LFnlclfn 35131  LDualcld 35197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-fz 12619  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-plusg 16317  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-0g 16454  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-sbg 17780  df-cmn 18547  df-abl 18548  df-mgp 18843  df-ur 18855  df-ring 18902  df-lmod 19220  df-lfl 35132  df-ldual 35198

This theorem is referenced by:  ldualvsdi1  35217  ldualgrplem  35219  ldualvsubcl  35230  lkrin  35238  lclkrlem2e  37585  lclkrlem2f  37586  lclkrlem2h  37588  lclkrlem2m  37593  lclkrlem2n  37594  lclkrlem2o  37595  lclkrlem2p  37596  lclkrlem2s  37599  lclkrlem2v  37602  lclkrlem2  37606  lclkrslem2  37612