Theorem ldualvaddcl 36699

Description: The value of vector addition in the dual of a vector space is a functional. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvaddcl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvaddcl.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvaddcl.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
ldualvaddcl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvaddcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvaddcl.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvaddcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem ldualvaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvaddcl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		eqid 2759	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2759	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
4		ldualvaddcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5		ldualvaddcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐷)
6		ldualvaddcl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		ldualvaddcl.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
8		ldualvaddcl.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ldualvadd 36698	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) = (𝐺 ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊))𝐻))
10	2, 3, 1, 6, 7, 8	lfladdcl 36640	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f (+g‘(Scalar‘𝑊))𝐻) ∈ 𝐹)
11	9, 10	eqeltrd 2853	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151   ∘_f cof 7404  +_gcplusg 16616  Scalarcsca 16619  LModclmod 19695  LFnlclfn 36626  LDualcld 36692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7406  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-fz 12933  df-struct 16536  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-plusg 16629  df-sca 16632  df-vsca 16633  df-0g 16766  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-grp 18165  df-minusg 18166  df-sbg 18167  df-cmn 18968  df-abl 18969  df-mgp 19301  df-ur 19313  df-ring 19360  df-lmod 19697  df-lfl 36627  df-ldual 36693

This theorem is referenced by:  ldualvsdi1  36712  ldualgrplem  36714  ldualvsubcl  36725  lkrin  36733  lclkrlem2e  39080  lclkrlem2f  39081  lclkrlem2h  39083  lclkrlem2m  39088  lclkrlem2n  39089  lclkrlem2o  39090  lclkrlem2p  39091  lclkrlem2s  39094  lclkrlem2v  39097  lclkrlem2  39101  lclkrslem2  39107