Theorem ldualvsdi1 37951

Description: Distributive law for scalar product operation, using operations from the dual space. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsdi1.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsdi1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsdi1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualvsdi1.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsdi1.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
ldualvsdi1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualvsdi1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsdi1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualvsdi1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsdi1.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsdi1	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝑋 · 𝐺) + (𝑋 · 𝐻)))

Proof of Theorem ldualvsdi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvsdi1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		ldualvsdi1.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4		ldualvsdi1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		ldualvsdi1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
7		ldualvsdi1.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
8		ldualvsdi1.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		ldualvsdi1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
10		ldualvsdi1.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ldualvs 37945	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
12		ldualvsdi1.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12	ldualvs 37945	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐻) = (𝐻 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
14	11, 13	oveq12d 7422	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) ∘f (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝐻)) = ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f (+g‘𝑅)(𝐻 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
15		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
16		ldualvsdi1.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐷)
17	1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10	ldualvscl 37947	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) ∈ 𝐹)
18	1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12	ldualvscl 37947	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐻) ∈ 𝐹)
19	1, 3, 15, 6, 16, 8, 17, 18	ldualvadd 37937	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) + (𝑋 · 𝐻)) = ((𝑋 · 𝐺) ∘f (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝐻)))
20	1, 6, 16, 8, 10, 12	ldualvaddcl 37938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20	ldualvs 37945	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝐺 + 𝐻) ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
22	1, 3, 15, 6, 16, 8, 10, 12	ldualvadd 37937	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) = (𝐺 ∘f (+g‘𝑅)𝐻))
23	22	oveq1d 7419	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 + 𝐻) ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) = ((𝐺 ∘f (+g‘𝑅)𝐻) ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
24	2, 3, 4, 15, 5, 1, 8, 9, 10, 12	lflvsdi1 37886	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f (+g‘𝑅)𝐻) ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) = ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f (+g‘𝑅)(𝐻 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
25	21, 23, 24	3eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f (+g‘𝑅)(𝐻 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
26	14, 19, 25	3eqtr4rd 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝑋 · 𝐺) + (𝑋 · 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4627   × cxp 5673  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404   ∘_f cof 7663  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  ._rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  LModclmod 20459  LFnlclfn 37865  LDualcld 37931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-lmod 20461  df-lfl 37866  df-ldual 37932

This theorem is referenced by:  lduallmodlem  37960