Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsdi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvsdi1 36438
 Description: Distributive law for scalar product operation, using operations from the dual space. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsdi1.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsdi1.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsdi1.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualvsdi1.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsdi1.p + = (+g𝐷)
ldualvsdi1.s · = ( ·𝑠𝐷)
ldualvsdi1.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ldualvsdi1.x (𝜑𝑋𝐾)
ldualvsdi1.g (𝜑𝐺𝐹)
ldualvsdi1.h (𝜑𝐻𝐹)
Assertion
Ref Expression
ldualvsdi1 (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝑋 · 𝐺) + (𝑋 · 𝐻)))

Proof of Theorem ldualvsdi1
StepHypRef Expression
1 ldualvsdi1.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2 eqid 2801 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3 ldualvsdi1.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4 ldualvsdi1.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 eqid 2801 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6 ldualvsdi1.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
7 ldualvsdi1.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝐷)
8 ldualvsdi1.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
9 ldualvsdi1.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐾)
10 ldualvsdi1.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ldualvs 36432 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) = (𝐺f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
12 ldualvsdi1.h . . . 4 (𝜑𝐻𝐹)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12ldualvs 36432 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝐻) = (𝐻f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
1411, 13oveq12d 7157 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) ∘f (+g𝑅)(𝑋 · 𝐻)) = ((𝐺f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f (+g𝑅)(𝐻f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
15 eqid 2801 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
16 ldualvsdi1.p . . 3 + = (+g𝐷)
171, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10ldualvscl 36434 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) ∈ 𝐹)
181, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12ldualvscl 36434 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝐻) ∈ 𝐹)
191, 3, 15, 6, 16, 8, 17, 18ldualvadd 36424 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) + (𝑋 · 𝐻)) = ((𝑋 · 𝐺) ∘f (+g𝑅)(𝑋 · 𝐻)))
201, 6, 16, 8, 10, 12ldualvaddcl 36425 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20ldualvs 36432 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝐺 + 𝐻) ∘f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
221, 3, 15, 6, 16, 8, 10, 12ldualvadd 36424 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) = (𝐺f (+g𝑅)𝐻))
2322oveq1d 7154 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 + 𝐻) ∘f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) = ((𝐺f (+g𝑅)𝐻) ∘f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
242, 3, 4, 15, 5, 1, 8, 9, 10, 12lflvsdi1 36373 . . 3 (𝜑 → ((𝐺f (+g𝑅)𝐻) ∘f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) = ((𝐺f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f (+g𝑅)(𝐻f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
2521, 23, 243eqtrd 2840 . 2 (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝐺f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f (+g𝑅)(𝐻f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
2614, 19, 253eqtr4rd 2847 1 (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝑋 · 𝐺) + (𝑋 · 𝐻)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  {csn 4528   × cxp 5521  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∘f cof 7391  Basecbs 16479  +gcplusg 16561  .rcmulr 16562  Scalarcsca 16564   ·𝑠 cvsca 16565  LModclmod 19631  LFnlclfn 36352  LDualcld 36418 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-plusg 16574  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-lmod 19633  df-lfl 36353  df-ldual 36419 This theorem is referenced by:  lduallmodlem  36447
 Copyright terms: Public domain W3C validator