Theorem ldualvsdi1 39606

Description: Distributive law for scalar product operation, using operations from the dual space. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsdi1.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsdi1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsdi1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualvsdi1.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsdi1.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
ldualvsdi1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualvsdi1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsdi1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualvsdi1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsdi1.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsdi1	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝑋 · 𝐺) + (𝑋 · 𝐻)))

Proof of Theorem ldualvsdi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvsdi1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		ldualvsdi1.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4		ldualvsdi1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		ldualvsdi1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
7		ldualvsdi1.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
8		ldualvsdi1.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		ldualvsdi1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
10		ldualvsdi1.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ldualvs 39600	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
12		ldualvsdi1.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12	ldualvs 39600	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐻) = (𝐻 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
14	11, 13	oveq12d 7379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) ∘f (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝐻)) = ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f (+g‘𝑅)(𝐻 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
15		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
16		ldualvsdi1.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐷)
17	1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10	ldualvscl 39602	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) ∈ 𝐹)
18	1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12	ldualvscl 39602	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐻) ∈ 𝐹)
19	1, 3, 15, 6, 16, 8, 17, 18	ldualvadd 39592	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) + (𝑋 · 𝐻)) = ((𝑋 · 𝐺) ∘f (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝐻)))
20	1, 6, 16, 8, 10, 12	ldualvaddcl 39593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20	ldualvs 39600	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝐺 + 𝐻) ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
22	1, 3, 15, 6, 16, 8, 10, 12	ldualvadd 39592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) = (𝐺 ∘f (+g‘𝑅)𝐻))
23	22	oveq1d 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 + 𝐻) ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) = ((𝐺 ∘f (+g‘𝑅)𝐻) ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
24	2, 3, 4, 15, 5, 1, 8, 9, 10, 12	lflvsdi1 39541	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f (+g‘𝑅)𝐻) ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) = ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f (+g‘𝑅)(𝐻 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
25	21, 23, 24	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f (+g‘𝑅)(𝐻 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
26	14, 19, 25	3eqtr4rd 2783	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝑋 · 𝐺) + (𝑋 · 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4568   × cxp 5623  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∘_f cof 7623  Basecbs 17173  +_gcplusg 17214  ._rcmulr 17215  Scalarcsca 17217   ·_𝑠 cvsca 17218  LModclmod 20849  LFnlclfn 39520  LDualcld 39586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-ur 20157  df-ring 20210  df-lmod 20851  df-lfl 39521  df-ldual 39587

This theorem is referenced by:  lduallmodlem  39615