Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsdi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvsdi1 39125
Description: Distributive law for scalar product operation, using operations from the dual space. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsdi1.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsdi1.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsdi1.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualvsdi1.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsdi1.p + = (+g𝐷)
ldualvsdi1.s · = ( ·𝑠𝐷)
ldualvsdi1.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ldualvsdi1.x (𝜑𝑋𝐾)
ldualvsdi1.g (𝜑𝐺𝐹)
ldualvsdi1.h (𝜑𝐻𝐹)
Assertion
Ref Expression
ldualvsdi1 (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝑋 · 𝐺) + (𝑋 · 𝐻)))

Proof of Theorem ldualvsdi1
StepHypRef Expression
1 ldualvsdi1.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2 eqid 2735 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3 ldualvsdi1.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4 ldualvsdi1.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 eqid 2735 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6 ldualvsdi1.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
7 ldualvsdi1.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝐷)
8 ldualvsdi1.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
9 ldualvsdi1.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐾)
10 ldualvsdi1.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ldualvs 39119 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) = (𝐺f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
12 ldualvsdi1.h . . . 4 (𝜑𝐻𝐹)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12ldualvs 39119 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝐻) = (𝐻f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
1411, 13oveq12d 7449 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) ∘f (+g𝑅)(𝑋 · 𝐻)) = ((𝐺f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f (+g𝑅)(𝐻f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
15 eqid 2735 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
16 ldualvsdi1.p . . 3 + = (+g𝐷)
171, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10ldualvscl 39121 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) ∈ 𝐹)
181, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12ldualvscl 39121 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝐻) ∈ 𝐹)
191, 3, 15, 6, 16, 8, 17, 18ldualvadd 39111 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) + (𝑋 · 𝐻)) = ((𝑋 · 𝐺) ∘f (+g𝑅)(𝑋 · 𝐻)))
201, 6, 16, 8, 10, 12ldualvaddcl 39112 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20ldualvs 39119 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝐺 + 𝐻) ∘f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
221, 3, 15, 6, 16, 8, 10, 12ldualvadd 39111 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) = (𝐺f (+g𝑅)𝐻))
2322oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 + 𝐻) ∘f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) = ((𝐺f (+g𝑅)𝐻) ∘f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
242, 3, 4, 15, 5, 1, 8, 9, 10, 12lflvsdi1 39060 . . 3 (𝜑 → ((𝐺f (+g𝑅)𝐻) ∘f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) = ((𝐺f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f (+g𝑅)(𝐻f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
2521, 23, 243eqtrd 2779 . 2 (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝐺f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f (+g𝑅)(𝐻f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
2614, 19, 253eqtr4rd 2786 1 (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝑋 · 𝐺) + (𝑋 · 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  {csn 4631   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  LModclmod 20875  LFnlclfn 39039  LDualcld 39105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-lfl 39040  df-ldual 39106
This theorem is referenced by:  lduallmodlem  39134
  Copyright terms: Public domain W3C validator