Theorem ldualvsdi1 39136

Description: Distributive law for scalar product operation, using operations from the dual space. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsdi1.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsdi1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsdi1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualvsdi1.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsdi1.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
ldualvsdi1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualvsdi1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsdi1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualvsdi1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsdi1.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsdi1	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝑋 · 𝐺) + (𝑋 · 𝐻)))

Proof of Theorem ldualvsdi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvsdi1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		ldualvsdi1.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4		ldualvsdi1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		ldualvsdi1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
7		ldualvsdi1.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
8		ldualvsdi1.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		ldualvsdi1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
10		ldualvsdi1.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ldualvs 39130	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
12		ldualvsdi1.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12	ldualvs 39130	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐻) = (𝐻 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
14	11, 13	oveq12d 7405	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) ∘f (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝐻)) = ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f (+g‘𝑅)(𝐻 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
15		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
16		ldualvsdi1.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐷)
17	1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10	ldualvscl 39132	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) ∈ 𝐹)
18	1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12	ldualvscl 39132	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐻) ∈ 𝐹)
19	1, 3, 15, 6, 16, 8, 17, 18	ldualvadd 39122	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) + (𝑋 · 𝐻)) = ((𝑋 · 𝐺) ∘f (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝐻)))
20	1, 6, 16, 8, 10, 12	ldualvaddcl 39123	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20	ldualvs 39130	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝐺 + 𝐻) ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
22	1, 3, 15, 6, 16, 8, 10, 12	ldualvadd 39122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) = (𝐺 ∘f (+g‘𝑅)𝐻))
23	22	oveq1d 7402	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 + 𝐻) ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) = ((𝐺 ∘f (+g‘𝑅)𝐻) ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
24	2, 3, 4, 15, 5, 1, 8, 9, 10, 12	lflvsdi1 39071	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f (+g‘𝑅)𝐻) ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) = ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f (+g‘𝑅)(𝐻 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
25	21, 23, 24	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f (+g‘𝑅)(𝐻 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
26	14, 19, 25	3eqtr4rd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝑋 · 𝐺) + (𝑋 · 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4589   × cxp 5636  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∘_f cof 7651  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  LModclmod 20766  LFnlclfn 39050  LDualcld 39116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144  df-lmod 20768  df-lfl 39051  df-ldual 39117

This theorem is referenced by:  lduallmodlem  39145