Theorem ldualvsdi1 36851

Description: Distributive law for scalar product operation, using operations from the dual space. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsdi1.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsdi1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsdi1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualvsdi1.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsdi1.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
ldualvsdi1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualvsdi1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsdi1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualvsdi1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsdi1.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsdi1	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝑋 · 𝐺) + (𝑋 · 𝐻)))

Proof of Theorem ldualvsdi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvsdi1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		ldualvsdi1.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4		ldualvsdi1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		ldualvsdi1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
7		ldualvsdi1.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
8		ldualvsdi1.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		ldualvsdi1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
10		ldualvsdi1.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ldualvs 36845	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
12		ldualvsdi1.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12	ldualvs 36845	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐻) = (𝐻 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
14	11, 13	oveq12d 7220	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) ∘f (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝐻)) = ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f (+g‘𝑅)(𝐻 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
15		eqid 2734	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
16		ldualvsdi1.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐷)
17	1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10	ldualvscl 36847	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) ∈ 𝐹)
18	1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12	ldualvscl 36847	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐻) ∈ 𝐹)
19	1, 3, 15, 6, 16, 8, 17, 18	ldualvadd 36837	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) + (𝑋 · 𝐻)) = ((𝑋 · 𝐺) ∘f (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝐻)))
20	1, 6, 16, 8, 10, 12	ldualvaddcl 36838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20	ldualvs 36845	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝐺 + 𝐻) ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
22	1, 3, 15, 6, 16, 8, 10, 12	ldualvadd 36837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) = (𝐺 ∘f (+g‘𝑅)𝐻))
23	22	oveq1d 7217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 + 𝐻) ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) = ((𝐺 ∘f (+g‘𝑅)𝐻) ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
24	2, 3, 4, 15, 5, 1, 8, 9, 10, 12	lflvsdi1 36786	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f (+g‘𝑅)𝐻) ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) = ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f (+g‘𝑅)(𝐻 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
25	21, 23, 24	3eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f (+g‘𝑅)(𝐻 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
26	14, 19, 25	3eqtr4rd 2785	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝑋 · 𝐺) + (𝑋 · 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  {csn 4531   × cxp 5538  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202   ∘_f cof 7456  Basecbs 16684  +_gcplusg 16767  ._rcmulr 16768  Scalarcsca 16770   ·_𝑠 cvsca 16771  LModclmod 19871  LFnlclfn 36765  LDualcld 36831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-of 7458  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-er 8380  df-map 8499  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-4 11878  df-5 11879  df-6 11880  df-n0 12074  df-z 12160  df-uz 12422  df-fz 13079  df-struct 16686  df-ndx 16687  df-slot 16688  df-base 16690  df-sets 16691  df-plusg 16780  df-sca 16783  df-vsca 16784  df-0g 16918  df-mgm 18086  df-sgrp 18135  df-mnd 18146  df-grp 18340  df-minusg 18341  df-sbg 18342  df-cmn 19144  df-abl 19145  df-mgp 19477  df-ur 19489  df-ring 19536  df-lmod 19873  df-lfl 36766  df-ldual 36832

This theorem is referenced by:  lduallmodlem  36860