Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsdi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvsdi1 37951
Description: Distributive law for scalar product operation, using operations from the dual space. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsdi1.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsdi1.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsdi1.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualvsdi1.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsdi1.p + = (+g𝐷)
ldualvsdi1.s · = ( ·𝑠𝐷)
ldualvsdi1.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ldualvsdi1.x (𝜑𝑋𝐾)
ldualvsdi1.g (𝜑𝐺𝐹)
ldualvsdi1.h (𝜑𝐻𝐹)
Assertion
Ref Expression
ldualvsdi1 (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝑋 · 𝐺) + (𝑋 · 𝐻)))

Proof of Theorem ldualvsdi1
StepHypRef Expression
1 ldualvsdi1.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2 eqid 2733 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3 ldualvsdi1.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4 ldualvsdi1.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 eqid 2733 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6 ldualvsdi1.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
7 ldualvsdi1.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝐷)
8 ldualvsdi1.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
9 ldualvsdi1.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐾)
10 ldualvsdi1.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ldualvs 37945 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) = (𝐺f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
12 ldualvsdi1.h . . . 4 (𝜑𝐻𝐹)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12ldualvs 37945 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝐻) = (𝐻f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
1411, 13oveq12d 7422 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) ∘f (+g𝑅)(𝑋 · 𝐻)) = ((𝐺f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f (+g𝑅)(𝐻f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
15 eqid 2733 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
16 ldualvsdi1.p . . 3 + = (+g𝐷)
171, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10ldualvscl 37947 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) ∈ 𝐹)
181, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12ldualvscl 37947 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝐻) ∈ 𝐹)
191, 3, 15, 6, 16, 8, 17, 18ldualvadd 37937 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) + (𝑋 · 𝐻)) = ((𝑋 · 𝐺) ∘f (+g𝑅)(𝑋 · 𝐻)))
201, 6, 16, 8, 10, 12ldualvaddcl 37938 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20ldualvs 37945 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝐺 + 𝐻) ∘f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
221, 3, 15, 6, 16, 8, 10, 12ldualvadd 37937 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) = (𝐺f (+g𝑅)𝐻))
2322oveq1d 7419 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 + 𝐻) ∘f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) = ((𝐺f (+g𝑅)𝐻) ∘f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
242, 3, 4, 15, 5, 1, 8, 9, 10, 12lflvsdi1 37886 . . 3 (𝜑 → ((𝐺f (+g𝑅)𝐻) ∘f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) = ((𝐺f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f (+g𝑅)(𝐻f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
2521, 23, 243eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝐺f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f (+g𝑅)(𝐻f (.r𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
2614, 19, 253eqtr4rd 2784 1 (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝑋 · 𝐺) + (𝑋 · 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  {csn 4627   × cxp 5673  cfv 6540  (class class class)co 7404  f cof 7663  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  LModclmod 20459  LFnlclfn 37865  LDualcld 37931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-lmod 20461  df-lfl 37866  df-ldual 37932
This theorem is referenced by:  lduallmodlem  37960
  Copyright terms: Public domain W3C validator