Theorem ldualvsdi1 39143

Description: Distributive law for scalar product operation, using operations from the dual space. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsdi1.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsdi1.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsdi1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualvsdi1.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsdi1.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
ldualvsdi1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualvsdi1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsdi1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualvsdi1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsdi1.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsdi1	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝑋 · 𝐺) + (𝑋 · 𝐻)))

Proof of Theorem ldualvsdi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvsdi1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		ldualvsdi1.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4		ldualvsdi1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		ldualvsdi1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
7		ldualvsdi1.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
8		ldualvsdi1.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		ldualvsdi1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
10		ldualvsdi1.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ldualvs 39137	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
12		ldualvsdi1.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12	ldualvs 39137	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐻) = (𝐻 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
14	11, 13	oveq12d 7408	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) ∘f (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝐻)) = ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f (+g‘𝑅)(𝐻 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
15		eqid 2730	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
16		ldualvsdi1.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐷)
17	1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10	ldualvscl 39139	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) ∈ 𝐹)
18	1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12	ldualvscl 39139	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐻) ∈ 𝐹)
19	1, 3, 15, 6, 16, 8, 17, 18	ldualvadd 39129	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐺) + (𝑋 · 𝐻)) = ((𝑋 · 𝐺) ∘f (+g‘𝑅)(𝑋 · 𝐻)))
20	1, 6, 16, 8, 10, 12	ldualvaddcl 39130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20	ldualvs 39137	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝐺 + 𝐻) ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
22	1, 3, 15, 6, 16, 8, 10, 12	ldualvadd 39129	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) = (𝐺 ∘f (+g‘𝑅)𝐻))
23	22	oveq1d 7405	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 + 𝐻) ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) = ((𝐺 ∘f (+g‘𝑅)𝐻) ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
24	2, 3, 4, 15, 5, 1, 8, 9, 10, 12	lflvsdi1 39078	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f (+g‘𝑅)𝐻) ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) = ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f (+g‘𝑅)(𝐻 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
25	21, 23, 24	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})) ∘f (+g‘𝑅)(𝐻 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
26	14, 19, 25	3eqtr4rd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐺 + 𝐻)) = ((𝑋 · 𝐺) + (𝑋 · 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4592   × cxp 5639  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7654  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  LModclmod 20773  LFnlclfn 39057  LDualcld 39123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-lmod 20775  df-lfl 39058  df-ldual 39124

This theorem is referenced by:  lduallmodlem  39152